一类拟周期哈密顿系统在弱非退化条件下的约化性
2021-03-20 02:25朱春鹏
安徽大学学报（自然科学版） 2021年2期
朱春鹏
(徐州工程学院 数学与统计学院,江苏 徐州 221111)
受文献[4,7-8]的启发,作者把文献[8]的弱非退化条件结果推广到非线性哈密顿系统的情况.
q
(t
)(i
,j
=1,2,…,n
)在D
上解析拟周期,称矩阵函数(t
)=(q
(t
))1≤,≤在D
上解析拟周期.定义的范数为
有
‖‖≤‖‖‖‖，的平均记为[]=([q
])1≤,≤.若是常数矩阵,记‖‖=‖‖.1 主要结论及相关假设
定理
考虑非线性哈密顿系统
(1)
假设的特征值为λ
,λ
,…,λ
2，其中：λ
≠0,λ
≠λ
,i
≠j
.假设(t
,ε
),g
(t
,ε
),h
(x
,t
,ε
)在D
上是频率为ω
=(ω
,ω
,…,ω
)的解析拟周期矩阵，且关于ε
解析.此外，h
(x
,t
,ε
)在B
(0)上关于x
是解析的，h
(0,t
,ε
)=0，D
h
(0,t
,ε
)=0.这里，B
(0)是中心在原点、半径为a
的球，ε
∈(0,ε
)是参数.假设下面的条件成立.假设1
(非共振条件)λ
=(λ
,λ
,…,λ
)和ω
=(ω
,ω
,…,ω
)满足
(2)
(3)
其中:k
∈Z
{0},τ
>r
-1,α
>0是一个小常数.
μ
ε
+o
(ε
),μ
ε
+o
(ε
),…,μ
ε
+o
(ε
),其中:μ
≠0是常数，e
=1,2,…,p
, 1≤l
<l
<…<l
,o
(ε
)是当ε
→0时ε
的高阶无穷小.假设3
‖D
h
(x
,t
,ε
)‖≤K
,其中:x
∈B
(0)，ε
∈(0,ε
).此时存在一个具有正Lebesgue测度的Cantor集E
⊂(0,ε
),当ε
∈E
时,存在一个拟周期辛变换x
=ψ
(t
,ε
)+φ
(t
,ε
)y
，其中：ψ
(t
,ε
)和φ
(t
,ε
)是频率为ω
的解析拟周期矩阵,使得(1)式变为哈密顿系统
(4)
其中:是常数矩阵,且h
(y
,t
,ε
)=O
(y
),y
→0，此时，meas((0,ε
)E
)=o
(ε
),当ε
→0.注
子集E
⊂(0,ε
)为一个Cantor集.此时，函数在E
上关于ε
的光滑性可理解为Whitney光滑,详见文献[9].引理
假设
k
∈Z
{0},τ
>r
-1,α
>0是一个小常数.
τ
′>τ
+r
+1.假设f
(ε
)→0(ε
→0),|f
′(ε
)|≤c
,ε
∈(0,ε
).当ε
充分小，有
引理的证明见文献[10].
2 定理的证明
事实上，论文的弱非退化条件影响的只是文献[9]中的测度估计,其他的KAM步骤及迭代和文献[9]完全类似，此略.论文只给出测度估计.
首先，在第m
步KAM步骤中，m
≥0,由文献[9]，有
(5)
证明当ε
充分小时，对于大部分ε
∈(0,ε
)，非共振条件
(6)
(7)
令
由定理的假设2，不失一般性，设
(8)
令整数N
≥0，使得2≤l
<2+1.(9)
因此，在第N
+2步KAM迭代后，由(5)式，有
(10)
其中
f
(ε
)→0(ε
→0)，|f
′(ε
)|≤c
，i
,j
=1,2,…,2n
，正整数t
≥N
+2.而在前N
+1步KAM迭代中，由(8)式，有
(11)
其中：s
=1,2,…,N
+1,0<q
≤l
是一个正整数，μ
≠0是常数.将(11)式代入(10)式，由(9)式,有
(12)
其中
k
(ε
)→0(ε
→0)，|k
′(ε
)|≤c
，μ
≠0是常数.由(11),(12)式、定理的假设1及引理，有
ε
充分小时，对于大部分ε
∈(0,ε
)，非共振条件(6)，(7)式成立.