电磁驱动问题分类剖析

刘光辉

[摘   要]电磁驱动涉及力、相对运动和能量的相关问题，解决此类问题的主要步骤：一是受力分析，画出等效电路;二是从动量与能量的角度选取并正确分析物理过程;三是依據物理规律 列关系，并求解。文章结合例题进行分类剖析。

[关键词]电磁驱动;受力分析;等效电路

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）08-0035-03

随着科学技术的发展，电磁驱动已应用到各行各业，相比传的统驱动方式，电磁驱动具有低碳环保、低机械磨损率等优点，以至于小到电动玩具，大到工业驱动装置，电磁驱动的应用越来越广泛。电磁驱动的原理即电磁感应现象，如果磁场相对于导体运动，在导体中会产生感应电流，有电流通过的导体在磁场中会受到安培力的作用，导体就会运动起来，这种作用就是电磁驱动。相比于实际模型，高中阶段处理电磁驱动问题会相对简化，但该类问题由于存在相对运动，有时还会涉及参考系的转化，学生在解决时往往由于对规律的理解不够深刻而出现差错，下面就对该类问题展开讨论。

一、匀强磁场驱动

解决匀强磁场的驱动问题，首先要厘清导体棒相对于磁场的运动情况，包括切割磁感线的方向和速度大小，在分析电路时，就可以获得电源的各项参数，然后根据电路结构确定电流大小和方向，进而确定导体棒的受力情况及运动规律。

[例1]如图1所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：

（1）MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I;

（2）MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a;

（3）PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。

[例2]随着摩天大楼高度的增加，钢索电梯的制造难度越来越大。利用直流电机模式获得电磁驱动力的磁动力电梯研发成功。磁动力电梯的轿厢上安装了永久磁铁，电梯的井壁上铺设了导电线圈。这些线圈采取了分段式相继通电，生成一个移动的磁场，从而带动电梯上升或者下降。工作原理可简化为如下情景，如图2所示，竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面、方向相反的匀强磁场，磁感应强度均为B;电梯轿厢固定在如图2所示的一个N匝金属框abdc内（电梯轿厢在图中未画出），并且与之绝缘，金属框cd的边长为L，两磁场的竖直宽度与金属框ac边的长度相同且均为d，金属框整个回路的总电阻为R;电梯所受阻力大小恒为f;电梯空载时的总质量为m0。已知重力加速度为g。

（1）两磁场以速度v0竖直向上做匀速运动，问电梯在图示位置由静止启动的瞬间，金属线框内感应电流的大小和方向;

（2）两磁场以速度v0竖直向上做匀速运动，为启动处于静止状态的电梯，运载乘客的总质量应满足什么条件？

（3）两磁场以速度v0竖直向上做匀速运动，要启动处于静止状态下空载的电梯，最后电梯以某一速度做匀速运动，求在电梯匀速运动的过程中，外界在单位时间内提供的总能量。

点评：解决例1、例2两个问题的关键是磁场扫过导体棒时，产生的电动势由二者的相对速度决定，确定电动势后再结合相应的电路分析和受力与运动分析，即可得到相应的结果。例1是单棒切割的模型，较为常规;例2是双棒切割，要注意是双电源，第3问还可以采用另外一种解法：系统所有增加的能量均来自于磁场的驱动，驱动磁场以速度[v0]匀速运动需要提供作用力[f+m0g]，单位时间内外界提供的总能量即为该驱动力做功的功率[（f+m0g）v0]。

二、非匀强磁场驱动

非匀强磁场的驱动问题相对复杂，一般在线框不同位置时的磁场是不同的。在分析此类问题时，采用微元法更容易厘清磁通量的变化情况，进而确定回路的电动势，在分析受力情况时也需要特别注意由磁场差异引起的安培力的不同。

[例3]磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具，它的驱动系统可简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为l，平行于y轴，宽度为d的NP边平行于x轴，如图3所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其周期为λ，最大值为B0，如图4所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v0沿Ox方向匀速平移。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v（v

（1）简要叙述列车运行中获得驱动力的原理;

（2）为使列车获得最大驱动力，写出MN、PQ边应处于磁场中的什么位置及λ与d之间应满足的关系式;

（3）计算在满足第（2）问的条件下列车速度为v时驱动力的大小。

[例4]磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一个是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一个是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来源，我们求解下面的问题：设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化的规律为[B（x ， t）=B0cos（ωt-kx）]，式中[B0]、[ω]、[k]均为已知常量，坐标轴x与轨道平行。在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图5所示。图中xOy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直xOy平面指向纸里，“· ”表示磁场的方向垂直xOy平面指向纸外。规定指向纸外时B取正值。“×”和“· ”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为[l]，与轨道平行的金属框边MQ的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感。

（1）试求在时刻t，当金属框的MN边位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方向移动的速度为v。

（2）试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

点评：解决例3、例4两个问题的关键是能准确写出磁通量的变化，根据法拉第电磁感应定律确定回路的电动势，进而确定电流和受力情况，当然这两个例题也可以通过导体棒切割磁感线的模型来确定电动势。例3主要分析了两根导体棒同处于磁场最强位置的特殊情况，例4分析的磁悬浮模型更接近实际情境。两根导体棒所处的磁场不同，结论更具一般性。

通过以上对电磁驱动问题的分析发现，电磁驱动问题的本源就是法拉第电磁感应定律，解题的关键在于感应电动势的确定。确定电动势一般有两种方法，一是导体棒切割的模型，要注意导体棒相对于磁场的切割速度;二是应用回路磁通量的变化，要注意磁通量的表示要准确无误，尤其是非匀强磁场驱动的模型。

（责任编辑 易志毅）