数学规划与图形方法相结合设计热集成用水网络

彭肖祎，董轩，廖祖维，杨遥，孙婧元，蒋斌波，王靖岱，阳永荣

（浙江大学化学工程与生物工程学院，化学工程联合国家重点实验室，浙江杭州310027）

引 言

水和能源是工业中必不可少的资源[1−3]，近些年随着世界能源体系的急速发展，用水和用能集成的问题得到了广泛关注[4−5]。热集成用水网络的设计方法主要有两大类：数学规划法[6−12]和概念设计法[13−16]。在数学规划法的研究中，Du 等设计了逐步优化和同步优化法，有效地解决了用水网络中的能量集成问题[17]，并且采用分级超结构分步综合热集成的质量交换网络[18]；廖祖维等[19−20]改进转运模型求解出更优的公用工程费用和换热匹配数，该模型的规模较传统转运模型相比有所减小。而后Zhou等[21]在Liao 等[22]关于流股识别方法的基础上将顺序优化法改进为同步优化法，构建了MINLP 模型和MPEC 模型以降低年度总费用。Yan 等[23]通过更改加热器和冷却器的位置，修改了Ahmetović 等[24]的超结构模型，从而将公用工程的设计排除在换热网络结构之外，他们还提出了不涉及二元变量的流股识别法并且构建了NLP模型。刘祖明等[25]提出了考虑非等温混合的用水网络，同时优化水耗以及能耗目标，获得的换热网络结构更为简单。Hong 等[26−27]提出了包含线性约束和更准确的温差计算的MINLP模型，并提出了三步求解策略以获得更好的解，当问题的复杂性增加时，该模型和求解策略的优势更为突出。在大规模问题的求解上，Lee等[28]探究了连续或批量单元的厂际问题，Rubio−Castro 等[29]通过对园区内厂间现有的用水网络进行改造，提出了一种新的生态工业厂房设计模型。在最近的研究中，Liu等[30]构建了包含厂内和厂间所有可能出现的水−热联结的超结构数学模型，以解决园区内厂间的热集成用用水网络的综合问题。

概念设计法主要是基于Linnhoff 等[31]的夹点设计方法探究公用工程目标以及实现过程集成[32]，被Savulescu[33]率先应用于水和能量的集成研究。后续Savulescu等[34]提出了二维格子图和构建分离系统两种图形方法，先后得到了用水网络和换热网络结构。此后，Leewongtanawit 等[35]提出了水−能源平衡图，同样通过构建分离系统的方法改进组合曲线，简化换热网络的设计。此外，源−阱能量复合曲线[36]、质量−能量复合曲线[37]、温度−浓度[38]序列组合曲线、能量剩余图[39]等图形工具也被相继提出。Feng 等[40−41]分析了非等温混合对用水网络的用能的影响，并提出了非等温混合规则。Hong 等[42]提出了焓−流图来获得并联结构的换热网络。随后，他们又关注到串并联混合结构的换热网络设计，通过在温−流图中构建换热区块图[43]和在焓−流图和温−焓图中运用演化的方法[44]分别得到了上述混合结构。近期Chin 等[45]提出了过程图，根据过程图可以构造出更为简单的数学算法以求解热集成用水网络模型。

当前，热集成用水网络的概念设计法在用水网络合成阶段往往只关注新鲜水和能量的消耗，鲜有文献考虑投资费用，而这正是数学规划法的优势。另一方面，在换热网络设计过程中，数学规划法受到问题规模的制约，难以求解。而概念设计法则可直观获得结构简单、性能优良的换热网络结构，但针对已有结构的调优和演化尚未展开。本文将概念设计法与数学规划法相结合，发挥各自优势，得到公用工程消耗和总换热面积都更为经济的热集成用水网络结构。首先应用数学规划法构建MINLP 模型，得到了公用工程消耗和总换热面积最小条件下的用水网络结构。接着应用概念设计法演化该用水网络的组合曲线以设计换热网络结构，最终得到了换热单元数更小的热集成用水网络。

1 热集成用水网络的问题描述

热集成用水网络的问题描述如图1 所示：一个工业过程中包含若干个用水单元，每个用水单元对温度和杂质浓度均有要求，排放的废水也要满足温度标准[46]。上述温度与浓度的要求通过新鲜水源和公用工程实现。其目的在于：在满足各个用水单元需求及废水排放标准的前提下，最小化新鲜水和公用工程的消耗，并简化换热网络。

2 考虑能量集成的用水网络模型

图1 热集成用水网络问题示意图Fig.1 Illustration of heat integrated water allocation networks

对于图1 的热集成用水网络，每个用水单元除了接收新鲜水源的供给外，在满足操作温度和浓度限制的情况下，还可以接收其他用水单元排放的回用水，回用水不循环使用。流入用水单元的新鲜水被视为冷流股，其初始温度为新鲜水温度；从用水单元排放的废水被视为热流股，其初始温度为用水单元的操作温度，目标温度为废水排放温度。基于上述条件建立以下数学模型。

基于用水单元进、出口流股的流量守恒和杂质质量守恒，有如下方程：

式中，Fj,i代表从用水单元j 流向用水单元i 的回用水流率，kg/s；Fi,i代表用水单元i流向用水单元i的回水流率，kg/s;代表流入用水单元i 的新鲜水流率，kg/s代表用水单元i 排放的废水流率，kg/s；t和分别代表用水单元j的最大出口杂质浓度和用水单元i的最大进口杂质浓度，μg/L。

基于用水单元进、出口流股的能量守恒，有如下方程：

夹点温度在流股入口温度之间产生[47]，所以冷、热流股的入口温度被视作候选夹点温度。

式中，Tp代表候选夹点温度，℃；ΔTmin代表最小传热温差。

每一个候选夹点p 上方的热量亏缺Zp的最大值即为最小热公用工程用量QH（kW）。具体计算方法如下：

式中，QSIAp代表候选夹点p上方的热源；QSOAp表示候选夹点p上方的热阱；Tifout表示流入用水单元i 的新鲜水的目标温度，℃t表示用水单元i 排放的废水的目标温度，℃；和分别表示新鲜水和废水的比热容，J/(kg·℃)；表示用水单元i 排放的废水的流率，kg/s。

冷公用工程的用量QC为热公用工程的用量QH与流股间回收的热量Ω之和。

方程式（1）～式（15）用来约束用水网络的最小公用工程用量，本文将在此基础上对用水网络做进一步优化以减小换热网络的总换热面积。流股的相互换热量固定时，当传热温差增大，换热面积减小。本文在计算换热面积时假设相同换热面积的换热量相等，那么图2 所示的分离系统中组合曲线间阴影部分的面积与流股间的换热量存在式(16)的关系：

式中，SQ为图2 中阴影部分面积；Qw为冷、热流股间的换热量；ΔT 为冷热流股相互换热的传热温差。那么换热器的总面积为：

式中，A为换热器的总面积；θ为传热系数。

为了计算图2 的阴影面积，首先要确定组合曲线中所有节点的坐标。此时引入二元变量实现冷流股目标温度的排序，具体方程如下：

k代表温度节点，Tk是从低到高排序后的冷流股目标温度，与之间满足如下约束：

相似地，与Tk相对应的热容流率FCk满足如下约束：

图2 冷热组合曲线面积示意图Fig.2 Schematic diagram of combined curve area

排序后的热流股入口温度Th，和相邻两个Th之间的焓变的计算方法与冷流股类似。

式中，h 代表温度节点；Th是从低到高排序后的热流股初始温度，与Ti之间满足如下约束：

Th相对应的热容流率FCh满足如式（29）约束：

计算相邻两个Th之间的焓变，如式（30）所示：

式中，T0=。每个温度节点h 对应的焓值可由式（31）计算：

图2 中，热组合曲线温度最高点（Hhmax，Thmax）在冷组合曲线上的投影点坐标为（Hhmax，Tc_h），相似地，冷组合曲线温度最低点（QC，T0）在热组合曲线上的投影点坐标为（QC，Th_c）。图2 中阴影面积SQ等于热组合曲线中焓值为QC至Hhmax的部分与坐标轴围成的面积和SH与冷组合曲线中焓值为QC至Hhmax的部分与坐标轴围成的面积SC之差。SQ与SH按照式（32）、式（33）计算：

Qw满足如下约束：

式（11）、式（12）、式（33）、式（34）中的max 函数按照方程式（38）进行平滑处理：

β 是一个很小的常数，通常在10−3～10−6内取值。那么式（11）、式（12）、式（33）、式（34）分别转化为式（39）、式（40）、式（41）、式（42）。

本文数学模型的目标函数为：

式中，M为换热网络的年度总费用，其中单位面积费用为1200 USD/m2，面积成本指数为0.6，冷、热公用工程的年度费用分别为189 USD/kW、377 USD/kW。

本文以M 为目标函数，方程式（1）～式（10）、式（13）～式（15）、式（18）～式（32）、式（35）～（37）、式（39）～（42）为约束，构建MINLP模型。

以包含四个用水单元的用水网络为例[35]，完成上述模型的计算。该案例的相关数据见表1。

对上述用水网络构建本文的MINLP 模型并进行求解，得到该用水网络的新鲜水用量为90 kg/s，最小热公用工程为3780 kW，最小冷公用工程为0；根据流股的计算结果可以得到图3(a)的用水网络结构图和图3(b)的组合曲线图。

表1 四用水单元的数据Table 1 Water-using operation data

图3(a)中蓝色线段fw1、fw2、fw3 为新鲜水流股，红色线段ww1、ww2、ww3、ww4 为废水流股。上述7条冷热流股在组合曲线中的位置已在图3（b）中标注出。该组合曲线的夹点出现在图3（b）的点C 与点H 处。夹点下方冷公用工程为0，夹点上方热公用工程用量为3780 kW。

图3 用水网络结构与组合曲线对照图Fig.3 Match of the water network and the energy composite curves

图4 换热匹配数为1的组合曲线演化过程Fig.4 Modification of combination curve with 1 heat exchange matching

3 基于分离系统的换热网络演化设计

为了得到更简单的换热网络，本文对组合曲线进行演化以减少换热匹配的个数。本文依次设计了换热匹配数逐个增加的换热网络，并比较了每个换热网络的总换热面积的大小。首先尝试设计换热匹配数为1 的换热网络，组合曲线的具体演化步骤如图4所示。

第一步：以夹点为分界，判断演化后组合曲线的夹点的上、下方各自存在几组换热匹配。如果存在多夹点，则选择斜率变化最大的热组合曲线的夹点处开始演化。当热匹配数为1时，夹点上、下方都各存在1组换热匹配。

第二步：通过连接节点的方式完成冷组合曲线演化。为了满足流量要求，演化后的冷组合曲线在原冷组合曲线的上方，因此冷组合曲线的演化通过连接节点即可完成，所以冷组合曲线演化的自由度相对较低，更容易确定演化结果。先演化冷组合曲线可以降低整体操作的复杂性，也方便预判传热温差的大小。在图4（b）中，将冷组合曲线的点O 和点

与图4的演化过程相似，图5换热匹配数为2的演化过程如下所述：

第一步：如图5（a）所示，以线段CH 为分界点对组合曲线开始演化，判断出演化后组合曲线的夹点的上、下方各存在1组换热匹配。

第二步：如图5（b）所示，演化冷组合曲线，连接点O和点H。

第三步：如图5（c）所示，演化热组合曲线。将线段BN 向两端延长，与y 轴相交于点Q，与CH 相交于点K，夹点下方的热组合曲线演化成线段QK。G 相连，冷组合曲线演化成OGI。新演化出的冷组合曲线用深蓝色线段表示,原始组合曲线与演化后的组合曲线围成的区域代表了流股间的非等温混合。

第三步：演化热组合曲线。通常在热组合曲线中选择与演化后的冷组合曲线斜率最为接近的线段向两端延长。在图4（c）中，热组合曲线中线段NC 的斜率与OG 最接近，所以将NC 向两端延长至TS，用深红色表示。组合曲线经过演化之后的换热匹配为TS/OG，其传热温差小于10℃，传热温差的限制需要被松弛。

第四步：如图4（d）所示，每一个换热匹配被视作一个分离系统，计算每个分离系统中的流股流率，以及在温度节点处需要分流或合并的流股流率。根据演化后组合曲线的横纵坐标完成上述流率的计算。

演化后组合曲线的总换热量为22007.7 kW，总换热面积为6825.1 m2。由于传热温差较小，该换热网络虽然只有2个换热单元，但是总换热面积较大。为了减小换热面积，将换热匹配数调整为2，新的演化过程如图5所示。

第四步：如图5（d）所示，根据换热匹配流股的温变与焓变计算每个分离系统中需要分流或合并的流股流率。

图5（d）的组合曲线的总体换热量为22007.7 kW，换热面积为4420.0 m2，相较于图4（d）的换热网络而言，其换热单元的个数从2 个增加到3 个，换热面积有所减小。为了进一步增大传热温差，需要将换热匹配数调整为3，具体演化步骤如图6所示。

图5 换热匹配数为2的组合曲线演化过程Fig.5 Modification of combination curve with 2 heat exchange matching

图6 换热匹配数为3的组合曲线演化过程Fig.6 Modification of combination curve with 3 heat exchange matching

在进行换热匹配数为3 的组合曲线演化时，热组合曲线有两种演化方式，分别见图6（c）与6（d），表2对比了演化一[图6（e）]和演化二[图6（f）]的换热量与换热面积大小。图中标号为①、②、③的换热匹配的换热量为Q1、Q2、Q3，换热面积为S1、S2、S3。

从表2可以看出，二者的总换热量相等，但演化二的总换热面积更大。在图6(f)中，Q3具有较大的换热量和较小的传热温差，导致Q3大大增加了整体的换热面积。所以为了演化出总换热面积较小的网络，对于传热温差较小的换热匹配，尽量分配较少的换热量，反之亦然。图6(e)为换热匹配数为3时的最终演化结果，表3 为本案例3 个换热匹配时本文与文献的设计结果对比，文献结果均采用本文的总传热系数重新计算。

表2 图6（e）和图6（f）的结果对比Table 2 Design comparison of Fig.6（e）and Fig.6（f）

表3 本文与文献的设计结果对比Table 3 Overall design comparison

由表3 对比可知，在换热器个数均为4 的情况下，本文与文献结果的新鲜水量相同；本文的换热量低于Leewongtanawit 等[35]的结果，所以总换热面积较该文献减小了1.3%。本文的换热网络采用串联结构，所以总体换热面积较Hong 等[43]的结果减小了4.8%。

为了继续增大换热匹配的传热温差，本案例可以将换热匹配数增加至4个，演化过程如图7所示。

换热匹配数为4 的换热网络总体换热量为22007.7 kW，换热面积为3596.3 m2。此换热网络的换热单元数目为5个，但由于传热温差较大，换热面积相较上文有明显减少。

本文就该案例分别设计了换热匹配数为1、2、3、4 的换热网络，上述四个换热网络结构如图8 所示，其换热单元数目、换热量与总换热面积的对比见表4。

根据图8 和表格4 的对比可知，上述四种演化方式所构建的换热网络中，总换热量不发生变化，随着换热匹配个数的增加，传热温差逐渐大，总换热面积随之减小。

本文总结了如下5个组合曲线演化步骤：

（1）判定演化后夹点上、下方的换热匹配个数。

（2）演化冷组合曲线。冷组合曲线可以通过连接节点的方式完成演化。

（3）演化热组合曲线。热组合曲线要配合冷组合曲线进行演化，演化时要尽量保证换热匹配的传热温差足够大。

（4）计算演化后每个换热匹配中需要分流或合并的流股流率，并根据演化后的组合曲线构造换热网络。换热网络中流股的非等温混合情况通过质量衡算和能量衡算来确定。

图7 换热匹配数为4的组合曲线演化过程Fig.7 Modification of combination curve with 4 heat exchange matching

图8 四种换热网络结构图Fig.8 Heat exchanger networks with heat exchange matching of 1—4

表4 四种换热匹配的设计结果对比Table 4 Comparison of four design results

（5）换热网络设计完成之后判断是否需要进一步演化，如果需要，则重复上述步骤。

另外，组合曲线的演化应遵循如下的5 个演化规则。

（1）保证演化后的组合曲线要在原本组合曲线的内部。即演化后的热组合曲线要在原热组合曲线的下方，演化后的冷组合曲线要在原冷组合曲线的上方。否则将没有足够流量的流股进行非等温混合。

（2）如果组合曲线存在多个夹点，则在热组合曲线上的夹点中，选择斜率变化最大的夹点处开始演化。

（3）对于传热温差较大的换热匹配，尽量分配更多的换热量；对于传热温差较小的换热匹配，尽量分配较少的换热量。

（4）在演化热组合曲线时，选择热组合曲线中与演化后的冷组合曲线斜率最为接近的线段，将该线段分别向两端延长，作为热组合曲线演化的重要参考。

（5）必要时要松弛对传热温差的限制。如果演化后的组合曲线不能符合原本的传热温差需求，则可以松弛对传热温差的限制。

4 结 论

本文应用数学规划法与概念设计法探究了热集成用水网络，得到了公用工程消耗量最小的情况下，换热单元数更少、换热面积更小的热集成用水网络结构。在用水网络的设计中，本文构建了MINLP 模型，得到了公用工程消耗和总换热面积最小条件下的用水网络结构。其中总换热面积通过冷热组合曲线计算。在数学优化得到的用水网络结构基础上采用图形方法设计换热网络。在分离系统中通过演化组合曲线以减少换热匹配的个数，并且提出了减少换热匹配的5 个步骤与5 项规则，该方法可以有效地减少换热器数量。案例表明随着换热匹配数的增加，总换热面积逐渐减小。其中换热匹配数为3的结果优于文献值。当流股数目较多时，换热匹配结构较为复杂，本文中组合曲线演化的概念设计法不适用于大规模案例。

符 号 说 明

A——换热器的总面积，m2

Fiw——用水单元i排放的废水流率，kg/s

Fj,i——用水单元j 流向用水单元i 的回用水流率，kg/s

M——换热网络的年度总费用，$

QC——最小冷公用工程用量，kW

QH——最小热公用工程用量，kW

QSIAp——候选夹点p上方的热源，kW

QSOAp——候选夹点p上方的热阱，kW

Qw——冷、热流股间的换热量，kW

SC——部分冷组合曲线与坐标轴围成的面积，m2

SH——部分热组合曲线与坐标轴围成的面积，m2

SQ——阴影部分面积，m2

Th——从低到高排序后的热流股初始温度，℃

Ti,Tj——分别为用水单元i和j的操作温度，℃

Tk——从低到高排序后的冷流股目标温度，℃

Tp——候选夹点温度，℃

θ——传热系数，kW/(m2·℃)

下角标

i——用水单元i

in——用水单元的入口

j——用水单元j

out——用水单元的出口