享创数学发现的魅力*——《奇妙的完全数》教学实录及解析

□李铁安 毛海岩

这节课是借助数学史中“完全数”的史料而开发的一节数学文化课。其宗旨是让学生在探索解决问题的过程中，初步理解什么是完全数，感受完全数的神奇特征，由此对数学产生强烈的好奇心，深层次激发学生发现数学的乐趣。更重要的是，通过问题解决，能有效地培养学生的数学观念、数学发现意识和数学创造性思维能力等。

【教学过程】

环节一：概括完全数的定义

师：下面等式中的△、□、○分别表示不同的自然数，你能试着填一填，使等式成立吗？

生：我发现了，△、□、○分别代表1、2、3，这样等式就成立了。因为1+2+3=1×2×3。

师：好啊！再认真观察这个等式，你还有什么发现？

生：1+2+3=1×2×3=6，1、2、3是6除了自己以外所有的因数。

生：6 的所有因数包括1、2、3、6。除了6 以外，1、2、3 就叫6 的真因数，也叫真因子①在数学史及数论相关文献中，真因数（真因子）通常是指一个自然数除了它自身以外的所有因数。。6 所有的真因子的和还是它自己。

师：就是啊，6好神奇，它恰好等于它所有的真因子之和。在自然数里，还能找到像6 这样的数吗？

师：还有没有呢？（停顿1 秒）比如7 这个数，行不行？

生：不行，7的真因子只有1，相加不等于它。

生：7 的真因子只有1，也没法相加，它是个质数。

生：质数肯定都不行！所有的质数的真因子只有1。

师：对呀！那我们换一个不是质数的数，比如8这个自然数（停顿1秒），行不行呢？

生：8也不行，8的真因子有1、2、4，1+2+4也不等于8啊。

师：在自然数中，到底有没有这样的数？咱们一起去找一找，1～10 之间有没有这样的数？（师生一起整理）

板书：

生：没有。

师：再找找11～20之间有没有。

生：也没有。

师：那21～30之间有没有这样的数呢？

（学生忙于计算、寻找，突然一个学生说：我找到啦！是28。）

师：28确实具有和6一样的特征吗？

生：28真的可以！28的真因子有1、2、4、7、14，把它们加在一起，1+2+4+7+14=28，正好等于28。

师：28 也可以表示为它所有的真因子之和。那么像6、28这样的数是不是很奇妙呢？在数学史上，像6和28这样的数，有一个非常美妙的名字，叫“完全数”。现在你能说一下什么样的数叫完全数吗？

生：除了它本身以外，所有的真因子相加等于它本身的数就是完全数。

生：真因子已经不包括它本身了，所以可以直接说，所有的真因子之和等于它本身的数是完全数。

师：在自然数中，如果一个数恰好等于它所有的真因子之和，则称这个数为“完全数”。这就是完全数的定义。

环节二：猜想完全数的数字特征

师：完全数在数学史上是一个受到关注的话题，也是一个非常有趣的问题。它是由古希腊毕达哥拉斯学派最先发现并命名的。据数学史料介绍，毕达哥拉斯学派发现了前4 个完全数，分别是6、28、496 和8128。请你读一读这些数，再认真地观察一下，这些完全数有什么特征？

生：我发现这些数都是偶数。

生：这些数的末尾都是6或者8，而且循环出现。

生：我还发现，个位是8的完全数，十位都是2。

生：这些数是从一位数到四位数按顺序出现的，第几个完全数就是几位数。

师：真是这样吗？请你猜一猜，第5 个、第6 个完全数可能是什么样的数？

生：我想第5个完全数的尾数是6，它应该是个五位数。

生：我也这么想的，因为第几个完全数就是几位数。

生：第6 个完全数的尾数是8，它应该是个六位数。

师：这是你们的猜想，真的是这样吗？先看第5个完全数。

（教师出示第5个完全数的末尾数字6，学生很兴奋！）

师：末尾数字果然是6，猜对了！

（教师继续按照数位顺序，由低位到高位，逐个数位出示第5个完全数：33550336。当学生看到五位数时非常兴奋。但紧接着教师出示第六位、第七位、第八位数字，学生很惊讶！）

师：虽然按照前面的规律，咱们的猜想看起来很有道理，不过事实说明，我们猜错了。现在你想说什么？

生：那第6 个完全数不可能是六位数了，因为第5 个完全数都已经是八位数了，所以第6 个完全数一定不会是六位数。

师：有根据地说明自己的想法，好！第6 个完全数的尾数我们猜得对不对呢？

（教师出示第6个完全数：8589869056）

生：我们也猜错了，尾数不是8。

生：竟然是十位数，真是太让人吃惊了。

师：同学们有什么想说的吗？

生：完全数一点规律都没有。

生：我认为还是有一点规律的，至少我们能确定尾数不是6就是8。

师：同学们，我们是根据前4 个完全数所具有的数字特征和尾数特征来大胆地猜想第5、第6 个完全数的特征的。事实证明，有些规律我们猜错了。这说明在数学中，仅仅靠猜想是不够的！猜想之后必须要经过严格的论证和验证。尾数是6 或者8这一规律现在看还依然成立，但能确定对所有完全数一定是成立的吗？

生：不确定。

师：数学的学习离不开猜想！在数学史上，好多定理都是先经过数学家的大胆猜想，再经过严格验证得出的。所以，同学们依然要养成猜想的好习惯，这是非常宝贵的。要敢猜、敢想，最后再进行验证。猜想能激发智慧，猜想能创造奇迹。

环节三：探究完全数的奇妙规律

师：让我们再来回忆一下那个美妙的等式，6=1+2+3。这个等式实际是连续三个自然数的和。是不是很整齐、很好看呢？（生答）

师：让我们再来看28这个完全数。按照完全数的定义，28=1+2+4+7+14。那么，我感到好奇的是，28能不能也像6这样写成几个连续自然数的和呢？

生：哇，我算出来啦！28=1+2+3+4+5+6+7。

师：果然是这样啊！你是按照连续自然数依次相加，最后发现加到7正好就是28了吧！这样虽然不错，但当我们不知道最后加到几时，应该怎么办呢？还有没有更一般的方法呢？

生：我先把连加算式的最后一个数设为x，那么这个式子就是28=1+2+……+x。

师：好啊！那怎样得出x是几呢？

生：可以把算式变成56=x（x+1），得出x=7。

生：等等，56=x（x+1）这个算式是怎么得到的？

生：是这样的，我先把28=1+2+……+x 这个等式变形，变成28=x+……+2+1 这个等式的样子。然后，我再把两个等式的左边和右边分别相加。左边相加肯定是56啦！再看右边，每个对应的数相加都得到（x+1），有多少呢？一共有x个，就得到56=x（x+1）。

板书：

师：这位同学通过转化，得到了这样一个等式，这也叫方程吧！那怎么解这个方程呢？怎么求这里的x呢？我们可以看一下，这是两个什么样的数？

生：是两个相邻的自然数。

师：对呀！两个相邻的自然数的乘积等于56，这两个数是几呢？

生：七八五十六。

生：x是7。

师：是啊！这样，28就等于1+2+3+4+5+6+7。

师：那么，大家是不是也想把496 写成连续的自然数的和的形式呢？

生：这个不难，列方程得到496=1+2+……+x。所以496=x（x+1）。

生：好像不对，等式右边的x（x+1）是对的，左边不是496，还要乘2。

师：是这样吗？咱们再回到刚才的式子看一看。等式右边，为什么能有x 个（x+1）呢？是因为我们把上下两个等式相加了。那等式左边呢？

生：我们也要把它们相加，否则等式就不成立了。

师：是呀，496当然也要乘2啊！好了，现在我们得到了992=x（x+1）这样一个方程。又该怎么解呢？

生：这是两个连续的自然数的乘积，我们只要算一算是哪两个连续的自然数相乘就可以了。

生：我知道了。x（x+1）是两个连续的自然数相乘，因为结果是900 多，所以这两个自然数应该是三十几。

师：对啊！三十几乘三十几就等于900多。到底是三十几呢？

生：我觉得应该是31×32。因为我发现乘积的末尾是2，一二得二啊！

生：我认为有可能是31×32，也有可能是38×39，因为它们相乘后，末尾都是2。

师：个位是2，这是个多重要的信息啊！刚刚有同学说，还可能是38×39，那么，究竟是不是38×39呢？

生：我觉得38×39太大了，两个数都接近40，再一相乘，得数就接近1600，不可能得992。

师：好啊！那么这次咱们的思路究竟对不对呢？有了刚才的经验教训，推理不一定完全正确。咱们还是验证一下吧！

生：对啦！我算过了，31×32就是等于992。

生：所以，x=31。

生：496就等于1+2+3+……+31。

板书：

师：其实啊，同学们，在数学史上，完全数的发现经历了一个漫长的过程，截止到2018年，借助计算机，人们也才找到第51 个完全数。而关于完全数还有很多奥秘，你们课后可以继续了解它，关注它，研究它。你会感觉学习数学其实很美妙，让我们一起享受数学发现之美吧！

【育人意蕴解析】

本节课依托完全数的数学史料对其进行了深入挖掘，设计了三个探究环节：概括完全数的定义；猜想完全数的数字特征；探究完全数的奇妙规律。

在“概括完全数的定义”这一环节，教师首先通过一个非常精巧的等式模型，引出1+2+3=1×2×3=6这个数学事实。当学生惊奇地发现这个事实后，油然生发一种感叹：多么奇妙而美丽的结论啊！这不仅为激发学生的学习热情创设了良好氛围，也为引出6可以表示为它的三个真因子1、2、3的和做了巧妙铺垫。事实上，这还为学生概括完全数的定义埋下了伏笔。进而，教师顺势引导学生探究10以内、20 以内自然数中是否存在如6 这样的数。这个过程看似对于寻找第2个完全数28没有实际意义，实则让学生通过推理和验证，来深化对完全数概念的理解，并且可以让学生怀着既兴奋又迫切的情绪积极地寻找如6 这样的数。当学生带着一丝隐隐的失落，依然鼓舞兴致寻找30以内是否存在如6这样的数时，当28 这个数被学生次第发现时，可以想见，学生的兴奋度陡然提升。至此，教师再宣布像6 和28 这样的数在数学史上有一个漂亮的名字——完全数，学生就会对完全数生发一份热爱。学生经历了这个丰厚的寻找和探究的过程，之后概括完全数的定义自然水到渠成了。

在“猜想完全数的数字特征”这一环节，教师先给出前4 个完全数——6、28、496、8128，接着让学生认真观察这四个数的数字特征，大胆猜想第5个和第6 个完全数具有怎样的特征。这真是一个精巧的数学问题情境！这个问题情境是激发学生自觉发现数学规律的兴趣和引导学生进行大胆猜想的一个绝妙的“诱饵”！所以，正像学生所发现和猜想的那样：第5 个完全数应该是一个五位数，末尾数字是6，第6 个完全数是六位数，末尾数字是8。这是合情推理和归纳猜想，可谓无懈可击！而当几乎所有的学生都满心兴奋之时，教师将第5个完全数和第6个完全数陆续展现出来，学生一下子惊呆了——我们的猜想错啦！正当学生处于失落与不解之时，教师不失时机地点拨学生——数学学习离不开猜想，但在数学中仅仅靠猜想是不够的！猜想之后必须要经过严格论证与验证，等等。可以说，这个猜想的过程既让学生的诗性智慧纵情绽放，也使理性思维受到痛彻洗礼。对于学生的情感与思维来说，不啻经历一次“冰与火”的考验！这才是曼妙的数学学习！而这个教学过程，是位于数学知识技能之上的对学生数学观念与数学方法论的启迪与塑造。这才是具有育人价值的数学课堂！

在“探究完全数的奇妙规律”这一环节，教师首先展示“6=1+2+3”这个表达式，让学生发现这是一个连续自然数的和的形式结构，进而启发学生探索28 是否也可以类似地写成若干连续自然数的和。可以想象，学生在将“28=1+2+4+7+14”改造为“28=1+2+3+4+5+6+7”的过程中不仅建立了数学模型，而且充分调动了数感，培养了数学直觉。而当教师追问是否还有更一般的方法解决这个问题时，学生又自然地想到设立未知数，这就在这一问题的解决过程中渗透了方程的思想。特别是学生推出56=x（x+1）这个关系式时，直面了一个非常好的数学问题——究竟如何求得x？虽然从表面上看这是一个一元二次方程，但x（x+1）所表示的实质是两个连续自然数的乘积，当学生从这个视角审视56=x（x+1）时，问题就迎刃而解了。无疑，对这个问题的探究与解决，必将培养学生思维的深刻性和变通性。

细细品味这三个问题的内容结构设计：各个问题的子问题之间不仅具有严谨精妙的内在逻辑，而且蕴含着丰富的数学思想，这不仅可以让学生经历完满的问题解决过程，还可以让学生在这一过程中积累宝贵的数学活动经验，提升数学创造水平和素养，尽情享创数学发现的魅力。