基于核心素养养成教育的“复数”教学再设计

张筱玮，刘印哲

一、背景

围绕立德树人根本任务，教学要全员、全程、全方位育人，即把“三全育人”融入思想道德、文化知识、社会实践等各环节教育中。复数的引入，经历了曲折的过程，通过问题情境的创设，类比从自然数到实数的扩充过程，让学生经历数学发现、数学创造的过程，掌握数系扩充“规则”中蕴含的方法论，激发学生的学习热情，培养创新思维能力。

二、教学设计的指导思想

依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）对课程内容规划，“复数”是必修“主题三几何与代数”中的一章，本章学习内容主要包括数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义、复数的加减运算及其几何意义、复数的乘除运算以及复数的三角表示，重点提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等素养[1]，突出几何直观与代数运算的结合，融数学文化于课程内容中[2]。

教学设计以HPM教学模式为理论指导，即按照历史的顺序教授数学，或从历史视角呈现数学发生、发展过程，可以使学生看清数学的产生是有规律的，所有的数学知识最初都是以草创的形式出现，经过长期的改进，才形成确定的方法[3]。这种设计符合学生的认知发展规律和心理特征，能够从历史的宏观性上把握学生的认知规律，通过“类比推理”，使学生在探究式学习的过程中产生认知冲突，认识到扩充数系的重要性和必要性，体会数学的整体性。

复数单元知识结构如图1所示。

图1.复数单元知识结构

“数系的扩充和复数的概念”是“复数”一章中新概念形成的开端，也是本章的知识基础，具有奠基性作用。复数的引入是中学阶段对数系的最后一次扩充，引导学生从自然数到实数的数系扩充经验中梳理出数系扩充的“规则”，经历数学知识的发现和创造过程，体会其中所蕴含的理性思维，可重点提升学生的直观想象、数学抽象以及逻辑推理等素养。

三、教学设计各环节

本文将从系统观下教学设计各环节的视角分析基于核心素养养成教育。

（一）教学内容分析

“数系的扩充和复数的概念”选自人教版《普通高中教科书(A版):数学（必修第二册）》中第七章第一节“复数的概念”，位于三角函数和向量学习之后，向量能作为复数学习的工具，复数的三角表示又能融合复数、三角函数与向量，从复数的几何意义入手，让学生理解复数本质上是由实数（已有知识）构成的有序数对，同时复数具有深厚的物理背景和应用，对学科间的知识融合具有示范作用。

（二）学生学情分析

学生初中阶段有数系从自然数扩充到实数的学习体验，积累了一定的数系扩充活动经验，能够在实数范围内求解一元二次方程，高中阶段掌握了集合以及集合运算，学习了三角函数和向量，为学习复数完成数系的扩充打下了知识与能力基础，但并没有系统学习数系扩充的规则，缺乏对“为什么要扩充数系”的深入思考。

（三）教学目标确定

依据“新课标”对课程内容学习的要求，以“四基”、“四能”为培养目标，教师应从如何让学生理解引入复数的必要性，了解数系扩充的规则，理解复数的概念，掌握复数的表示等主要问题入手，培养学生的创新意识，帮助学生树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，感悟学习后续内容的价值和意义。

（四）教学重、难点

教学重点：梳理数系扩充的过程和“规则”，类比自然数到实数的扩充引入复数，理解复数的概念。

学习难点：复数的引入，理解复数的概念，理解复数的代数表示为两项之和的形式。

关键在于引导学生掌握数系扩充的方法，借助类比思想形成复数的概念。

（五）教学过程设计

基于教学目标和教学重、难点的设置，采用探究式教学方式，在问题情境中体会社会实际需求与数学内部矛盾对数学发展的推动作用，使学生经历数学知识的发现和创造过程，培养创新意识，感悟理性思维。

【问题导入】

本题目的设计还原了早在五百多年前意大利数学家卡尔丹研究的问题“把分成两部分，使其乘积为”这一问题，卡尔丹给出两个“数是方程的解。我们若假定这两个数有意义，不难验证这两个数满足题目中的条件：

问题2：√- 15是“数”吗？在实数范围内，负数不能开平方，而卡尔丹求得的解5+ √- 15和5- √-15又能满足“把10分成两部分，使其乘积为40”，存在这样的数吗？数学研究中需要这样的数吗？

【设计意图】问题1,2以HPM教育思想为指导，设计中融入数学文化，重现经典数学史问题，产生思想碰撞，引发学生的认知冲突，激发学生对复数的存在性进行探究的学习动机，是在复数概念导入中的运用。

【探究发现】

数学实验：用geogebra软件观察函数（f x）=x3-15x-4的图象，如图2所示。

问题3：观察图2，给求出一元三次方程x3=15x+4实数解的个数。

图2.geogebra软件绘制x3=15x+4局部图

通过观察试误可以确定方程的一个解为4，则有一个因式为（x-4），由数学实验知道方程还存在另外

两个实数解，且三次项系数为1，就可以设另一个因式为（x2+ax+b）。这样，由（x-4）（x2+ax+b）=x3-15x-4可以很方便地确定a、b的值，将原方程转化为（x-4）（x2+4x+1）=0，求得方程的解为分解因式的方法很多，有兴趣的读者可

以思考求解这一问题其它方法。

问题4：一元三次方程求根公式

以微课程方式呈现以下内容，卡尔丹推导形如x3+px+q=0的一元三次方程求根公式，得出其中一根在16世纪意大利数学家邦贝利用它求解一元三次方程x3=15x+4的一个解为这里又出现了的数（对负数开平方），而在问题3中已经求出方程的三个实数解，是一个被证明存在的实数，间接证明了尽管不是实数，但它是有意义的。

问题5：在这些数中最简单的是哪一个呢？为什么觉得它是最简单的呢？

问题6：负数开平方实质上可以简化为研究对开平方，从方程的角度表示探究方程x2+1=0的解。

【设计意图】到此回归教材，由于现实生活中没有虚数的真实模型，所以引导学生从解方程的角度出发，体会“数不够用”的紧迫感，将学生引向添加新数的创新性解题思路。

【建构新知】

从求解方程的视角，看数域的扩张，如图3所示

图3.数域的扩张

对数系的扩充过程进行归纳，使学生认识到方程的解与取值范围密切相关，同时数系扩充的规则形成清晰的体现，体会数系扩充过程中的理性思维，使学生自然而然地联想到再次对数系进行扩充来求解方程，渗透类比思想，培养逻辑推理、数学抽象素养。类比从自然数到实数的扩充过程，把新引进的数i添加到实数集后，数i和实数之间仍能像实数那样进行加法和乘法运算，对加法和乘法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律。

在实数集的基础上再添加新数来表示方程x2+1=0的解。添加的这个新数应该满足这个数的平方等于-1。这个工作由数学家欧拉完成，他引入字母i来表示方程x2+1=0的解，即使得我们把i叫做虚数单位。

【生成新知】

我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所构成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做复数集。

复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部。把实数b与数i相乘的结果记作bi，bi的形式表明实数与i之间满足乘法。又因为数i与实数a，bi分别相乘得ai，-b，而x+yi可以涵盖a（x=a，y=0，其它类同），bi，ai，-b，a+bi等情形，即把所有的实数以及新数i都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，这样实数和“新”数都在扩充后的数集中。

学生经历复数概念的形成过程，最后由教师总结，形成复数的概念。

本节课的一个重难点就在于形成复数的概念以及对复数概念的理解，教师给出规范化的概念有助于学生的记忆和理解。

问题7：用集合的观点来表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系。

问题8：在复数集C中任取两个数a+bi，c+di（a，b，c，d∈R），它们在什么情况下是相等的呢？给出复数相等的充要条件。

【设计意图】这里适当调换复数相等的充要条件与复数的分类的先后位置，符合学生的认知过程。结合思考题，引发学生继续深入探究，间接向学生揭示复数的本质是一对有序实数的事实，将复数与有序实数对、向量建立起自然的联系，为下节课学习复数的两种几何意义奠定知识和思想上的基础。

【总结展望】

本节课围绕“数不够用”问题，引入新数将数系扩充到复数集。“从实数到复数的数系扩充”的学习过程，梳理了数系扩充“规则”，运用了分类讨论、类比推理等数学思想方法，发展了理性思维。

复数的发现是一个曲折的过程，在数学史上，从古希腊丢番图时代人们求一元二次方程的解时发现复数问题开始，到意大利数学家卡尔丹在1545年出版的《重要的艺术》中，在求解一元三次方程过程中无法回避虚数问题，再到18世纪末韦塞尔给出复数的几何表示，人们才开始接受复数。1843年，英国数学家哈密顿在复数基础上构造了四元数，从而导致了物理学中著名的麦克斯韦方程的建立。复数看似虚无缥缈，但在现实生活中发挥着巨大作用，复数在系统分析、信号分析、量子力学、流体力学中都有十分重要的作用。

【作业布置】

（1）求解方程（x-3）（x+4）（3x-4）（x2-8）（x2+9）=0在不同数系中解的情况

（2）当实数m取什么值时，复数（m2-5m+6）+（m2-3m）i是下列数？

（i）实数（ii）虚数（iii）纯虚数

（3）求适合下列方程的实数x与y的值：（i）（3x+2y）+（5x-y）i=17-2i

（ii）（x+y-3）+（x-4）i=0

四、总结

（一）体现数系扩充规则，渗透类比思想

从自然数到实数的每一次扩充都源于实际问题的需要。与以往不同，现实生活中并没有虚数的真实模型，“数”的新冲突产生后，从解方程的需求出发至为重要，期间渗透类比思想，引导学生抛开原有认知观念的束缚，创新性地引入新数。在基础教育阶段让学生体会数系扩充的规则，学习到蕴含其中的数学思想方法，能提高学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力，学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等素养得以提升，创新意识和理性思维得到发展。

（二）恰到好处把握数学史的引入

对于数学文化的体现，充分认识到介绍数学史并不是本节课的重点，同时对于数学史的引入也不能完全照搬，要有选择性地引入符合学生认知发展和知识水平的具有代表性的数学问题，这样才能调动学生积极参与到课堂之中，否则对于数学史的介绍就会成为讲故事，无法体现数学文化的育人价值。在单元课时要求下，“复数的概念”教学从“数”的单元主题来建构复数概念的教学设计，凸显“数系扩充”发展脉络，从数学史中看数系扩充的规则，让学习者从中体会理性思维、创新思维和数学文化。

本设计中，引入卡尔丹和邦贝利两位数学家的经历，意义在于重现历史经典问题，产生思想碰撞，引发学生的认知冲突，激发学习动机，进一步打破原有认知观念，培养创新意识，为引入复数做好自然而然的铺垫。在引入邦贝利的故事时考虑到在本节课中对于一元三次方程求根公式不适宜做深入介绍，所以采用微课程的方式简要介绍公式推导思想，重点突出一元三次方程求根公式本身，符合学生的认知水平。当学生体会到数系扩充的必要性，理解了复数的概念之后，在课程的结尾简要介绍复数的发展历程和应用，使学生形成对复数较为全面的认识，体会复数存在的意义。

（三）信息技术与课堂教学相融合

随着信息技术的发展，繁琐的运算已能借助技术完成，数学素养也由强调快速准确的运算转向更注重恰当地运用信息技术建立模型、解决问题。把一些抽象的数学思维过程转变为直观可见的数量、空间变化过程，引导学生在信息技术手段下更好地理解数学本质[4]。一方面是运用geogebra进行数学实验探索。geogebra软件是当今数学课堂教学中应用较为广泛的一款适用于数学教学与学习的动态数学软件，能够最大程度满足教师对于优化课堂教学的需求，其形象化、多样化、直观化的特点能够更好地揭示数学概念的形成和发展过程，有助于学生数学学科核心素养的发展。本设计中，合理运用geogebra软件，有利于激发学生的学习兴趣，同时体现了其方便、简洁的特点。

另一方面是微课程的嵌入。本设计中采用微课程的方式将一元三次方程求根公式以及邦贝利利用该公式求解一元三次方程的数学史进行展示，主题突出、指向明确，这种真实的、具体的、典型案例化的教与学情景符合学生的认知规律。微课程的嵌入以及PPT展示复数的发展历程和应用，在验证复数的存在性的基础上进一步使学生体会复数存在的意义，充分借助信息技术的多样化向学生展示复数发展过程中数学家的想象力、创造力，以及不屈不挠、精益求精的精神，渗透数系扩充过程中蕴含的理性思维。

（四）作业布置具有层次性

作业的布置与课堂教学逻辑顺序保持高度一致，作业（1）使学生再次体会数系扩充的必要性，在复数集中求解方程，熟悉复数的表示；作业（2）是对复数的分类进行练习；作业（3）强调复数相等的充要条件，学生在解题过程中进一步体会复数的本质是一对有序实数的事实，为下节课学习复数的两种几何意义打下基础。