基于改进NSGA-Ⅱ算法的碟式斯特林系统多目标优化研究

党根叶，苏宏升**，车玉龙,2

(1. 兰州交通大学 自动化与电气工程学院，甘肃 兰州 730070；2. 西南交通大学 电气工程学院，四川 成都 611756)

在化石能源发展受限与环境污染问题凸显的今天，对能源的需求以及用于生产能源的化石燃料的价格预计将持续增长. 节能是节约稀缺能源的重要手段之一，同时还须减少发电过程中废气的排放量. 在可再生能源技术中，斯特林发动机以其高性能而备受关注. 与其他往复式热机相比，斯特林发动机的理论效率更接近卡诺效率，且具有燃料适应性强、运行特性好和结构简单等特点，已广泛应用于非常规热源发电[1-2].

在斯特林发动机热力学研究方法中，一般通过建立基于热力学原理的斯特林机数值模型分析和预测斯特林热机的性能. 目前，常用的建立模型方法包括有限时间热力学、有限速度热力学和多元数值模拟的热力学模型. Li等[3]利用有限时间热力学优化太阳能斯特林热机，研究了系统接收器温度、聚光器的集中比、回热器效率及冷热源之间的热泄露系数等设计参数对斯特林发动机效率的影响. Tlili等[4]利用有限时间热力学建立了不可逆式斯特林热机的热力学模型， 研究了回热器效率、冷/热源热容率及体积比对最大功率和最大功率点处的效率的影响，结果得到冷/热源热容率及体积比只对输出功率有影响，回热器效率只对系统热效率有影响. Hosseinzade等[5]基于多元有限速度热力学模拟了斯特林发动机的一种新的闭式解析热模型，分别研究了不同压力、不同温度下的转速以及发动机参数对输出功率和效率的影响. Ahmadi等[6]采用有限速度热力学分析研究斯特林热机，分析了热源温度、再生效率、容积比、活塞冲程和转速等因素的影响，计算了最佳转速下的最大输出功率，同时研究了最佳转速下的压力损失对斯特林发动机的影响. 此外，Babaelahi等[7]以斯特林发动机为研究对象，建立了一种基于多元数值模拟的新型热力学模型. 在加热器、冷却器和回热器中考虑了回热器非理想热回收和液压压降的影响，最后提出了一种新的多元分析模型，将具有不同损失机理用于斯特林发动机样机，并与以往的热模型和实验结果进行了比较.

近年来，斯特林热机的多目标优化得到广泛重视. 为了使斯特林热机更加高效运行，要求各个目标能够同时达到最优，且能够同时满足多个不同甚至相互矛盾的目标，得到一个帕累托最优解集. 对于给定的帕累托最优集，目标空间中相应的目标函数值称为帕累托边界. Campos等[8]对斯特林发动机进行了热力学优化，建立了发动机的数学模型，并利用该模型对斯特林循环效率进行了优化.Ahmadi等[9]提出了一种基于混合遗传算法和粒子群优化的前馈神经网络的太阳能斯特林热机功率估计模型，研究了回热效率、入口温度及工质温度对系统功率和效率的影响，并得到了相应的功率和效率. 此外，Ahmadi等[10]采用多目标进化算法研究热机的不可逆过程热力学分析和性能优化.Duan等[11]采用粒子群算法对斯特林发动机的功率输出、热效率和循环不可逆性参数进行优化分析. Punnathanam等[12]研究了基于前端阴阳极对斯特林发动机系统多目标优化，在3种不同的场景中分析优化输出功率、热效率、熵产率及压降等目标. 戴东东等[13]对斯特林发动机进行了有限时间热力学分析，在线性唯象传热定律的基础上，采用多目标遗传算法对其效率、功率以及生态学性能函数进行三目标同时优化. 以上对于斯特林热机的研究在模型建立、参数分析和算法优化等方面取得了一定成果，但目前仍然存在以下问题：①斯特林热机的高低温热源的等温吸热和等温放热难以实现，回热器回热不完全，模型建立做了简化处理；②热机热量损失和机械摩擦大，对工质密封技术要求高；③用多目标算法优化相应的目标函数时，存在易陷入局部最优、算法的收敛速度慢和解的分布性差等现象.

基于以上的分析及存在问题，本文考虑不可逆性的有限时间热力学模型，且通过改进的快速非支配遗传算法对斯特林发动机的输出功率、效率及压降进行研究. 首先，考虑冷热源之间的热漏、回热损失及各种机械摩擦损失，建立斯特林机输出功率、效率及压降的数学模型；然后，对多目标快速非支配遗传算法的选择算子和精英保留策略进行改进； 最后，选取11个参数作为决策变量，用改进后的算法对斯特林机的输出功率-压降、效率-压降及输出功率-效率-压降分别进行两目标和三目标优化，并分析了11个决策变量在优化过程中的分布情况，利用TOPSIS决策方法从Pareto边界的可用解中选择最终最优解.

1 碟式斯特林机热力学模型

斯特林发动机是一种外部加热的闭式循环发动机，通常分为热腔、加热器、回热器、冷却器和冷腔5个部分. 理想的斯特林发动机循环过程由两个等温过程和两个等容过程组成，具体过程如图1所示. 图中1→2是等温压缩过程，工质在压缩腔内和冷源中分别保持在恒定的低温Tc和TL，工质流经冷却器时将压缩产生的热量散掉；2→3是等容吸热过程，工质在回热器内吸收热量，温度升高；3→4是等温膨胀过程，工质经加热器加热，在热腔中膨胀，温度保持在Th；4→1是等容放热过程，工质在热腔通过回热器返回冷腔，回热器吸收工质的热量，工质温度下降至Tc，并将热量传递给回热器，进行下一个循环过程.

图1 斯特林循环的P-V和T-S关系曲线Fig. 1 P-V and T-S curve of Stirling cycle

在考虑循环不可逆性的基础上，对斯特林热机进行建模. 斯特林机的效率由卡诺效率可表示为

其中，ηc是卡诺效率，ηⅡ是第二定律效率，主要体现循环的不可逆性.

其中，TH是热源温度（K），ΔTH是热源与工质之间的温差（K），TL是冷源温度（K），ΔTL是冷源与工质之间的温差（K）.

其中， ηⅡ(Δp)是与压降有关的不可逆性，ηⅡ(X) 是回热过程的不可逆性.

其中，μ′是回热过程的体积比，Δpt是不可逆过程中总压降（kPa），p1是循环入口压力（MPa），η′是回热过程卡诺效率与第二定律效率的联系.

其中，εr是回热器效率，r是比热容比，λ 是回热过程体积比，τ 是温度比，pm是发动机平均有效压力（MPa）.

回热过程的不可逆性为

其中，X是回热器所有效率损失，a是调整系数；a=0.72，mg是气体质量（kg），mr是回热器的质量（kg），h是对流换热系数，Ar是回热器面积（m2），N是发动机的转速（r·m-1），Cv是气体等容比热（J·kg-1·K-1），Cr是回热器蓄热材料比热（J·kg-1·K-1）.

其中，R是气体常量，其值为 (8.314 J·kg-1·K-1)，s是活塞行程（m2·s-1），Cp是气体等压比热（J·kg-1·K-1），v是运动粘度（m2·s-1），b是回热器导线距离（m），d是回热器导线直径（m），Dr是回热器直径（m），Pr是普朗特数，L是回热器长度（m），ρ 是密度（kg·m-3）.

斯特林机的输出功率为

其中，η 是斯特林机效率，Qw是工质的热量.

其中，qh是热源与工质之间释放的热量（J），Δqr是循环中的回热损失（J），Δpv是活塞运动摩擦压降（kPa），Δpr是热机回热器发生摩擦时的压降，Δpf是热机不同部位的机械摩擦的压降（kPa），f是摩擦系数.

其中，Dc是活塞直径（m），nr回热器芯网数. 因此，斯特林机总的压降为

2 多目标优化算法及决策方法

2.1 多目标优化在多目标优化问题中，各个目标之间相互制约，可能使得一个目标性能的改善往往是以损失其它目标性能为代价，不可能存在一个使所有目标性能都达到最优的解. 因此，对于多目标优化问题，其解通常是一个非劣解的集合（Pareto最优集），相应的目标函数的值称为Pareto前沿.Pareto前沿有一个理想的目标向量Zi和非理想的目标向量Zn，分别为Pareto最优解的目标函数值定义的上界和下界. 如图2所示，给出了优化两个目标函数f1和f2的Pareto前沿.

图2 多目标优化的Pareto前沿Fig. 2 Pareto frontier of multi-objective optimization

2.2 改进快速非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ是一种带精英策略的快速非支配排序遗传算法，该方法采用了快速非支配排序算子优化计算复杂度，精英策略防止最佳个体遗失和拥挤度比较算子优化种群多样性[14-15]. 此外，拥挤度只能反映与个体最邻近的两个个体之间的距离，并不能有效反映出该个体的密度情况，很容易陷入局部收敛. 因此本文在快速非支配排序遗传算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithms Ⅱ，NSGA-Ⅱ)的基础上引入改进的选择算子和改进的精英搜索策略，提出改进型的NSGA-Ⅱ算法解决局部最优、提高收敛速度和保证解的多样性.

2.2.1 改进的选择算子 为了保证种群多样性，加快收敛速度，本文引入平均距离聚类的选择算子对种群进行选择. 平均距离聚类是将整个种群通过平均距离均匀划分为多个小种群，对于规模为n的种群P，其第j个目标函数的平均距离为

其中，V为小种群中个体数量，fj,max和fj,min分别为第i个目标函数的最大值和最小值.

个体i所在的小种群中其他个体的确定，若个体j与i在同一个小种群内，则个体j应满足

其中，fi,max和fi,min分别为i小种群中所有个体目标函数的上下界，M为目标函数的个数.

将平均距离聚类用于选择算子选择个体时，对随机的个体xi和xj，判断其支配关系，若存在支配关系，则通过拥挤度距离选择较优个体，若不存在支配关系，比较小种群内个体数量，选择个体数量少的个体，若个体数量相同，则随机选取其一. 利用平均距离聚类可有效判断不存在支配关系的个体，能够避免选择拥挤度距离大的个体，保证种群多样性.

2.2.2 改进的精英保留策略 由于精英保留策略在保留的过程中会有大量冗余的个体保留到下一代，进化繁殖会产生大量相似个体覆盖整个种群，造成早熟收敛. 因此，对精英保留策略在原有基础上加以改进，在父代和子代组成2n种群规模中保留第一非支配层级的非支配解的个体，对其他非支配层个体的选取提出一种按比例选择的方式进行选取，最终使得新种群的个体为n. 不同级层的非支配层个体选取规则为

其中，ni为第i层级选取的个体数目，K为种群非支配层级最大值，i为需要选取个体的层级编号.

具体的过程为父代和子代合并形成2n个种群，对合并后的种群快速非支配排序确定层级；然后对每个层级进行拥挤度计算，根据拥挤度值降序排序，遍历第一非支配层级后，判断新种群规模是否大于等于n. 若是，则对后面层级停止遍历，除去多余个体，使种群规模为n. 若不是，则按照比例选择的方式对选取后面层级的个数，最终保证种群规模为n.

2.2.3 INSGA-Ⅱ算法具体步骤

步骤1随机产生规模为n初始种群P0；

步骤2快速非支配排序和拥挤度计算；

步骤3通过改进选择算子选择n个个体；

步骤4进行交叉变异产生子代种群Q0；

步骤5合并P0、Q0形成规模为2n种群Pt；

步骤6通过改进的精英保留策略，从Pt选择n个个体组成新的父代种群Rt；

步骤7判断是否达到最大迭代次数，达到则停止搜索，否则转至步骤2.

2.3 TOPSIS决策方法在多目标优化中，从可行解中选择最终最优解需要一个决策过程. 因而，决策过程需要通过决策方法从Pareto前沿选择出最终的最优解. 本文采用TOPSIS法对Pareto最优解集进行决策. 在决策过程前，要对不同目标进行无量纲化处理，使目标空间的维数达到统一.

TOPSIS采用的是欧氏无量纲化. 在欧式无量纲化中，Pareto前沿上各个点构成的目标矩阵用fij表示，其中i表示位于Pareto前沿上的每个点，j代表目标空间的维数. 因此，无量纲化的目标矩阵定义为

在TOPSIS决策方法中，不仅有理想点还有非理想点. 理想点是该点的每个目标都达到了最优，这在多目标优化问题中不存在这样的点. 非理想点是该点的每个目标都是最坏的，在实际中也不存在这样的点. 因此，除了与理想点的解的距离之外，还利用与非理想点的解的距离作为选择最终解的标准.

其中，di+为Pareto前沿上的点到理想点的距离，di-为Pareto前沿上的点到非理想点的距离，n为目标的个数，为第j个目标在单目标条件下的最优值，为第j个目标在单目标条件下的最劣值.

综合评价参数

使得Yi为最小值的解被选作最终解

3 目标函数、决策变量和约束条件

本文采用基于改进的快速非支配排序遗传算法的多目标优化方法，分别对两目标(Pout-Δpt)、(η-Δpt)及三目标(Pout-η-Δpt)进行优化.

确立的目标函数

采用11个决策变量N(r·m-1)、pm(MPa)、s(m)、nr、Dc(m)、Dr(m)、L(m)、TH(K)、TL(K)、ΔTH(K)、ΔTL(K)，分别表示发动机的转速、发动机的平均循环压力、活塞行程、回热器芯网数、活塞直径、回热器的直径、回热器长度、热源温度、冷源温度、热源与工质之间的温差、冷源与工质之间的温差. 约束条件为：1200≤N≤3 000，0.69≤pm≤6.89，0.06≤s≤0.1，250≤nr≤400 ，0.05≤Dc≤0.14，0.02≤Dr≤0.06，0.006≤L≤0.073，800≤TH≤1 300，288≤TL≤360，64.2≤ΔTH≤237.6，5≤ΔTL≤25.

4 结果与讨论

本文优化使斯特林发动机的输出功率和效率最大化，系统压力损失最小化. 发动机的工况参数选择如下：mg=1.135×10-3kg，R= 8.314 J/(mol·K)，ρ=8 030 kg/m3，Cr=502.48 J/(kg·K)，Cpg=5 193 J/(kg·K)，Cvg=3 115.6 J/(kg·K)，Nr=8，d=0.04 mm，b=0.068 8 mm，λ=1.2，ν=0.324 9 mm2/s，Pr=0.71，f=0.556.

将INSGA-Ⅱ算法应用到碟式斯特林系统多目标、多约束问题中，算法流程图如图3所示. 在本文研究中，INSGA-Ⅱ算法多目标优化参数选择如表1所示.

图3 INSGA-Ⅱ算法的系统多目标优化流程图Fig. 3 Multi objective optimization flow chart of INSGA-Ⅱalgorithm

表1 INSGA-Ⅱ算法多目标优化参数Tab. 1 Multi objective optimization parameters of INSGA-Ⅱalgorithm

4.1 输出功率-压降优化图4为考虑输出功率和压降两目标得到的Pareto前沿. 图中，系统的压力损失随输出功率的增加而增加. 表2为两目标（Pout-Δpt）优化结果与单目标优化结果[12]的比较.从中可以看出，相比于单目标优化功率，两目标优化功率虽然少了6.03 kW，但压降降低了26.09 kPa. 因此，两目标优化的解是更理想的结果. 图5（a）～（k）给出了两目标（Pout-Δpt）情况下种群个数为300的决策变量的变化，对应于图4的Pareto的前沿.

图4 Pout-Δpt 的Pareto前沿Fig. 4 Pareto front ofPout-Δpt

表2 两目标(Pout-Δpt)优化与单目标优化结果对比Tab. 2 Optimization results comparison of two objective (Pout-Δpt) and single objective

图5 (a)～(k)输出功率-压降的Pareto前沿对应的设计变量分布Fig. 5 Design variables distribution of (a)～(k) corresponding to Pareto front of output power - pressure drop

从图5（a）～（k）可以看出，决策变量TH、TL、s、Dr和L的最优值在整个Pareto前沿几乎是恒定的，Dc、ΔTH和ΔTL的分布在某些数据点上存在变化，而N、pm和nr在整个Pareto前沿的上下限之间连续变化. 因此，在两目标（Pout-Δpt）的优化中相互冲突的决策变量是N、pm和nr.

4.2 效率-压降优化图6为考虑效率和压降两目标得到的Pareto前沿. 系统的压力损失随效率的增加而增加. 表3为两目标（ η-Δpt）优化结果与单目标优化结果[12]的比较. 由表3可知，相比于单目标优化效率，两目标优化效率提升了11.72%，但是压降仅升高了3.61 kPa.

表3 两目标(η-Δpt)优化与单目标优化结果对比Tab. 3 Optimization results comparison of two objective (η-Δpt) and single objective

图6 η-Δpt 的Pareto前沿Fig. 6 Pareto front ofη-Δpt

图7 (a)～(k)效率-压降的Pareto前沿对应的设计变量分布Fig. 7 Design variables distribution of (a)～(k) corresponding to Pareto front of efficiency - pressure drop

图7（a）～（k）是两目标（η-Δpt）与图6的Pareto前沿相对应的决策变量的分布. 从图7中可以看出，决策变量pm、nr和Dc在整个Pareto前沿的上下限之间连续变化，其他的决策变量N、s、TH、TL、Dr和L的最优值在整个Pareto前沿几乎是不变的，ΔTH和 ΔTL的分布只在某些数据点上存在变化，而Pareto前沿的分布仅由这些相互冲突的决策变量影响.

4.3 输出功率-效率-压降优化图8为同时考虑输出功率、效率和压降三目标得到的Pareto前沿.图中的点集即为所求的Pareto前沿，并给出了TOPSIS决策方法的最优解. 将TOPSIS决策得到的多目标结果与单目标优化结果[12]对比如表4所示.

表4 三目标(Pout-η-Δpt)优化与单目标优化结果对比Tab. 4 Optimization results comparison of three objective (Pout-η-Δpt) and single objective

图8 Pout-η-Δpt 的Pareto前沿Fig. 8 Pareto front ofPout-η-Δpt

由表4可以看出，单目标优化结果中当设计的输出功率最大时，压降最高，效率适中. 同理，设计效率最高时，压降较大，输出功率适中，反之亦然.多目标优化结果虽然不是各项指标中最大的，却使得各项指标达到综合最优. 因此，由TOPSIS决策选择的最终最优解是更为合理的.

图9 (a)～(k)输出功率-效率-压降的Pareto前沿对应的设计变量分布Fig. 9 Design variables distribution of (a)～(k) corresponding to Pareto front of output power - efficiency - pressure drop

图9（a）～（k）是输出功率-效率-压降情况下种群个数为600的决策变量的变化分布，对应于图8中的Pareto前沿. 从图9（a）～（k）可以看出，决策变量TH、TL、s、Dr和L的最优值在整个Pareto前沿几乎是恒定的，而N、pm、nr、Dc、ΔTH和ΔTL的分布在整个Pareto前沿的上下限之间连续变化.在Pareto域中的权衡是由这些不断变化的变量之间的相互冲突影响的.

5 结论

本文建立基于有限时间热力学的斯特林发动机模型，考虑输出功率最大化、效率最大化、压降最小化3个目标，采用改进快速非支配排序遗传算法对这3个指标分别进行两目标和三目标优化. 利用TOPSIS决策方法，从Pareto边界的最优解集中选出最优解. 通过比较多目标优化和单目标优化结果，得出多目标优化比单目标优化能得到更理想的斯特林循环参数设计. 在选择的决策变量中发动机的转速、发动机的平均循环压力、回热器芯网数、活塞直径等系统参数的变化具有较高的灵敏度. 因此，在太阳能碟式斯特林发动机的设计过程中，必须准确合理地设计这些参数.