Ostrowski-Brauer Sparse B (OBS-B)矩阵及其线性互补问题的误差界

刘 毅，井 霞，高 磊

(宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013)

P-矩阵是指所有主子式皆为正的矩阵，其广泛应用于工程、经济等领域的优化问题中. 众所周知，优化领域的线性互补问题(如下)有唯一解当且仅当相关矩阵为P-矩阵，P-矩阵由此受到国内外学者的广泛关注[1-5]. 给定矩阵M∈Rn×n和向量q∈Rn，线性互补问题 LCP(M,q)是指寻找x∈Rn满足

或证明这样的x∈Rn不存在. 进一步，当M为P-矩阵时，容易得到线性互补问题LCP(M,q) 的解存在且精确解x*与近似解x的误差界[6]：

其中r(x)=min{x,Mx+q}表示对向量x与Mx+q对应位置分量取最小,D=diag(di),d=[d1,d2,···,dn]T(0≤di≤1). 然而，对于不具有特定结构且阶数较大的P-矩阵，误差界(1)中的计算是十分困难的. 注意到当矩阵具有特定结构时，上述问题将得到极大缓解[7-13]. 为此，寻找P-矩阵的具有特殊结构的子类并研究其线性互补问题的误差界显得尤为重要. 本文在OBS矩阵定义的基础上，引入一类新的结构矩阵：OBS-B矩阵，证明该矩阵为P-矩阵，并讨论该矩阵与其他P-矩阵子类如B-矩阵、DB-矩阵、B-Nekrasov矩阵、DZ-typeB矩阵之间的关系；进一步给出OBS-B矩阵线性互补问题的误差界，证明所给误差界优于现有的结果. 最后，给出数值算例阐明结果的有效性.

1 预备知识

令Rn×n(Cn×n)表示所有n阶实矩阵(复矩阵)的集合，指标集N={1,2,···,n}.设矩阵，记下面给出本文所用到的定义和引理.

定义1[14]设矩阵. 若对任意的 i,j∈N ，i≠j，有

则称A为双严格对角占优矩阵，也称为Ostrowski-Brauer矩阵.

2019年，Kolotilina[15]考虑到矩阵元素的稀疏性，在双严格对角占优矩阵的基础上，提出一类带有稀疏结构的矩阵类，称之为Ostrowski-Brauer Sparse矩阵.

定义2[15]设,n≥2. 若A无零行且对满足的i,j∈N，有

则称A为Ostrowski-Brauer Sparse矩阵，简称为OBS矩阵.

进一步，Kolotilina证明了OBS矩阵为非奇异H-矩阵，并给出其逆矩阵的无穷大范数估计式.

引理1[15]若A=[aij]∈Cn×n,n≥2是OBS矩阵，则A是非奇异H-矩阵.

引理2[15]设A=[aij]∈Cn×n,n≥2为OBS矩阵，则

下面给出P-矩阵的一些重要子类. 设矩阵. 则A可分裂为A=B++C，其中

2001年，Peña[1]提出一类重要的结构矩阵：B-矩阵，并证明了该矩阵为P-矩阵.

定义3[1]设，若对任意的i,j∈N且，有

则称A为B-矩阵.

同时，Peña给出了B-矩阵的一个与严格对角占优矩阵密切相关的等价定义.

定义4[1]设且A=B++C，其中如(2)式所示. 矩阵A为B-矩阵当且仅当B+为具有正对角元的严格对角占优矩阵.

2009年，García-Esnaola等在文献[16]中给出了B-矩阵线性互补问题的误差界.

定理1[16]设是B-矩阵，如(2)式所示，则

此外，基于B-矩阵的等价定义，Peña在文献[2]中提出了一类包含B-矩阵的结构矩阵类：DB-矩阵，该矩阵也为P-矩阵的重要子类.

定义5[2]设且A=B++C，其中如(2)式所示. 若矩阵B+为具有正对角元的双严格对角占优矩阵，则称A为DB-矩阵.

本节最后，我们罗列出下文证明中用到的一些技巧性引理.

引理3[2]若为非奇异M-矩阵，P是非负矩阵且秩为1，则A+P是P-矩阵.

引理4[7]设 γ＞0和 η≥0，则对任意的x∈[0,1]，有

引理5[8]设且则, 有

2 主要结果

下面结合OBS矩阵与B-矩阵的等价定义，给出OBS-B矩阵的定义，并证明OBS-B矩阵是P-矩阵的子类.

定义6设,n≥2，且A=B++C如(2)式所示. 若B+为主对角元为正的OBS矩阵，则称A为OBS-B矩阵.

由引理3易证OBS-B矩阵为P-矩阵.

定理2若,n≥2 是OBS-B矩阵，则A是P-矩阵.

证明由A是OBS-B矩阵知，B+是主对角元为正的OBS矩阵且为Z-矩阵(所有非主对角元非正)，因此B+为具有正对角元的非奇异H-矩阵，从而为非奇异M-矩阵. 由(2)知C是非负矩阵且秩为1. 因此，由引理3可得A=B++C为P-矩阵. 证毕.

注1由定义1和定义2知双严格对角占优矩阵为OBS矩阵，故由定义4、定义5和定义6易知下列关系成立：

此外，由文献[17]知

因此，结合关系式(3)可得OBS-B矩阵不是B-Nekrasov和DZ-type-B矩阵的子类，即

进一步，下面的例子说明B-Nekrasov和DZ-type-B矩阵也不是OBS-B矩阵的子类，即

例1考虑如下矩阵：

由文献[17]中例2知A1是DZ-typeB矩阵. 由|a22||a33|=304＜r2(A)r3(A)=440 知A不是OBS-B矩阵. 矩阵A2显然是Z-矩阵，因此B+=A, 令计算可得

因此A2是B-Nekrasov矩阵. 由知A2不是OBS-B矩阵.

综上所述，我们给出B-矩阵、DB-矩阵、OBS-B矩阵、B-Nekrasov矩阵及DZ-typeB矩阵之间的关系图如图1.

下面讨论OBS-B矩阵线性互补问题的误差界，首先给出一个重要引理.

引理6设为主对角元为正的OBS矩阵，且，其中D=diag(di)(0≤di≤1)，则仍为主对角元为正的OBS矩阵.

图1 OBS-B矩阵与P-矩阵一些子类的关系Fig. 1 Relations between OBS-B matrices and some subclasses of P-matrices

证明由知

又因为A是主对角元为正的OBS矩阵且D=diag(di)(0≤di≤1)，故对任意的i∈N，有di+diaii＞0，且对满足且的i,j∈N,i≠j,当dj≠0 时，有

当dj=0 时，有

因此，由定义2得是主对角元为正的OBS矩阵. 证毕.

利用引理2，引理4～6，下面给出OBS-B矩阵线性互补问题的误差界.

定理3设为OBS-B矩阵，记A=B++C，其中B+=[bi j] 形如(2)式，则

其中：

证明令，则，其中DC. 因为B+是主对角元为正的OBS矩阵，故由引理6得也为主对角元为正的OBS矩阵，即为非奇异M-矩阵. 从而由文献[16]中定理2.2的证明知

鸨鸟肃肃地扇着双翼，停落在荆棘里。 王家的事没了没完，黍稷全不能种植。 父母拿什么做饭？遥远的苍天呀！何时才能终止？

注意到B+是主对角元为正的OBS矩阵且,i∈N. 因此，对每个i∈N有：

因此，

由(6)和(7)式知定理 3结论成立. 证毕.

由关系式(3)可知B-矩阵是OBS-B矩阵的一个子类，因此(4)式同样可作为B-矩阵线性互补问题的误差界. 为了说明误差界(4)的优越性,下面我们给出一个比较定理.

定理4设A=[aij]∈Cn×n是B-矩阵，记A=B++C，其中矩阵B+=[bi j]如(2)式所示. 对满足bij≠0 的任意i,j∈N,i≠j,若bii＜1,bjj＜1，则

若下列条件任意一条成立:

则

证明注意到和从而当ri(B+)=0时，有βi=bii. 因此

对满足bi j≠0的任意i,j∈N,i≠j，若bii＜1，bjj＜1，显然有

即

移项可得

即

移项可得

即

移项得

即有

3 数值算例

下面给出两个数值算例对所得理论结果进行说明.

例2考虑矩阵

由矩阵A的分裂A=B++C，其中

得A为B-矩阵. 从而由定理1中的(3)式得

又因为B-矩阵也是DZ-type-B矩阵、B-Nekarsov矩阵、OBS-B矩阵(见图1)，故由文献[12]中B-Nekarsov矩阵线性互补误差界得

由文献[17]中DZ-type-B矩阵线性互补误差界得

由定理3中OBS-B矩阵的线性互补误差界(4)式得

上述结果显示误差界(4)优于文献[12]和文献[17]所给的误差界.

例3考虑矩阵

显然，矩阵A是Z-矩阵，因此，B+=A. 令B+=[bij],计算得

因此，A不是DB-矩阵、DZ-typeB矩阵和B-Nekrasov矩阵，从而无法用相应的误差界估计然而，对满足bi j≠0的任意i,j∈N,i≠j有

即A是OBS-B矩阵，从而由定理3得