一种基于三角模糊互补偏好关系的群决策方法

金 珍，陈 静，李小玲

(1.南昌工程学院 理学院，江西 南昌 330099；2.广州航海学院 基础人文社科部，广东 广州 510725 3.江西农业大学 计算机与信息工程学院，江西 南昌 330045)

由于偏好关系结构的灵活性和人们易相对比较的特点，偏好关系已经在决策和群决策中得到广泛的应用。经典的互补偏好关系[1-2]和互反偏好关系[3-4]中，方案两两比较的偏好信息均以实数形式表示，忽略决策者的不确定性和犹豫性。考虑到人们思维的局限性和问题的复杂性，决策者(或专家)很难用精确数来给出方案的评价信息。在这些复杂的决策问题中，决策者常常遇到一些难以准确描述的事物，这种不确定性表现为模糊性，从而产生了基于偏好关系的模糊群决策问题的研究。

因此，区间模糊偏好关系[5-7]、直觉模糊偏好关系[8-12]、区间值直觉模糊偏好关系[13-14]和三角模糊偏好关系(TFPR)[15-23]相继出现。特别地，TFPR中的元素是以三角模糊数(TFN)表示，TFPR又分为三角模糊互补偏好关系和三角模糊互反偏好关系。

2002年，徐泽水[15]给出了三角模糊互补偏好关系的概念，并在此基础上定义了用于TFN相互比较的可能度公式，随后借助可能度概念提出了一种新的三角模糊互补偏好关系排序方法。但其按行求和归一化进行权值排序的合理性有待于进一步证明。姜艳萍和樊治平[16]提出了一种计算TFN期望值的方法，利用该方法计算每个备选方案的期望值从而得到方案的排序值，基于此对备选方案进行排序。该方法虽然简单有效，但直接运用期望值对TFN去模糊化会造成一定程度的信息丢失。徐泽水[17]提出一种模糊有序加权平均算子，专家以三角模糊互补偏好关系的形式给出方案的评价信息，该文献利用提出的模糊有序加权平均算子对决策信息进行集结，采用TFN期望值求解方案对应的排序向量，最后对备选方案进行排序。文献[24]通过定义两个专家之间的相似度以及专家与其他专家之间的接近度，研究具有三角模糊互补偏好关系的群决策问题的视觉信息反馈机制。文献[25]考虑专家的信任水平，通过定义三角模糊数的左、右几何平均数提出三角模糊互反偏好关系的左、右几何共识度定义，从而提出一种新的群体决策方法。

本文根据各专家给出的三角模糊互补偏好关系确定专家权重，进一步最大化群体共识度构建规划模型，确定群体三角模糊互补偏好关系，得到三角模糊优先权重，从而研究一种基于三角模糊互补偏好关系的群决策方法。

1 预备知识

定义1=(-，+)上的模糊数如果其隶属函数→[0，1]表示为[26]

(1)

0≤lij≤mij≤uij≤1，lij+uji=mij+mji=uij+lji=1，lii=mii=uii=0.5，

(2)

(3)

当p=1时，式(3)退化为文献[27]中的汉明距离：

当p=2时，式(3)称为欧几里得距离：

2 基于三角模糊互补偏好关系的一种群决策方法

在群决策问题中，专家权重的确定是非常必要也是至关重要的。本节将根据各专家的三角模糊互补偏好关系基于标准正态分布函数确定专家权重，进一步最大化共识度指标构建规划模型确定综合三角模糊互补偏好关系，从而根据三角模糊权重对方案进行排序。

2.1 专家权重的确定

(4)

(5)

2.2 三角模糊优先权重的确定

为了使群体共识度尽可能高，建立如下优化模型确定群体三角模糊互补偏好关系：

(6)

为简便起见，以p=1为例。记

则式(6)可以变形为

(7)

(8)

进一步，利用文献[29]中的公式

(9)

2.3 一种用于解决基于三角模糊互补偏好关系的群决策方法

用于求解基于三角模糊互补偏好关系的群决策方法可概述如下：

步骤3利用式(5)计算专家权重；

步骤6根据式(9)计算vi(i=1，2，…，n)的值，按照vi的递减顺序对方案xi进行排序。

3 案例分析和比较分析

本节通过文献[24]的例子来验证文中提出方法的有效性，并与文献[24]提出的方法进行比较分析。

3.1 案例分析

假设备选方案集X={x1，x2，x3，x4}，专家集E={e1，e2，e3，e4}。设专家ek(k=1，2，3，4)给出的三角模糊互补偏好关系分别如下：

首先，通过式(4)，得到平均三角模糊互补偏好关系：

其次，取p=1，利用式(5)计算得到专家权重，分别为ω1=0.3249，ω2=0.0829，ω3=0.3249，ω4=0.2673.

接着，根据式(7)得到群体三角模糊互补偏好关系：

然后，利用式(8)得到方案xi(i=1，2，3，4)的三角模糊权重向量分别为

最后，根据式(9)计算vi(i=1，2，3，4)的值v1=1.0629，v2=0.9740，v3=0.9488，v4=1.0605。从而，方案xi(i=1，2，3，4)的排序结果为x1≻x4≻x2≻x3。

3.2 比较分析

文献[24]定义两个专家之间的相似度以及某个专家与专家组其他专家之间的接近度，结合相似度和接近度提出群体共识度的概念，从而设计一种基于三角模糊互补偏好关系的群决策问题的视觉信息反馈机制。该反馈机制可识别对达成共识度有较大影响的专家、备选方案和相应的偏好值，并对被识别者提出个性化建议。

当0≤λ<0.175时，x4≻x1≻x2≻x3；当λ=0.175时，x4～x1≻x2≻x3(“～”表示无法比较)；当0.175≤λ<0.875时，x1≻x4≻x2≻x3；当λ=0.875时，x1≻x4～x2～x3；当0.875<λ≤1时，x1≻x2≻x4≻x3。

可以看出，本文提出的方法当p=1时得到的结论与文献[24]中0.175≤λ<0.875时的情况一致。在确定专家权重和构建的规划模型(6)中取不同的p值时，得到的排序结果见表1。

表1 参数p取不同值时对应的排序结果

4 结束语

三角模糊偏好关系在群决策的应用受到了国内外学者的广泛关注。本文充分利用各专家提供的三角模糊互补偏好关系中隐含的决策信息，较客观地通过偏好关系本身确定专家权重，并通过最大化群体共识度求得群体三角模糊互补偏好关系，从而导出方案的三角模糊优先权重向量，提出一种群决策方法。通过构建规划模型将个体三角模糊互补偏好关系集结得到群体三角模糊互补偏好关系，在一定程度上提高了群决策的客观性和合理性。