用GeoGebra 软件设计李萨如图形仿真平台*

乔永海

(惠州市实验中学 广东 惠州 516008)

大学物理基础实验是理工科学生的必修基础课程，针对李萨如图的实验教学是重要的基础实验之一．目前，观察李萨如图形时，常借用两台单独的信号发生器产生正弦信号送入示波器来实现，由于示波器工作机制的限制，各分振动的初相位不可控制，这样做很难得到稳定的、不同相位差、不同频率比的李萨如图形．

为了解决上述困难，科研工作者开发出仿真模拟平台供教师的教学和学生的实验体验所用．基于LabVIEW的李萨如图仿真平台、基于Matlab_GUI的李萨如图形仿真平台[1]、 基于Labview 虚拟仪器平台等，这些仿真平台经过熟悉相关软件的科研工作者编写，生成可以独立运行的工具，供教师和学生使用．

GeoGebra是一款功能强大的数学软件，用该软件制作李萨如图仿真平台，只需要一个工具和一组代码，制作非常便捷，功能却十分强大．学生可以利用GeoGebra 自制“教具”来探究规律，对学生的综合素质培养有重要意义．

1 原理

简谐振动是物体振动的最基本形式．在一定条件下，两列相互垂直的振动叠加形成李萨如曲线．两个传播方向相互垂直的简谐波的振动叠加时，如果两列波的传播频率比值成简单整数比时，两列波的合成轨迹是规则的图形，叫李萨如图形(Lissajous-Figure)．

x方向的振动方程为

x=A1cos(n1ωt+φ1)

(1)

y方向的振动方程为

y=A2cos(n2ωt+φ2)

(2)

为了简化操作和图形的对称性，我们设A1=A2=1，由于我们主要关注相位差，因此，设φ2=0，φ1=Δφ,ω=1．

上述式(1)、(2)分别简化为

x=cos(n1t+Δφ)

y=cos(n2t)

下面我们开始创建李萨如图形模拟平台．操作非常便捷，只用一个工具和一组代码，就可以创建一个可控的李萨如图仿真平台，该平台可以控制两个振动的频率和相位差而获得相应的李萨如图形．

2 制作过程

打开GeoGebra 软件，窗口如图1所示．初次接触该软件的读者要熟悉它的界面，便于后续的操作．

图1 GeoGebra窗口

2.1 创建滑动条

2.1.1 创建控制相位差的滑动条

选择“滑动条”(图1中工具栏第10个)，点击绘图区，出现属性对话框，选择“角度”，默认名为α，可以不改动，用它代替相位差Δφ，如图2所示，点击“确定”．

图2 创建控制相位差Δφ的变量

2.1.2 创建控制x和y方向振动频率的滑动条n1

选择“滑动条”，名称栏内输入n_1：点击绘图区，出现属性对话框，选择“数字”，3个输入框中，最小值输入1，最大值输入8，增量输入1．

再次选择“滑动条”，名称栏内输入n_2：点击绘图区，出现属性对话框，选择“数字”，3个输入框中，最小值输入1，最大值输入7，增量输入1．

2.2 绘制李萨如图

在GeoGebra的命令栏(图1的最下部)内输入如下代码便可产生李萨如图．

曲线[cos(n_1*t+α),cos(n_2*t),t, 0, 2π]

代码输入提示：除了中文，其他要在半角下输入．符号“_”是下角标标示符号，用“Shift+ -”输入．

绘图区出现李萨如图，如图3所示．点击“平移”工具(如图1工具栏第一个)，然后点击绘图区，隐藏坐标和网格，把李萨如图移动到合适位置．也可以改变李萨如图的线条粗细和颜色．

图3 李萨如图

先点击“平移”工具，再点击α滑动条，右键，在下拉菜单里勾选“启动动画”，看到相位差逐渐变大时动态的李萨如图．通过拖动n1和n2来改变x和y方向振动的角频率值，观察图形变化．需要静态图形时，点击绘图区左下角的“启动、暂停”按钮．至此，我们就制成了频率比和相位差可控的李萨如图模拟实验平台．

3 探究李萨如图和频率的关系

在电工和无线电技术中，可以利用示波器观察李萨如图，根据已知振动波频率和相位，来测定未知振动波的频率和相位差．下面我们寻找如何从多变的李萨如图中寻找频率比的方法．

3.1 获得一组李萨如图

把图2的“增量”改为45°后通过拖动滑动条改变Δφ,n1，n2，获得不同的李萨如图，如图4所示．

图4 不同频率比和相位差的李萨如图

3.2 探究频率比和李萨如图的关系

3.2.1 探究1

如图5所示的两个图形，可以看出如下规律：n1的大小和李萨如图左、右侧的“峰”的个数相同，n2的大小和李萨如图上下侧的“峰”的个数相同．可以归纳出如下规律：x方向的振动频率和y方向的振动频率之比等于李萨如图左(右)侧和上(下)侧“峰”的个数的比值．

图5 不同频率比和相位差为90°的李萨如图

3.2.2 探究2

如图6所示，频率比为4∶3和8∶6的李萨如图是相同的．因此，频率比要进行约分后得到频率比的不可约分数，该不可约分数和“峰”数比值才相等．可以进一步完善规律的表述：x方向的振动频率和y方向的振动频率的比值(不可约分数)等于李萨如图左(右)侧和上(下)侧“峰”的个数的比值．

图6 频率比相同的李萨如图相同

3.2.3 探究3

李萨如图有曲线“不闭合”现象，如图7所示．我们发现，一根线要计数1，一个“峰”要计数2，这样“峰”数比和频率比才能相等．为什么呢？下面我们继续探究．

图7 不闭合的李萨如图

以频率比为5∶4的李萨如图为例，相位差每隔15°截取一图形，如图8所示．从动态的李萨如图中可以观察到一个现象，好像一簇线条在“三维空间”里绕竖直轴转动，当“前后”的线条出现遮蔽时就出现了线条不闭合的现象，如图8的右边3图，这些有端点的线条实际是一个“峰”，从侧面看变成线了．图中的一个“峰”背后“遮挡”另外一个“峰”，因此，当遇到李萨如图的有端点图线时，我们的计数方法是：一根“断线”计数1，一个“峰”计数2．

图8 频率比为5∶4相位差不同的李萨如图

GeoGebra既有电脑版，还有网页版和手机版，读者可以在网页或手机上制作李萨如图，探究其变化规律，为实验操作做准备[2，3]．