自主建构，主动探究，感悟数学本质

戚璐

自主建构、主动探究是学生数学学习的主要方式。自主建构是自我导向、自我激励、自我尝试、自我监控的学习。在数学教学中，我们要给予学生充分的探究空间，赋予学生自主的探究权力，而实际教学中，笔者发现所谓的“自主建构”总是教師过度预设下的建构，这样的设计往往窄化了学生的思维，导致学生“知其然，而不知其所以然”。真正的自主建构应当是教师引导学生重复数学创造的关键步子，自然地生发问题、分析问题并解决问题的过程。在这个过程中，教师要适度介入，助推学生感悟其中的数学思维。下面，笔者以苏教版小学数学教材五年级上册“钉子板上的多边形”教学为例，研讨我们该如何引导学生自主建构、主动探究，感悟数学的本质。

一、课前慎思

1.现象描述：“钉子板上的多边形”这一部分是综合与实践活动领域的内容，属于探索规律类的课型，这一课型是培育学生创新精神和实践能力的优质载体。在这一部分的教学中，教师应有意识地让学生进行自主建构、主动探究、积极创造。但现如今许多的课堂教学设计，几乎都是千篇一律的。很多教师在引导学生进行探究时，总是提前介入，左右学生的思维，从而导致学生学习了这部分内容之后，对“钉子板上的多边形”（皮克定理）仍然十分陌生。具体表现为学生或记不清该用哪个公式解决具体问题，或对公式概念、探究的过程认识不到位等。那么，究竟是什么原因导致学生对所建构的知识认识不充分、理解不深刻呢？为此，我们在课前教学时必须做到慎思，要经过缜密的思考和精心的教学设计才能进行下一步的教学。

2.问题溯源：“多边形的面积”这一部分内容的探究是采用实验探究的方式展开的，而且还是采用对比实验的方式展开的。相比较于其他的数学教学内容，这部分内容涉及两个变量：其一是多边形边上的钉子数;其二是多边形内部的钉子数。通常情况下，教师运用的主要方法是“控制变量法”，首先是控制多边形边上的钉子数，然后控制多边形内部的钉子数。比如，一般会从多边形内部的钉子数为1开始探究，通过变化多边形边上的钉子数，让学生认识到“多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2”;在研究了多边形内部的钉子数为1的情况之后，教师再控制多边形内部的钉子数，即让多边形内部的钉子数从1个到2个再到3个等，从而归纳出“多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2-多边形内部的钉子数+1”。这个归纳过程从数学的角度看是没有任何问题的，比较连贯且逻辑性强。但从学生的立场看，问题就比较多。比如，为什么要先研究多边形边上的钉子数？为什么要从多边形内部钉子数为1开始研究，从0开始研究不行吗？在公式S=n÷2+（a-1）中，n÷2表示什么？（a-1）又表示什么？基于对这些问题的思考，笔者对这部分的内容进行了教学重构。经过“解构——重构”，通过自己的教学设计解开了学生学习中的种种疑问、种种谜团，进而揭秘了皮克定理的真实内蕴。

二、教学实践

对于“多边形的面积”这部分内容的重构，教师需要除去各种遮蔽，比如教材的遮蔽、传统认识的遮蔽、一般教学法的遮蔽等。我们要从问题的本源出发，将学生的数学知识通过自主建构、主动探究、积极创造带领他们走进学习的澄明之境。在这个过程中，教师要“面向知识本身”，引发学生深度思考和探究，从而掌握数学知识的本质内涵。

1.引导学生提出问题

早期有建构主义学者认为，儿童是通过自主建构来学习新知识的，即儿童的学习是以原来的认知水平为基础，通过自己的智力以及活动发现、探究和解决问题，建构对新知识的理解，并对原有的认知结构做出调整，促进自身学习与发展的过程。实践证明，自主建构可以提高学生学习的灵活性，并能促进学生对知识的长时间记忆。

经验是学生建构知识的要素之一，同时也是学生学习的基石，数学教学离不开学生已有的学习经验，教师在教学中要努力引导学生提出问题，让学生在问题解决的过程中提升自己的各项能力。在教学“多边形的面积”这部分内容时，笔者先用多媒体给学生呈现出由众多钉子组成的钉子板，引导学生根据自己的学习经验去猜想：多边形的面积与什么有关？在猜想中，有学生认为“多边形的面积与边的长度有关”。也有学生认为“多边形的面积与边上的钉子数有关”。还有学生认为“多边形的面积与多边形内部钉子数有关”。此时，教师要充分尊重学生的这些猜想，然后让学生逐步去探究这些猜想，这样做他们既研究了多边形的面积与多边形边上、内部钉子数的关系，同时也为其在自主建构对多边形实施数方格计算之后，否定了其中的伪因素。

2.引导学生自主建构

建构主义学习理论认为，学生的学习依赖于学生的自主建构。作为教师，我们要在学生的“最近发展区域内”进行设计，这样可以有效激发学生的自探自悟。

同样是教学“多边形的面积”，在确定了研究目标之后，有学生对研究内容提出了这样的设想：先从简单的内容开始，即“以小见大找规律”。实际上，这样的研究思路正是学生对已有的研究经验进行概括、提炼、总结的结果。还有学生提出，最简单的就是两个钉子连成一条线段，而这不能构成封闭的多边形，它没有面积（属于无效面积），也就不需要展开研究了。因此，起码要有三个钉子才能构成一个封闭的三角形。有学生认为，应该从边上的钉子数为3的三角形开始研究。这个时候，多边形的内部钉子数为0。但由于一个内部为0的多边形不能展开研究，于是学生自然就想到了用众多的钉子来进行比较研究。据此，学生自主画图、自主用橡皮筋围成多边形，这些多边形有一个共同的特性，即多边形的内部钉子数为0。通过比较，学生自主列举了下列表格（注：钉子板的方格面积为1）：

学生通过对多边形边上钉子数与多边形面积的函变关系的探究之后发现，多边形的面积=（多边形边上的钉子数-2）÷2。那么，如何对这样的公式进行合理而科学的解释呢？有学生认为，多边形边上的钉子数减去2，这正是研究初期所提出的无效面积的钉子数。在这一发现中，学生自主建构了内部钉子数为0的多边形的面积的基本规律。

3.引导学生自主总结

在上述基础上，学生对多边形内部的钉子数为1、2、3、4……的情况进行分类研究。经过分析后发现，多边形的内部每增加一个钉子，相应的面积就在内部钉子数为0的多边形面积的基础上增加1。发现这一规律后，学生会尝试用符号（字母）去概括：一般情况下，当多边形边上的钉子数为n，多边形内部的钉子数为a时，多边形的面积就是“（n-2）÷2+a”。

这个公式的研究、提炼过程，相比较于教师的教学设计更为自然，前后也更为契合。在此基础上，笔者引导学生对这个公式进行变形，即“S=n÷2+（a-1）”，由此可以自然地揭示出皮克定理。总体而言，这样的研究过程深化了学生对研究结果的认知，同时也让学生对皮克定理从心理层面更加认同。

三、教学反思

在数学教学中，学生不是被动的信息接收者，而是对信息的主动选择者与加工者。因此，数学知识是学生自主建构和创造出来的。我们在教学中，只有顺应学生的学习心理，把握学生的认知规律，基于学生的经验去引导他们进行自主建构，才能使他们对知识形成长效、持久的掌握。在这个过程中，教师要激发学生增强研究意识，掌握相应的研究方法。在教学设计中，教师不能只关注自己如何教，而更应该关注学生如何学。教师要主动跟进学生的学，对学生的学要进行适当启发和点拨。通过上面“钉子板上的多边形”的教学实践，笔者深深感受到教学应从数学知识的本身出发，从学生的学习经验出发，唯有这样我们才能真正开启学生的研究之旅。在对应的研究过程中，教师要有意识地引导学生进行自主探究、积极创造，通过自主建构学生不仅能有效建模，而且还能积累研究经验，感悟数学基本学习方法，提升自身的综合学习能力，进而发展数学核心素养。

作者单位    江苏省徐州淮海国际港务区柳新实验小学