4-SPRR-SPR 并联机构运动性能评价与尺寸优化

郭强，崔国华，鱼海东，程禛溢

（201620 上海市 上海工程技术大学 机械与汽车工程学院）

0 引言

并联机构的构型确定后，性能评价和尺度综合是必须要解决的问题[1]。并联机构的性能分析方法有很多，如灵巧度分析、刚度分析、运动/力传递性能分析等[2]。通过文献[3]可知，当并联机构既具有转动又具有移动等4 个及以上自由度时，并联机构的灵巧度性能指标将因为量纲不统一而失效。由于并联机构在工作时需要提供比较大的推力，因此要求该机构具有较高的刚度和优秀的力传递性能。

本文拟采用运动/力传递性能指标[4]作为并联机构的性能评价指标，对并联机构进行尺度综合。运动/力传递性能指标是计算机构的瞬时功率，这种概念最早由Ball[5]首次提出，但未对结果进行单位化，在此基础上后经Liu 和Wang[4]的发展，建立了并联机构分支的局部传递指标（Local transmission index，LTI）。该指标是无量纲指标，且与坐标系的建立没有影响，是首个通过力传递性能对并联机构进行评价的指标。

4-SPRR-SPR 并联机构的构型最早由德国Metrom 公司提出，并研发了Pentapod PG 2000 切削机床[6]。Pentapod PG 2000 自设计出以来，取得了夺目的成就，但因其结构复杂，构型困难，国内外少有人对其进行研究。Pentapod PG 2000是一款适用于切削的机床，灵活度较大，但是存在刚度以及力传递性能不足的问题，不能应用于搅拌摩擦焊工况，所以需要对其进行尺寸优化。G.F.Bär[6]等介绍了该机床的构型基础，推导了该机构运动学逆解和动平台的速度，但是未考虑机构的伴随运动；谢福贵[7]等以该机构为参考原型，衍生为2（UPRPU）S-UCR 构型，并命名为啄木鸟机构，并且对该衍生机构进行了运动学逆解推导，根据运动/力性能指标进行了机构尺寸优化。

本文以5 自由度4-SPRR-SPR 并联机构为研究对象，将其用于汽车零部件搅拌摩擦焊接机器人的主进给机构，运用螺旋理论和运动/力性能评价指标对其进行性能评价和尺寸优化，优化后的机构不仅其优质工作空间GTW 明显增大，出现0.9 的区域，而且全域传递指标GTI 也得到相应的提高。

1 并联机构描述及坐标系建立

4-SPRR-SPR 并联机构三维简图如图1 所示，样机如图2 所示。该并联机构由定平台、动平台、驱动杆和各种运动副构成，定平台和动平台通过第1 支链-SPR 支链和第2，3，4，5 支链-SPRR支链构成。第1 支链自上而下通过球副（S）、移动副（P）、转动副（R）连接，第2—5 支链自上而下通过球副（S）、移动副（P）、2 个转动副（R）连接。

图1 4-SPRR-SPR 三维模型图Fig.1 4-SPRR-SPR 3D model

如图3 所示，建立的定坐标系O-XYZ 和动坐标系o'-x'y'z'。Ai为机架上第i 支链球副S 的圆心，以A1，A3连线的中点为原点，建立绝对坐标O-XYZ，OY 轴与水平面平行且指向A1，OZ 轴竖直向上。

图2 4-SPRR-SPR 样机Fig.2 4-SPRR-SPR prototype

图3 4-SPRR-SPR 机构简图Fig.3 4-SPRR-SPR mechanism sketch

建立运动平台坐标o'-x'y'z'。oy'轴与P1J1重合，o'z'与动平台轴线重合。Ji为第i 支链上转动副R1轴线中心点。P1与o'点重合，P2-P5为第2～5 支链转动副R2轴线中心点，与P1距离分别为c2-c5。因此J1点相对动平台固定,而J2-J5点可以绕o'z'轴以动平台半径r 转动。

2 并联机构的运动性能评价

2.1 运动/力传递性能介绍

并联机构的运动/力传指标包括输入传递性能指标和输出传递指标两部分[8]。根据文献[9]可知，非冗余并联机构的LTI 计算公式为

式中：λi——第i 个支链的输入传递性能指标；ηi——第i 个支链的输出传递性能指标；$Ti——第i 个支链的传递力螺旋；$Ii——第i 个支链的输入力螺旋；$Oi——第i 个支链的输出力螺旋

从式（1）可得，机构输入/输出传递性能指标取值范围为λi，ηi∈（0，1]，两种指标的值越大，表示机构的力传递性能越好，值越小表示机构力传递性能越差。当值接近于0 时，机构会发生输入/输出传递奇异。

机构的输入、输出传递性能指标能同时反应出机构瞬时的传递效率，任何一个性能指标的值过低，都会影响机构的传递性能。并且，每个分支中的输入、输出传递性能指标在不同位型下一般不同，因此，机构的最终传递效率由输入、输出传递性能指标值最低的分支决定，在文献[10]中，定义了LTI 的计算公式：

式（2）中，γ的取值范围为（0，1），且为一个无量纲常数，与坐标系无关，γ越大，表示该机构在该点的力传递性能越好，机构的传递效率越高。

文献[11]中，通过传递角的概念，定义当γ≥0.7 时，表征该机构传递效率较高，这些位置点的合集定义为运动/力的优质工作点（GPW）。

2.2 运动/力传递性能分析

如图3 所示，在文献[12]中，作者已经分析得出该机构只存在一个约束力螺旋：

式（3）中，螺旋$c轴线过球副中心A1点且与支链1 中的转动副R1轴线平行。

由于该并联机构具有5 个主动的移动副，因此具有5 个输入运动螺旋$I和5 个传递力螺旋$T，其中输入运动螺旋为

接下来对4-SPRR-SPR 并联机构的传递力螺旋$T进行求解。以第1 支链为例，当第1 支链的驱动副对应的螺旋$14被锁定，可得此时第1 支链运动副旋系U1为

以第2 支链为例，当第2 支链的驱动副对应的螺旋$24被锁定，可得此时第2 支链运动副旋系U2为

由于第3 支链、第4 支链、第5 支链构型与第2 支链构型相同，可得其余支链驱动副被锁定后的新反螺旋为

通过上述步骤，可求出每条支链在局部坐标系下的力传递螺旋$Ti。传递力螺旋的大小会受坐标系的影响，但不会影响其轴线方向。为了将力螺旋坐标统一，因此需要将其从局部坐标统一转化到固定坐标系O-XYZ，可得

设并联机构的单位输出运动螺旋为$oj=（LojMojNoj；PojQojRoj）（j=1，2，3，4，5），通 过文献[13]可知，单位输出运动螺旋$oj与传递力螺旋$Ti和约束力螺旋$c存在以下关系：

可采用文献[14]提出的利用增广矩阵的方法求解单位输出运动螺旋$Oj，本文不再详细描述。

综上所述，并联机构的输入传递指标ILI 为

从式（12）可得，机构在任何位置时，λi恒 为1。即该机构输入传递效率为100%。

并联机构的的输出传递指标OLI 为

综上所述，并联机构局部传递指标（LTI）为

3 并联机构的尺寸优化与结果分析

3.1 并联机构的尺寸优化

并联机构的尺寸优化过程的第1 步是要确定该机构的主要参数。如图1 所示机构的主要参数有：l1——机构的定平台的长；l2——机构的定平台的宽；r ——动平台的半径；h1——动平台的高度；h2——支链3，4，5 与支链1，2 的高度；L——支链驱动杆长度。

在实际中，机构体积、奇异位置、加工成本等，机构杆件参数不可能为无限长度，因此需要根据实际条件对杆长参数进行约束，如式（15）所示：

根据已有的运动/力传递性能及文献[15]，GTW 表示的是机构优质工作空间大小，机构的全域传递指标（GTI）如式（16）所示，描述的是机构在整体优质工作空间。

式中：V——机构的GTW 区域；Γ——无量纲常数，Γ∈（0.7，1.0）。Γ越大，表明机构在GTW范围内运动/力传递性能越好。

因此，本文选定GTW 以及GTI 作为机构尺度的优化目标函数。

3.2 并联机构的尺寸优化的结果分析

3.1 节已经定义了优化目标函数、约束条件以及优化算法。因为该并联机构具有5 个自由度，因此，动平台末端即使在相同位置，不同姿态下的机构GTW 以及GTI 也会不同，所以，优化目标函数通过搜寻可达空间下的GTW 以及GTI 的极值并不会找到不同工况下的尺寸最优值。因此，运用运动/力传递性能指标对于4，5，6 自由度的并联机构进行尺度优化，需要以并联机构的实际工况为基础，具体工作方式具体分析。如图4所示，本文以并联机构焊接汽车轮毂铝合金轮毂为例（β=70°，D=38 cm），进行尺度优化。设优化目标GTW ≥4 000（由加工工作空间决定）、GTI ≥0.78，进行多次遗传算法求解最优尺寸，其12 组数据如表1 所示。

图4 轮毂FSW 焊缝Fig.4 FSW weld of hub

表1 优化后机构参数Tab.1 Optimized mechanism parameters

由表1 可知，第8 组的并联机构尺寸拥有较大工作空间以及较高的性能，因此，选定第8 组数据为样机的最终尺寸。如图5 所示，并将机构初始参数与优化后尺寸进行LTI 指标对比发现，不仅机构的优质工作空间GTW 明显增大出现0.9 的区域，而且GTI 也得到相应的提高。

图5 运动/力传递性能图谱Fig.5 LTI map

4 结束语

对搅拌摩擦焊机器人主进给机构——4-SPRR-SPR 并联机构进行运动性能评价与尺寸优化，得到如下结论：

（1）根据搅拌摩擦焊实际工况，确定4-SPRR-SPR 并联机构的运动评价指标。

（2）得到了机构的输入螺旋、输出螺旋和传递力螺旋，然后将其从局部坐标系进行坐标统一，通过增广矩阵法，得到机构的单位输出运动螺旋。

（3）以焊接汽车铝合金轮毂为实例，设定优化目标，并通过遗传算法得到并联机构的尺寸最优值，绘制LTI 性能图谱，优化后的机构运动/力传递性能得到明显提升。