高速旋转炮弹宽海拔弹道解算方法

丁天宝， 何朝， 王良明， 林智伟

(1.西北机电工程研究所, 陕西 咸阳 712099; 2.南京理工大学 能源与动力工程学院, 江苏 南京 210094)

0 引言

以射表为基础计算火控射击诸元是高炮武器的传统方法，具有快速、便捷、准确等特点，被广泛应用[1]。以前，我国高炮武器高原射表多以平原低海拔试验结果为基础，经过简单转换而来，在高原实际射击结果误差较大[2-4]。

高炮平原弹道和高原弹道差异很大[5]。以某高炮为例，45°射角、斜距离4 000 m，海拔0 m和海拔4 500 m弹道高度差如图1所示。

图1 某高炮高原弹道与平原弹道差异Fig.1 Difference between plateau and plain ballistics of antiaircraft gun

目前，宽海拔射表编拟技术存在以下问题：

1)常用高炮武器射表基于平原射击结果编制，在平原地区的射表精度能够保证。由于高原特殊的地理环境和复杂的天气条件，高原弹道试验困难；在高原靶场未建成之前，无法开展射表试验[6]。

2)采用4自由度修正质点弹道模型解算弹道时，增加考虑弹丸自转运动和与此相关的弹丸动力平衡角计算模型。但是在高射角时，动力平衡角近似计算会有较大误差[7]。

3)传统高炮武器射表基于零海拔编制，一般采用炮兵标准气象条件[8-9]，射表中的修正量计算方法是线性近似微分法。零海拔射表中的各个修正系数在高原条件下偏差量较大，会造成较大误差。

4)传统射表编拟时，海拔高度变化没有充分考虑雷诺数变化对弹丸阻力系数的影响[10]。

5)高原空气稀薄、干燥，阻力小，弹丸起始扰动衰减慢，起始扰动和弹丸姿态运动变化对平均弹道的影响考虑不充分。

6)弹丸转速影响其姿态，弹丸旋转速度越高，其陀螺效应越强，弹丸攻角随弹道上升变化大，随之影响飞行过程所受阻力，反过来进一步影响其动态稳定性。

7)即使有了平原射表和简易高原射表，在高原和平原海拔分界线(3 000 m)上下[11]，射表误差相对较大，单独使用某个射表时会引入原理误差。

为了解决上述高原和宽海拔弹道解算中的问题，本文提出高速旋转炮弹宽海拔弹道解算和射表研制方法。创建弹丸非线性姿态运动模型，用于解决高速旋转弹起始扰动所导致姿态运动在高原空气稀薄时衰减较慢对平均弹道影响；创建弹丸阻力系数随海拔变化模型、弹道符合系数与射角关系模型，用于解决高原弹道阻力随海拔非线性变化对弹道解算的影响。结合高平原射表阶梯抑制方法，形成了适应宽海拔(0～4 500 m)的高精度弹道解算和射表研制新方法。

1 弹道解算数学模型

1.1 影响高原弹道解算的主要因素

影响高原弹道解算的主要因素有：

1)高原弹丸姿态运动；

2)高原雷诺数随海拔变化；

3)高原气象条件。

在传统弹道模型中，对弹丸起始姿态运动影响和雷诺数随海拔变化通常不予考虑。弹丸起始扰动在高原空气稀薄时，衰减很慢，对平均弹道有较大的影响。雷诺数随海拔高度不同而变化，阻力系数随海拔高度变化。通过研究发现，这些因素是造成用平原弹道模型外推高原弹道的主要误差来源。因此，为了保证高原弹道解算的准确性，必须充分考虑弹丸起始姿态运动和雷诺数随海拔变化对弹道的影响。

1.2 弹丸刚体运动微分方程组

把弹丸作为刚体时，描述其6自由度运动的微分方程组如(1)式[12-13]所示:

(1)

式中：m和v分别为弹丸质量和弹丸质心飞行速度；Fxv、Fyv、Fzv分别为作用在弹丸上的合力F在速度坐标系Oxvyvzv中的投影；θ和ψ分别为弹道倾角和弹道偏角；x、y、z为弹丸质心的空间坐标；φϑ和φψ分别为弹丸俯仰角和偏航角；ωξ、ωη、ωζ分别为弹丸总的转动角速度ω在弹轴坐标系Oξηζ中的投影；Mξ、Mη、Mζ分别为作用在弹丸质心上的合力矩M在弹轴坐标系Oξηζ中的投影；r为弹丸旋转方位角；A和C分别为弹丸的赤道转动惯量和极转动惯量。

实际弹丸姿态运动包括两类：一类是确定性的，如旋转稳定弹丸由重力等引起的姿态运动；另一类随机性的，如旋转稳定弹由起始扰动引起的姿态运动等。采用6自由度刚体弹道模型时，模型中弹丸姿态运动和质心运动是完全耦合的，求解确定性的姿态运动及其对弹道的影响比较有效。但是，为了求解随机性的姿态运动及其对弹道的影响，在原有弹道模型基础上附加姿态运动计算模型联合解算更加有效。

1.3 弹丸非线性姿态运动模型

在高炮弹道解算中，要求准确解算平均弹道，而不是解算每条随机弹道。随机性的姿态运动造成弹道系统偏差，这是平均弹道计算应该考虑的。

随机性姿态运动对弹道的系统影响可以某种等效扰动源引起的姿态运动来计算，能反映弹丸在某段弹道上随机姿态运动的平均过程，从而准确计算出该段弹道上阻力系数的变化，有利于计算不同海拔上的弹道计算精度。在高速旋转炮弹宽海拔弹道解算中，建立的附加非线性姿态运动模型为

(2)

式中：δζ和δη为弹丸的攻角分量；d为弹径；ρ为空气密度；S为弹丸特征面积；CLα、CNpα、CMα、CMq、CMpα分别为弹丸的升力系数、马格努斯力系数、静力矩系数、赤道阻尼力矩系数和马格努斯力矩系数的导数。

2 弹道阻力系数计算模型

2.1 弹丸阻力系数计算模型

弹丸阻力系数一般可表示为

(3)

式中：fD为阻力符合系数；Cx0为零升阻力系数；ΔCxRe为雷诺数影响引起的阻力系数增量；Cxδ2为攻角诱导阻力系数；δp为确定性姿态运动引起的攻角；δd为随机性姿态运动引起的攻角。

2.2 雷诺数对弹丸阻力系数影响计算模型

雷诺数对弹丸阻力系数的影响机理非常复杂，严格来说与弹丸几何形状、表面状况、马赫数以及气流与弹丸表面间的热交换等有关。实际情况下要同时考虑这些因素的影响是非常复杂的。为了在高原弹道计算中尽可能准确地考虑雷诺数的影响，可采用如(4)式模型：

(4)

2.3 弹道符合系数与射角关系模型

射角不同弹丸飞行高度不同，因为复杂的弹丸姿态运动，飞行高度对弹丸阻力系数的影响机理非常复杂，为了弹道计算准确，需要引入弹道符合系数。假设测出一条弹道上不同时刻tk所对应的空间坐标数据(xk,yk,zk),k=1,2,…,n，记xk=(xkykzk)T。

各个符合系数用向量C可表示为

C=(ωγfDfLfMz)T，

(5)

式中：ω为高低跳角；γ为方向跳角；fL为升力系数的符合系数；fMz为静力矩系数的符合系数。

采用6自由度弹道方程进行全面符合计算，对未知参数C的每一组合理取值，由(5)式可求解得到对应的X(t,C1,C2,…，Cns)，ns=5，其中弹丸的空间坐标x(t,C1,C2,…，Cns)=(xyz)T。采用改进的高斯牛顿(G-N)迭代法对上述过程进行迭代，可提高未知参数C的估计值的精度。

不同射角下符合系数的结果存在差异，可将其拟合成随射角θ0变化的函数，如

C=(ωγfDfLfMz)T=C(θ0).

(6)

用随射角变化的弹道符合系数来补偿因为不同射角阻力系数的计算偏差。

3 高平原射表交接阶梯抑制方法

由于高炮外弹道受到很大非线性因素的影响，平原低海拔和高原高海拔射表衔接时，射击方位角、射角、弹丸飞行时间等相关变量有一个突变(阶梯)，引起火控解算附加误差，进而影响射击精度。因此，根据射表参数变化规律拟合曲线，采用高平原阶梯抑制方法，对相关参数进行加权组合，可提高射表精度。

在海拔0～2 000 m直接采用平原射表解算的射击诸元(即平原射击诸元加权系数为1，高原射击诸元加权系数为0)；在海拔2 000～4 000 m之间，在平原和高原射表解算的结果基础上按照海拔高度相对海拔2 000 m的变化进行加权组合，取其加权优化后的结果作为最终的高炮火控系统射击诸元预解算结果；在海拔4 000 m以上直接采用高原射表解算的射击诸元(即平原射击诸元加权系数为0，高原射击诸元加权系数为1)。具体模型为

(7)

式中：β和ε分别为加权后的高炮方位角和高低角；βp和βg分别为平原射表和高原射表确定的方位角；εp和εg分别为平原射表和高原射表确定的高低角；λp和λg为加权优化系数；H为当前海拔高度。

试验结果表明，采用高平原阶梯抑制方法，在海拔2 000～4 000 m之间的衔接高度范围，可在原射击精度基础上提高高炮射击精度10%以上。

4 高原射表计算与试验验证

通过建立的弹道模型解算理论弹道，采用实弹射击试验测量实际弹道参数，通过仿真分析理论弹道的差异，进而对高原弹道进行符合计算，提高弹道解算精度。

在青藏高原某海拔4 500 m靶场完成高原弹道试验，分别对15°、45°和70° 3个射角进行了精确弹道测量。

试验中，精确测量了火炮的射角和射向；采用气象雷达车测量了高空和地面的气象条件，包括气温、气压、湿度、风速和风向等；采用初速雷达测量了每发弹丸的初速；采用弹道跟踪雷达，测量了每发弹丸弹道上各点的飞行速度和空间坐标。

采集上述数据，经过弹道符合计算，一方面可修正基础数据；另一方面，以射表试验点的符合计算结果作为支撑点，通过曲线拟合技术得到各符合系数与射角的关系。

试验结果：采用平原射表射表时，在海拔4 500 m、斜距离4 000 m内统计，相同弹丸飞行时间的弹道空间差为399 m，与其斜距离(4 000 m)的比值为9.98%；使用本文弹道解算方法研制的高原射表，相同弹丸飞行时间的弹道空间差为1.12 m，与其斜距离(4 000 m)的比值为0.03%，典型数据如表1所示。

表1 高原射表试验结果与仿真结果的弹道空间差

5 结论

本文建立了耦合弹丸非线性性姿态运动方程的弹丸6自由度动力学模型、随海拔高度变化弹丸阻力系数模型、弹道符合系数与射角关系模型，以此为基础建立了高原弹丸弹道理论模型，创建了高速旋转炮弹高原弹道解算新方法。此外，为了消除平原射表和高原射表在衔接高度段的原理误差，创建了高平原阶梯抑制控制方法，进一步提高了在2 000～4 000 m海拔高度范围的高炮射击诸元精度。

该高速旋转炮弹宽海拔弹道解算方法的正确性已经被某自行高炮宽海拔射击试验证明。采用本文高速旋转炮弹宽海拔弹道解算方法所研制的高原射表已经推广应用至数款新型高炮防空武器，提高了应用装备的宽海拔作战毁歼概率。