图像视觉伺服的无人机固定时间滑模控制

陈 杰， 刘宜成， 王 宏， 涂海燕

(四川大学电气工程学院，成都 610065)

0 引言

四旋翼无人机(简称无人机)以其优良的特性，在巡逻、监视和搜救等[1]许多领域均得到广泛运用。传统的无人机一般采用惯性测量单元和全球定位系统提供位姿信息，但局部定位跟踪精度难以满足实际需求，而通过图像视觉伺服(IBVS)可以有效实现对目标的高精度定位和追踪[2]。目前，IBVS主要使用透视投影和图像矩建立无人机图像动力学模型，通过构建一个虚拟图像平面，将目标的图像矩转化到虚拟图像平面中[3-4]。

近年来，许多方法被应用于无人机IBVS控制。文献[5]推导出IBVS的动态方程，结合传统的PID控制，实现了无人机在识别到指定目标后的自主着陆；文献[6-7]利用目标在虚拟图像平面上的图像矩推导出IBVS动态方程，采用反步法设计控制器，实现了无人机对目标的稳定跟踪；文献[8]针对静止目标提出了一种输入饱和视觉伺服控制器，该控制律能适应图像深度的不确定性；文献[9]在此基础上优化了控制器结构，不再需要图像深度信息；文献[10]使用非线性观测器估计无人机的线速度，由球面投影和图像矩推导IBVS模型，并采用反步法设计控制器，实现了无人机对目标自主定位跟踪。但以上控制算法依赖于精确的系统模型，设计过程中简化了系统约束条件，抗干扰能力较差。

滑模控制因其对扰动较强的鲁棒性，在无人机控制领域得到了广泛的应用[11-12]；文献[13]建立了无人机IBVS系统误差模型，设计高阶super-twisting滑模观测器和控制器，实现了对目标的快速稳定跟踪；文献[14]利用光流传感器和IBVS模型设计自适应滑模控制器，实现了无人机对目标的跟踪并对扰动有较强的抑制。以上滑模控制方法都是无限时间收敛，为了解决系统跟踪误差在有限时间内收敛，文献[15]提出了有限时间滑模控制，保证系统跟踪误差在有限时间内收敛，但收敛时间依赖于系统的初始状态，而在实际的应用中，系统的初始状态难以确定。因此，文献[16]提出了固定时间滑模控制，保证系统收敛时间一致有界，且其时间上界与系统初始条件无关。目前，固定时间滑模控制方法都是直接对无人机位置和姿态设计控制器，而在无人机视觉伺服控制中尚未见报道。

为了提高无人机在视觉伺服控制中的动态性能和抗干扰能力，本文在IBVS的无人机动力学模型基础上提出了一种新型非奇异固定时间滑模控制方法。针对存在扰动的IBVS模型，建立了系统误差模型，设计了无人机的位置和姿态控制器，提高系统抗干扰性能的同时保证无人机在固定时间内收敛到平衡点，且其收敛时间与无人机初始状态无关。为验证本文方法的有效性，在Matlab中搭建了数值仿真实验，并与文献[17]提出的传统固定时间滑模控制方法进行了对比。

1 无人机动力学模型

根据牛顿欧拉法，惯性坐标系无人机的动力学模型可以描述为[18]

(1)

式中：R=RφRθRψ为无人机的机体坐标系到惯性坐标系的旋转矩阵，φ,θ,ψ分别为横滚角、俯仰角和偏航角;Ω=(Ω1Ω2Ω3)T∈R3和V′∈R3分别为无人机在机体坐标系的角速度和线速度；机体主轴视为惯性主轴，转动惯量矩阵可近似为对角阵J=diag(Jx,Jy,Jz)。N3=n3=(001)T分别为机体坐标系和惯性坐标系下的单位向量；F∈R3为无人机的合力输入矢量；U1为4个旋翼产生的驱动推力输入;τ=(U2U3U4)T为控制转矩矢量;m为无人机质量;g为重力加速度；×表示向量叉乘；sk(·)为斜对称矩阵。

2 无人机图像动力学模型

本文研究的无人机视觉伺服成像方式为透视投影，将目标的特征点投影到虚拟图像平面，选择全局性的图像特征，推导目标在虚拟图像平面的动力学方程，结合无人机动力学模型，建立无人机在虚拟图像平面的图像动力学模型。

2.1 虚拟图像平面

由透视投影建立虚拟图像平面，如图1所示，目标位于惯性坐标系X-Y平面，目标所在平面与虚拟图像平面平行。将目标上的某一点投影到虚拟图像平面，推导该点在虚拟图像平面的动力学方程。

图1 虚拟图像平面

假设1 摄像机固定在无人机底部中心位置，质心与无人机质心重合，镜头垂直向下。

图1中：V={OV,XV,YV,ZV}为虚拟摄像机坐标系，C={OC,XC,YC,ZC}为摄像机坐标系，I={OI,XI,YI,ZI}为惯性坐标系。摄像机焦距为λ，C和V原点重合且位于虚拟图像平面上λ处。V的X-Y平面平行于I的X-Y平面，V的Z轴垂直于I的X-Y平面。点P是目标的一个特征点，点P在惯性坐标系的坐标为Ip=(Ix,Iy,Iz)，点P在摄像机坐标系的坐标记为Cp(t) = (Cx,Cy,Cz)，在虚拟摄像机坐标系的坐标为Vp(t)=(Vx,Vy,Vz)。

点P在摄像机坐标系下的坐标为

Cp(t) =RT(t)[Ip-OC(t)]。

(2)

点P在虚拟摄像机坐标系的坐标为

(3)

对式(3)两端求导得

(4)

由透视投影方程和摄像机的焦距λ，点P在虚拟图像平面的坐标为

(5)

对式(5)求导，再代入式(4)可得[6]

(6)

2.2 图像特征动力学建模

前文推导了目标的一个特征点在虚拟图像平面的动力学方程，需要进一步选择适当的图像特征建立无人机的图像动力学模型。由于飞行过程中无人机的机翼高速旋转和外界干扰等会引起机身高频振动，这种振动会引起摄像机拍摄的图像出现“拖影”。为减弱“拖影”造成的干扰，采用全局性的图像特征——图像矩。图像矩具有矩不变性，即不随图像的缩放、平移或旋转而变化。将图像特征点映射到虚拟图像平面，选择图像矩作为状态变量，无人机平动和转动过程中的图像特征不变，可有效实现对目标的定位和跟踪[19-20]。

假定目标有N个图像特征点，特征点坐标为(uk,nk,0),k=1,2,…,N。定义透视矩为[21]

(7)

式中：i,j=0,1,2,…。定义中心距为

(8)

式中：ug=m10/m00;ng=m01/m00,m00=N为目标的面积。

选择虚拟图像平面中的图像特征点，作为无人机位置运动控制，即

(9)

目标在虚拟图像平面的动力学方程为

(10)

无人机相对于目标的航向为

(11)

(12)

将无人机平移动力学和姿态动力学(式(1))映射到虚拟图像平面[22]，即

(13)

(14)

欧拉角与控制转矩向量的关系为

(15)

式中：Jx,Jy,Jz为无人机的转动惯量；l是旋翼中心到机体质心的距离；k1,k2,k3为外界扰动。

3 新型固定时间滑模控制

本章提出一种新型滑模面，利用新型固定时间滑模控制，结合前文建立的无人机图像动力学模型，设计无人机IBVS位置控制器和IBVS姿态控制器。

3.1 新型滑模面设计

引理1[23]针对微分方程组

(16)

若系统的平衡点x(0)=x0为全局有限时间稳定，且有界时间函数为Tx(0)，则称平衡点为系统的固定时间稳定平衡点，并且存在时间上界Tmax>0，使得Tx(0)

定理1[16]针对标量系统

(17)

式中：a>0,b>0;m,n,p,q均为正奇数，且m>n,q

(18)

但系统状态在靠近平衡点附近时，收敛速度较慢，动态性能较差。为了改善系统状态在平衡点附近的性能，提高系统响应的快速性和平稳性，设计新型滑模面为

(19)

式中：a,b,c均为正实数；m>n,p>q且均为正奇数。

定理2由式(19)新型滑模面，当s=0时，系统由任意有限初始状态x(0)收敛到平衡点的时间为

(20)

证明过程如下。

令s=0，由式(19)得

(21)

令y=x(p-q)/p，x=yp /(p-q)，则式(21)可写为

(22)

将式(22)代入式(21)得

(23)

(24)

由式(24)可知，无论系统初始状态如何变化取值，系统始终存在收敛时间上界，其上界估计为

(25)

新型滑模面为线性项与非线性项的结合，当系统状态运动到离平衡点较远时，非线性项令系统快速收敛；当系统状态运动到离平衡点较近时，线性项改善系统的光滑性和连续性，令系统收敛速度更快。线性项与非线性项的结合，使得系统收敛加快的同时保证了系统良好的动态性能。

3.2 IBVS位置控制器设计

定义虚拟图像平面中的图像误差向量为

(26)

(27)

对式(27)两端求导可得

(28)

选取如式(19)新型固定时间滑模面为

(29)

式中：a1,b1,c1均为正实数;m1>n1,p1>q1,且均为正奇数。

选择理想滑模趋近律

(30)

式中：a2,b2,c2均为正实数;m2>n2,p2>q2,且均为正奇数。

(31)

式中:lg,η为常数;sgns为符号函数。

将式(28)代入式(27)，系统到达滑模面后的滑模趋近律为

(32)

式中：h=(h1h2h3)T为外界扰动；lg为正实数，且|h|≤lg。

选取候选Lyapunov函数

(33)

对式(33)求导，并将式(32)代入可得

(34)

由定理2固定时间收敛证明可知：系统收敛时间与系统初始状态无关，系统在有界时间内到达滑模面，收敛时间上界为

(35)

当系统到达滑模面时，系统状态沿滑模趋近律在有界时间内运动至平衡点，收敛时间上界为

(36)

则无人机位置运动收敛时间为

T=T1+T2。

(37)

(38)

将式(31)的控制器改写为

(39)

3.3 IBVS姿态控制器设计

姿态控制器设计过程和收敛时间与位置控制器同理，这里不再赘述，仅给出控制器设计结果。

无人机姿态角的跟踪误差为

(40)

选取如式(19)新型固定时间滑模面为

(41)

选择理想滑模趋近律，即

(42)

由式(14)和式(15)无人机在虚拟坐标系的姿态动力学方程，设计无人机姿态控制器为

(43)

4 系统仿真与实验分析

为了验证本文所提出方法的有效性，在Matlab的Simulink中进行仿真验证。相机焦距λ=3.2 mm。目标质心的初始位置为惯性坐标系的原点，选择目标的4个特征点分别为(0.25,0.5,0),(0.25,-0.5,0),(-0.25,0.5,0)，(-0.25,-0.5,0)，单位m。无人机初始悬停位置为(3,2,8),单位m;初始姿态角为(-0.1,0.2,-0.2),单位rad。目标静止时，无人机稳定跟踪上目标时的位置为(0,0,5)，单位m；姿态角为(0,0,0)，单位rad；目标呈S形运动时，无人机由初始悬停位置运动到指定高度，在指定高度跟踪运动目标移动。转动惯量为Jx=Jy=0.026 N·s2/rad,Jz=0.285 N·s2/rad，杆臂l=0.2 m。控制器的参数分别选择为a1=3,b1=1,c1=1,p1=9,q1=5,m1=11,n1=5;a2=3,b2=5,c2=9,p2=7,q2=9,m2=9,n2=7,lg=5,η=5,δ=5，无人机质量为m=1.33 kg，重力加速度为g=9.8 m/s2。针对外界干扰的不确定性，在仿真过程中对位置环添加扰动为h=(2sin(πt/3)3cos πt2t)T,对姿态环添加扰动为k=(3+0.5t2sin(πt+2)3cos(πt/2))T。

为便于比较与分析，仿真过程中给出了目标的理想运动状态，并与文献[17]提出的固定时间滑模控制方法进行对比。

无人机跟踪静止目标仿真结果如图2和图3所示。

图2 无人机跟踪静止目标的位置曲线

图3 无人机跟踪静止目标的姿态曲线

由图2、图3可知：本文提出的方法保证无人机的位置运动在0.7 s左右到达稳定，姿态运动在0.6 s左右到达稳定，运动过程平稳，收敛速度较快，能很好地抑制外界扰动，具有良好的稳态性能。而对比控制方法使得无人机位置运动需要1.7 s到达稳定，且在位置运动的y方向上出现小幅振荡现象；姿态运动需要1 s左右到达稳定，且在稳定过程中存在很大的波动，系统抗干扰能力较差。

无人机跟踪目标呈S形运动时仿真结果如图4～图6所示。

图4 无人机与跟踪目标的运动轨迹

图5 无人机跟踪移动目标的位置曲线

无人机由初始位置运动到指定高度对目标进行跟踪，由图5位置运动曲线可知：本文提出的控制方法能保证无人机快速精确地跟踪上目标，耗时较短，大约需要0.6 s，运动轨迹平滑稳定，运动路径较短。而在对比控制方法作用下，位置运动在1.5 s左右稳定，运动路径较长。由图6的姿态运动曲线，并结合局部放大曲线图可知：本文控制方法能实现无人机的姿态快速平缓而无超调地趋近稳定，稳定时间约0.6 s左右。而在对比控制方法作用下，无人机姿态出现明显超调问题，姿态需要1.2 s左右到达稳定，在姿态稳定收敛过程中出现震荡现象，且变化的较为剧烈，跟踪精度较差。

图6 无人机跟踪移动目标的姿态曲线

5 结束语

本文针对无人机利用图像视觉跟踪目标，提出了一种新型非奇异固定时间滑模控制方法。通过虚拟图像平面建立了无人机图像动力学模型，在此基础上，针对外界扰动，利用新型滑模控制方法分别设计了无人机的位置和姿态控制器，采用饱和函数避免了控制器的奇异性，由Lyapunov理论证明了系统的稳定性。仿真结果表明，无人机面对外界扰动时，在笛卡尔空间具有良好的运动轨迹，实现了无人机位置和姿态响应无超调。与传统固定时间滑模控制方法相比，本文方法具有更优的收敛性能、稳态性能和抗干扰能力。