带电粒子在有界磁场中运动的临界问题解析*——以2020年高考全国卷Ⅰ物理第18题为例

马顺存

(湖南师范大学附属中学 湖南 长沙 410006)

“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“运动学中的追及问题”等等，这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态．带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性之外，还有其自身的一些特点．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题一般的思路是：画图→动态分析→找临界轨迹→计算解答．找出临界轨迹，做出轨迹图形，是解决这类问题的关键．下面以2020年高考全国卷Ⅰ物理第18题为例进行解析．

图1 题图

解法一(常规思路)：由带电粒子在磁场中运动，其所受洛伦兹力提供做圆周运动的向心力有

(1)

(2)

解得

其中m,q,B为已知，v为变化量，r随着v的增大而增大．

带电粒子在磁场中运动的时间

其中θ为带电粒子运动轨迹所对应的圆心角，可知带电粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关．

由于粒子垂直于ac射入，可知其轨迹圆的圆心必定在ac所在直线上，由于粒子具有各种速率，所以粒子的轨迹圆半径由零逐渐增大，作出粒子在磁场中运动的轨迹，如图2所示．

图2 解法一图示

当r≤0.5R或r≥1.5R时，粒子从ac，bd区域射出，粒子在磁场中运动的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期(非最长时间)，如图2中的轨迹1和5．

粒子运动最长时间为

所以选项C正确．

解法二：

解题分析部分与解法一相同，关键点是如何找到临界条件下的出射点．在解法一中，用作缩放圆的方法找出最大轨迹圆，由于轨迹圆有无数个，不太容易找到临界条件．同时要证明所找到的轨迹即为在磁场中运动时间最长的粒子轨迹也比较困难．因此需要寻找一种更简单地找到临界条件轨迹的方法．

β=60°

图3 解法二图示

解法三：

解题分析部分与解法一相同，用该方法找到的粒子在磁场中运动的轨迹临界条件相比于解法二思路更加清晰，也更加容易理解．

β=60°

图4 解法三图示

结束语：

由于本题是一个单选题，在考场上我们可以通过排除法、赋值法等解决问题，不必要花费太多的时间将每一个问题都分析得一清二楚．然而，带电粒子在磁场中运动的临界问题是高考中的常考点，也常以压轴题的形式出现，难度较大．考场之外对该题型的解析还是很有价值的．通过对2020年高考全国卷Ⅰ物理第18题的解析，对3种解法做如下归纳：

方法一，我们用常规思路解决问题，利用动态圆寻找临界条件，但是发现要找到临界条件比较难，要证明所画出的临界轨迹就是在磁场中运动时间最长的粒子轨迹就更难了．

方法二，是在方法一基础上的换位思考，画出一条直线，到达这条直线上所有粒子运动的时间都是相等的，因此临界条件的寻找由动态圆转化为动态直线，问题得到简化．

我们可以看到，带电粒子在磁场中运动临界问题的解答很能体现学生的分析思维能力以及想象能力，要求学生能够由一条确定的轨迹想到多条动态轨迹，从不同的角度思考问题，并最终判定临界状态．所以，在平时的教学过程中，我们要深入挖掘高考题型的最佳解题方法，通过适当的方式教给学生，这样有助于拓展学生的视野，有助于学生理解问题的本质．在学习的过程中，我们不能只要求得出正确的答案，要知其然，更要知其所以然，同时还要思考如何才能寻找到最佳解题方法，这样才能在考试中得心应手．在核心素养教学理论指导下，要求作为教师的我们要充分挖掘问题的本质和内涵，在备课中多下功夫，走在高中物理教学的“潮流前线”，为学生全面而有个性的发展“保驾护航”[1]．