拟合目标反应谱的高精度人工加速度时程生成算法及应用

高付海，高 岳

(中国原子能科学研究院 反应堆工程技术研究部，北京 102413)

时程法是进行核电厂系统和设备抗震分析的主要方法之一，设计规范规定可使用单组时程法和多组时程法，单组时程法对采用的时程输入要求更加严格。通过反演拟合设备安装标高处的楼层反应谱或系统与子系统交界处的交界面反应谱可获得用于时程法分析的人工加速度时程(以下简称人工时程)。文献[1-3]对人工时程提出明确的要求：1) 低于目标反应谱的控制点数不超过5个；2) 低于目标反应谱的控制点的最大相对偏差不超过10%；3) 单组时程法额外要求时程包络目标功率谱(PSD)的80%，以保证人工时程在主频控制点上的能量足够分布。国内外学者针对拟合目标反应谱生成人工时程(或人工地震波)提出多种方法[4-9]，基本分为两种：1) 频域法[4-6]，此方法为传统做法，它基于共振原理，通过调整频域傅里叶系数反复反演迭代以逼近目标反应谱，其优点是算法适用性强，对于不同形式的目标反应谱均能较快生成满足一定精度的时程，缺点是对高频控制点的拟合精度不可控；2) 时域法[7-8]，其原理是根据计算谱与目标反应谱差值反演出增量时程，叠加到初始时程，反复迭代校正时程，直到满足收敛要求，该方法的突出优点是能针对不符合频率控制点的拟合精度实现精准控制。

本文采用一种改进的窄带时程构造函数，综合运用频域法和时域法，提出一种新的人工时程拟合算法，拟合出满足核安全法规要求的高精度人工时程，提高高频区控制点的拟合精度。通过RG1.60标准反应谱和楼层反应谱的多次拟合测试证明本文提出算法的有效性和稳健性。

1 算法基本原理

1.1 频域法

频域法对目标反应谱的拟合和目标功率谱的包络通过频域傅里叶系数调整和强度非平稳包络来实现。根据反应谱与功率谱密度转换关系[4]，得到功率谱密度G(ω)为：

(1)

通过三角级数叠加，构造出平稳高斯过程X(t)为：

Δω=2π/T

S(ωk)=0.5G(ωk)

ωk=2πk/T

(2)

式中：φk为在区间(0,2)上随机分布的相位角；T为周期。

利用强度包络，生成非平稳初始时程a(t)为：

a(t)=f(t)X(t)

(3)

式中，f(t)为强度包络线，采用的经验公式为：

(4)

式中：t1为时程上升段时间；t2为时程下降段开始时刻；c为时程下降段衰减系数。

对a(t)进行傅里叶变换，根据目标反应谱和时程计算谱的比值，修正傅里叶系数C(ωk)为：

(5)

式中，Sa(ω)为人工时程的计算反应谱。

功率谱要求包络目标功率谱的80%，若检查到功率谱不满足要求，通过式(6)调整控制点附近的谐波分量的傅里叶系数[6]：

(6)

式中：PSDT(ω)为目标功率谱；PSDa(ω)为人工时程的计算功率谱。

1.2 时域窄带时程叠加法

文献[7]基于数字信号处理中的sinc函数和窄带载波原理，提出一种有效的窄带时程构造方法。本文在此基础上，根据计算经验，增加sinc函数的阶次，提出一种窄带时程构造的新形式：

(7)

式中：ωc为时程在频域的带宽；ω0为主频控制点频率。该时程在t0时刻等于1，以t0时刻为中心沿时间轴向两端衰减。与sinc函数的1次形式相比，本文采用的窄带形式在锁定主频主波信号的同时，加速窄带余波衰减，大幅减小叠加增量窄带时程后对原时程的改变。

假设已知人工时程在控制点ωj处的计算反应谱Sa(ωj,ζ)、绝对加速度响应最大响应发生的时刻tmax及响应最大值aa,j(tmax,j)的正负号，基于提出的窄带时程形式构造出增量窄带时程Δaa(t)为：

Δaa(t)=ΔS(ωj,ζ)×

ΔS(ωj,ζ)=sgn(aa,j(tmax,j))×

ω0,j=ωj

(8)

式中：ΔSa(ωj,ζ)为控制点ωj处的计算谱与目标反应谱的差值；sgn表示符号函数。

通过在原始加速度响应aa(t)上叠加上Δaa(t)，可保证控制点ωj处的计算谱值精确满足目标反应谱。文献[7]推导出单自由度系统的绝对加速度响应与输入地面运动的传递函数Ha(ω)为：

(9)

利用傅里叶变换，反演出与增量时程Δaa(t)相对应的地面运动增量时程Δag(t)为：

(10)

式中：F为傅里叶变换算子；F-1为傅里叶逆变换。

2 算法流程

首先使用频域法调整，促使人工时程靠近目标反应谱，完成时程粗调。若时程不满足精度要求，再应用窄带时程叠加法继续进行时程的细调，直到满足收敛要求和拟合精度，基本流程如下。

6) 控制点ωj的计算反应谱满足拟合精度要求后，开始下一控制点的拟合。所有控制点均拟合1轮后，检查人工时程是否满足收敛要求，若不满足返回步骤5开始下一轮调整。

7) 反应谱满足收敛要求后，检查功率谱是否满足80%的包络要求，若不满足，返回步骤1重新迭代。计算经验表明，窄带叠加法对功率谱的改变较小，经过频域的多次调整后再应用窄带叠加法调整，功率谱较易满足包络要求。

3 工程应用实例测试验证

选用3个不同类型的目标反应谱测试验证本文提出的人工时程拟合算法的有效性和稳健性。算例1是美国核管会发布的用于核电厂抗震设计的RG1.60标准反应谱[10]，它由大量天然地震波的统计分析确定，具备天然地震波的频谱特征。算例2和3是核电厂抗震楼层反应谱，它由设备安装标高处的计算反应谱拓宽获得，频谱特征受人为因素影响较大，拟合难度较RG1.60标准反应谱偏大。算例2和3分别是单峰谱和双峰谱，随谱峰数量增加，谱形复杂度增加，相应拟合难度增大。

3.1 RG1.60标准反应谱拟合测试

选用RG1.60标准反应谱的阻尼比ζ=0.05。人工时程上升段时间为5 s，平稳段时间为10 s，总持续时间为30 s，零周期加速度为1.0g，时程时间步长为0.01 s，生成的人工时程如图1所示。

图1 以RG1.60标准反应谱作为目标反应谱拟合得到的人工时程Fig.1 Matching artificial time history with RG1.60 standard response spectrum as targeted spectrum

以RG1.60标准反应谱为目标反应谱，图2为拟合时程对应的计算反应谱与目标反应谱的对比，图3为拟合时程对应的计算反应谱相对于目标反应谱(RG1.60)的相对偏差，可看出，只有两个控制点低于目标反应谱，且相对偏差在0.5%以内，所有控制点的最大相对偏差均控制在2.5%以内。图4为拟合时程对应的功率谱与目标功率谱的包络对比，可看出，其符合包络要求。同时测试本算例时发现：由于RG1.60标准反应谱由天然地震波统计分析而来，谱本身的谱频协调性较好，仅使用频域法也能获得较高精度的时程，频域傅里叶系数一般调整30次即达到收敛要求。

图2 目标反应谱(RG1.60)与拟合时程对应的计算反应谱的比较Fig.2 Comparison between targeted response spectrum (RG1.60) and calculated response spectrum for matching time history

图3 拟合时程对应的计算反应谱相对于目标反应谱(RG1.60)的相对偏差Fig.3 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (RG1.60)

3.2 单峰楼层反应谱测试验证

图5为拟合获得的人工时程，其中时程的上升段时间为5 s，平稳段时间为15 s，总持续时间为40 s，峰值加速度为0.53g，步长为0.01 s。图6为目标反应谱(算例2)与拟合时程对应的计算反应谱的比较，可看出，算例2的目标反应谱仅有1个峰值平台，占据一定的频率范围，阻尼比ζ取0.04，目标反应谱与拟合时程对应的计算反应谱匹配性较好。拟合时程对应的计算反应谱相对于目标反应谱(算例2)的相对偏差如图7所示，可看出，仅有1个控制点低于目标反应谱，相对偏差不超过1%，所有控制点的最大相对偏差不超过4%。同时高频区控制点拟合一致性较好。本算例说明窄带时程叠加法可实现控制点拟合精度的精准控制和改善，弥补传统傅里叶系数调整法的不足。图8为拟合时程对应的功率谱与目标功率谱对比，其符合包络要求。

图4 拟合时程对应的功率谱与目标功率谱(RG1.60)的比较Fig.4 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (RG1.60)

图5 以算例2楼层谱作为目标反应谱拟合得到的人工时程Fig.5 Matching artificial time history with sample 2 floor spectrum as targeted spectrum

楼层反应谱是由厂房结构时程响应的计算反应谱拓宽获得的，相较于RG1.60标准反应谱，受人为因素影响较大，谱频协调性差。试算经验表明：若只采用频域法，迭代周次多，又不满足收敛性要求，而使用窄带时程叠加法对所有控制点迭代调整30轮后即可达到收敛条件，收敛性获得显著改善。

图6 目标反应谱(算例2)与拟合时程对应的计算反应谱的比较Fig.6 Comparison between targeted response spectrum (sample 2) and calculated response spectrum for matching time history

图7 拟合时程对应的计算反应谱相对于目标反应谱(算例2)的相对偏差Fig.7 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (sample 2)

3.3 双峰楼层反应谱测试验证

图9为以算例3楼层反应谱作为目标反应谱拟合得到的人工时程，其中上升段时间为5 s，平稳段时间为15 s，总持续时间为40 s，时间步长为0.01 s。图10为目标反应谱(算例3)与拟合时程对应的计算反应谱的比较，阻尼比ζ取0.04，算例3的目标反应谱有两个峰值平台，各占据一定的频段范围，拟合难度较单峰楼层反应谱大，目标反应谱(算例3)与拟合时程对应的计算反应谱匹配性较好。图11为拟合时程对应的计算反应谱相对于目标反应谱(算例3)的相对偏差，可看出，有4个控制点低于目标反应谱，偏离程度不超1%，所有控制点的最大相对偏差不超2%，高频段控制点拟合精度较高。图12为拟合时程对应的功率谱与目标功率谱对比，其符合包络性要求。

图8 拟合时程对应的功率谱与目标功率谱(算例2)的比较Fig.8 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (sample 2)

图9 以算例3楼层反应谱作为目标反应谱拟合得到的人工时程Fig.9 Matching artificial time history with sample 3 floor spectrum as targeted spectrum

4 结论

本文采用一种改进的窄带时程构造函数，综合运用频域法和时域法，提出一种新的人工时程拟合方法，可拟合出满足核安全法规要求的高精度人工时程，显著提高了高频区控制点的拟合精度。RG1.60标准反应谱和单峰、双峰楼层反应谱的拟合测试结果表明本文提出的算法是有效和稳健的。本文提出的人工时程拟合算法可应用到核电工程抗震设计中。

图10 目标反应谱(算例3)与拟合时程对应的计算反应谱的比较Fig.10 Comparison between targeted response spectrum (sample 3) and calculated response spectrum for matching time history

图11 拟合时程对应的计算反应谱相对于目标反应谱(算例3)的相对偏差Fig.11 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (sample 3)

图12 拟合时程对应的功率谱与目标功率谱(算例3)的比较Fig.12 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (sample 3)