复合场中的滚轮线

王朝祥 宋婕

(北京市第八十中学 北京 100102)

滚轮线，是轮子滚出来的曲线，是数学里众多摆线中的一种.半径为R的轮子在水平面上沿一直线纯滚动，轮子边缘上任一点P的运动轨迹便是一条滚轮线[1].

1 滚轮线的数学特征

建立坐标轴如图1所示，t=0时质点P在坐标原点，以轮子的转角θ为参数，摆线方程为

不难发现，滚轮线的跨度为2πR，质点P的最大高度为2R.

图1 匀速纯滚动

ρ=4R

2 复合场中的滚轮线

在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m,带正电q的小球在O点由静止释放，小球在重力和洛伦兹力作用下运动，其运动也是一条滚轮线(下滚轮线)，如图2所示.

图2 复合场中的滚轮线

为了解释滚轮线的成因，我们做如下分析：

带电小球因重力而下落，有了速度便会受洛伦兹力作用，形成曲线运动.如图3所示，将小球在运动过程中任意时刻的速度v进行分解.

图3 复合场中带电小球速度分析

综上可见，带电小球的运动可以分解为水平向右的匀速直线运动和半径为R的匀速圆周运动，其运动轨迹为滚轮线也就不难理解.

若以一恒力F(匀强电场中的电场力Eq，或者电场力Eq与重力mg的合力)代替重力场，带电小球的轨迹也是滚轮线[2].

下面通过两个典型问题体验一下与滚轮线相关的定量运算.

【例1】水平放置的两个平行金属板MN和PQ间存在匀强电场(场强大小为E)和匀强磁场(磁感应强度大小为B)，磁场方向垂直纸面向里.质量为m,电荷量为q的带电微粒(重力可忽略)只在电场力和洛伦兹力作用下，从I点由静止开始运动，运动轨迹如图4所示.已知微粒到达K点时速度为零，J是曲线上离MN板最远的点之一，曲线在J点的曲率半径为该点到I点竖直方向距离的2倍.以I点为原点建立坐标系，求：

图4 例1题图

(1)微粒运动到任意位置S(x，y) 处的速率v；

(2)J点的纵坐标ym.

分析与解答:

(1)微粒从I点运动到S点，洛伦兹力不做功，根据动能定理

(2)微粒运动到J点，洛伦兹力与电场力的合力提供向心力，即

点拨与发散:

本题难度是高考难度的问题，题目涉及滚轮线，但未明示滚轮线的叫法，也给出了“曲线在J点的曲率半径为该点到I点竖直方向距离的2倍”这一重要关系，避免增加题目难度.

根据前文所述，本题中带电微粒在电场力和洛伦兹力作用下运动，轨迹为滚轮线.

图5 例2题图

分析与解答:

质点沿y轴正方向进入磁场，进入磁场时的初速度

带电质点在磁场中的运动分解为水平向右的匀速直线运动(速度大小为v1)和一个逆时针方向的匀速圆周运动(速度大小为v2).

研究圆心水平向右的速度v1

如图6所示，将v0看作v1与v2的合速度，则

图6 速度v0分解

匀速圆周运动的周期

角速度

如图7所示，以匀速圆周运动的圆心C为坐标原点，建立匀速向右运动(速度大小为v1)的直角坐标系x′Cy′.

结合图6和图7可知，在xOy系中任意时刻t圆心C的坐标为

xC=Rsinθ+v1tyC=Rcosθ

图7 以C为原点建立直角坐标系

在x′Cy′系中研究带电质点的匀速圆周运动.t=0时带电质点进入磁场，所在半径与y′轴负方向的夹角为θ.t时刻带电质点所在半径与y′轴负方向的夹角为ωt+θ，坐标为

x′=-Rsin (ωt+θ)y′=-Rcos (ωt+θ)

在xOy坐标系中，带电质点坐标

x=xC+x′y=yC+y′

代入数据,整理得

点拨与发散:

本题节选自第17届全国中学生物理竞赛复赛题第五题，带电质点在重力场和匀强磁场中运动，轨迹为滚轮线.要求学生能将质点的运动分解为圆心C的匀速直线运动和绕C点的匀速圆周运动，然后结合辅助圆进一步定量运算.滚轮线问题在近些年的自主招生(强基计划)测试中出现频率较高.

3 结束语

处理滚轮线问题的关键是构造匀速直线运动以平衡电场力(重力)，从而将带电质点的运动分解为匀速直线运动和匀速圆周运动，简化了问题的处理过程.这种处理问题的方法可以称为配速法，渗透了补偿思想和化归思想，教师可以引导学有余力的学生仔细体会.