《角的平分线的性质》教学设计及思考

杨颖

[摘 要]定理的教学不能只是告诉学生运用结论去解题，而应该展现定理探究及验证的完整过程，教师要鼓励学生大胆动手去画图、实验、猜想、验证、分析、归纳，让学生经历“用适当方法提出问题、用适当方法进行特殊化探索、猜想一般性结论、分析证明思路、陈述证明过程、多样化表达定理”的完整过程，从而使学生逐步掌握几何研究的一般方法.探讨几何定理教学方法与策略，能提升教师的教学能力，提高课堂教学效率.

[关键词]角的平分线;性质;教学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）08-0008-02

初中几何证明是培养学生数学逻辑思维的重要内容，研究几何定理的教学方法是学生学好初中几何的前提.教师在进行定理教学时，如果忽略对定理本身的探究，则不利于学生几何直观能力以及推理能力的培养.本文展示湖北省宜昌市西陵区“几何定理教学研讨会”上的一节公开课.本课通过定理的引入、定理的证明、定理的表达以及应用等环节，展现了几何定理教学的完整过程.现将本节课的教学环节介绍如下，与同行分享.

一、教学设计

环节一：从生活中的角平分线到几何中的角平分线

问题1：在纸片上画一个角，怎样得到这个角的平分线？（可以用量角器，也可以用折纸的方法）

追问：请大家评价一下，在实际生活中，这些方法可行吗？（量角器比较方便，但是有误差;折叠的方法很便捷，但是在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了）

问题2：如图1，是一个平分角的仪器，其中[AB=AD]，[BC=DC]，将点A放在角的顶点.AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？

分析：在角平分仪中，[AB=AD]，B[C=DC]，AC是公共边，符合全等三角形“边边边”的判定条件.

问题3：通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试试看.

分析：引导学生将实物模型抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识进行证明，明确作图的理论依据.

作法：以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N;分别以M、N为圆心，大于[12MN]的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C;作射线OC，射线OC即为所求，如圖2所示.

设计意图：让学生运用全等三角形的知识，阐述角平分仪的几何原理，感受数学理论与实际生产应用的联系.用尺规作角的平分线，增强作图技能，让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性.

环节二：探究角平分线的性质

问题4：用折纸的方法作角平分线，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折叠，第二次折叠后的两条折痕长度有何关系？任意折叠呢？若折出两条折痕垂直于角的两边，观察两条折痕，你能得出什么结论？

设计意图：折纸的方法简洁明了，增加了几何直观性，学生可以依据测量、叠合等方法得出“两条线段相等”的结论.首先由一般到特殊，告诉学生在研究几何性质时，我们总是会研究图形之中存在的一些特殊位置关系及特殊数量关系;然后让学生对这一结论加以描述.学生的说法多种多样，通过个人理解、小组理解和全班理解，相互补充、相互纠正、共同提高;最后得出关于角平分线的性质的猜想.

猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题5：如何证明这个猜想？

如图3，已知OC平分[∠AOB]，点P在OC上，[PD⊥OA]于D，[PE⊥OB]于E.

求证：[PD=PE].

分析：根据全等三角形中“角角边”的判定方法证明[△DOP≌△EOP]，然后很容易就可以得出[PD=PE]，从而证明出了猜想是正确的.

环节三：定理的表达

文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

图形语言：如图3.

符号语言：∵[∠AOC=∠BOC]，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，

∴[PD=PE].

问题6：通过刚才的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

1.明确命题中的已知和求证;

2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;

3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

设计意图：通过问题串引导学生动手探究、观察猜想和推理证明，体验几何证明的基本思路，从而提高逻辑思维理能力.

环节四：定理的应用

设计意图：引导学生分析几何证明的思路，使学生思维的严密性得到了加强，思维的指向性更加清晰.分析法和综合法是几何证明中常用的基本方法，教学时充分关注学生思维习惯的培养，引导学生从学会方法到学会思考.

二、教学思考

本节课的教学基于章建跃博士提出的“理解数学，理解学生，理解教学”而设计.

1.理解数学

角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，是证明线段之间相等关系的重要工具.本节课的内容是角平分线的定义和全等三角形等知识的运用和延续，同时又为后面进一步研究几何图形的特征提供思路和方法.在设计本节课时，教师首先思考如下问题：什么是角平分线？怎样画出角平分线？角平分线有什么作用？想清楚这些问题，对教师理解数学知识之间的内在逻辑联系是有帮助的，能帮助教师迅速厘清教学的基本思路.本节课以全等三角形的相关知识为基础，从生活中的角平分仪器入手，引入数学中的角平分线.通过学生尺规作图的活动，让学生直观认识角平分线并分析其内在特征，归纳得出结论，再用几何推理证明结论.用三种语言——文字语言、图形语言、符号语言描述性质，最后再运用性质.这些教学环节的设计正是基于对教学内容的理解.

2.理解学生

美国著名教育心理学家奥苏伯尔曾说：“影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学.”由此可知，教学活动应围绕着学生的认知起点展开.在七年级，学生已经比较系统地学习了角的相关知识以及角平分线的定义，在此基础上，八年级上册教材编排了角的平分线的性质的相关内容.在教学中，如果不注意新旧知识的衔接，很容易让学生有定理从天而降的感觉，从而无法产生对新知识的学习兴趣.此外，如果压缩定理探究过程，过快地使学生聚焦几何题的解决而不是逻辑推理能力的培养，必将导致学生几何学习的“苦海无边”.

学生学习几何难，最主要的原因是在学习过程中没有形成一定的几何直观能力以及几何推理能力.因此，在几何教学中，尤其要关注对学生这两方面能力的培养.为了帮助学生加深对几何图形的直观认识，教学中可以采取让学生自己画图观察或利用学具来体现几何图形的变化等方法.

3.理解教学

角的平分线的性质是初中几何教学中非常重要的内容，在图形证明和计算中都有广泛应用.通过本节课的教学要让学生体验研究一个几何图形的一般思路：背景→定义→性质、判定→运用.

数学定理是分析数学问题以及推理证明的重要依据，弄清定理的来龙去脉，不仅有利于学生条理清晰地说理及证明，而且也是学生形成逻辑思维的前提.定理的教学不能只是告诉学生运用结论去解题，而应该展现定理探究及验证的完整过程，教师要鼓励学生大胆动手去画图、实验、猜想、验证、分析、归纳，让学生经历“用适当方法提出问题、用适当方法进行特殊化探索、猜想一般性结论、分析证明思路、陈述证明过程、多样化表达定理”的完整过程，从而使学生逐步掌握几何研究的一般方法.

（责任编辑 黄桂坚）