初中生数学学科核心素养生成路径的探究

邓衍生

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出，数学教育的最终目的是让学生学会用数学的目光观察现实世界、学会用数学思维思考现实世界、学会用数学语言表达现实世界，并把学生数学学科核心素养细分为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析.《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验和理解、思考与探索;课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系;要重视直观，处理好直观与抽象的关系.”数学概念承载着数学思想与方法，构成数学知识的根基，成为数学学习的核心.而数学概念的教学应以培养学生数学意识为方针，重视数学概念产生的过程，将数学概念的学习变为“学数学、做数学、用数学”的过程.本文旨在通过初中函数概念的建构过程，探究初中生数学学科核心素养的生成路径.

1初中函数概念的建构过程

函数是重要的数学概念，它有着极其广泛的应用，在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.代数教学的研究内容逐渐从“以解方程为核心”转变到“以研究函数为核心”，揭示了数学概念在中学教学中的重要地位.然而，函数作为学生在数学学习生涯中初次遇到的具有一般意义的抽象概念，初中生对其概念理解的難度是毋庸置疑的.

（1）教材分析

人教版义务教育教科书中有关函数内容出现的先后顺序依次是：八年级下册第十九章一次函数、九年级上册第二十二章二次函数、九年级下册第二十二章反比例函数.

函数的一般概念，在人教版教材的第一小节中称之为“变量与函数”（即变化与对应意义下的函数），是第19.1节的重点，在人教版教材文本占比约3页，其中，使用问句10个，使用陈述句23个.教材所占篇幅多且文字紧密，侧重对知识的讲述教学.首先，变量与常量的概念引入过程是通过四个实例：汽车行驶路程与时间（填表）、票房收入与票数（销售问题）、水中涟漪，圆的面积与圆的半径（几何问题，二次关系）、矩形邻边变化（几何问题，一次关系）.其次，通过4个实例：水费与用水量、话费余额与用水量、水中涟漪（圆的面积与圆的半径）、书放入两个抽屉进行巩固，归纳变量与常量的概念，归纳变量之间的相互联系，思考变量之间的联系.最后，自变量、函数、函数值的引入则通过体检心电图、人口数与年份这两个图表实例，这些实例通过函数、图像、表格的表达形式指向变量之间的单值对应关系，同时也为后面介绍函数的多种表达方式做准备.

人教版教材通过思考、总结、练习，再思考、再总结、最后再思考等步骤，首先借由多个实例阐述变量及变量间的关系，再通过这些实例引入变量间相互关系，最后总结函数概念.

教材采取了传统的讲述型语言形式，问句句式丰富，知识呈现思路清晰明了，具有很强的说服力，娓娓道出“概念的产生既是生活实际的需要，也是数学自身发展的结果”.但文字占据较长篇幅，使文本拘于程序化，令学生在自主预习时被动接纳知识，不益于培养其思维能力，限制了好奇心的产生。同时，教材缺乏对于“引入概念的意义”的剖析，缺少了引导学生思考并感悟函数概念中“核心元素及其关系”的过程.

（2）概念建构

美国数学家杜宾斯基（Dubinsky）指出，学生在学习数学概念时需要进行心理建构，这一过程主要经历四个阶段：操作阶段（Action）、过程阶段（P-rocess）、对象阶段（Object）及图式阶段（Scheme）.

对于初中函数而言，引入概念前的良性铺垫是十分必要的，这样才能让学生于现实世界中领悟函数概念的客观存在，让学生亲身体会并能完整表述函数概念的形成过程.

教材以“万物皆变”富有哲理地开启了函数篇章，配之绿洲雪山的诗意画面：“星星在宇宙中的位置随时间而变化，气候随海拔而变化，树高随树龄而变化……在你周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.”学生们在这个情境下开启了函数概念的学习.

尽管学生在生活中有两个量之间相互依存关系的体验，在之前的数学学习中也了解了成正比例关系、反比例关系的两个量之间变化依存关系，以及字母取值变化引起代数式值的变化等等，但是，他们在理解函数概念时还是会遇到相当大的困难，尤其难以归纳出“一个变量的值的确定导致另一个变量的值的唯一确定”，且变量之间是单值对应的关系，这里又包含了两个意义：一是存在对应值，二是这个值是唯一确定的.

人教版教科书在《19.1.1变量与函数>中设计了4个问题，既引出变量与常量的概念，也为建构函数概念做准备.

首先在上述借4个实例引出函数概念的过程中，教师引导学生得出两个变量t，s，并且s随t的变化而变化;再引导学生取定一些t的值，求出s的对应值并列表.这是建构函数概念的第一阶段：操作阶段（Action）.接着引导学生分析变量t和s间的关系：当取定t的值后，s的值有且只有一个，即当t为一个确定值时，s的值由t的值完全且唯一确定.这是概念建构的第二阶段：过程阶段（Proc-ess）.

教材中该章节的其余内容也通过类似分析，发现这些对应关系的共同特征，首次形成函数概念的归纳总结，即用解析式表示的变量间对应关系的“样例”.例如，学生从“体检心电图”中领会到，当确定其中一个变量值时，通过图像也可以确定另一个变量的唯一的值;从“人口数与年份’中领会到，当某一变量取一个定值时，通过查表也可以确定另一个变量的唯一的值.设计两个实际问题的目的都是为了突出函数的本质属性——“变化”、“对应”、“唯一确定”，并剥离“用公式表示变量关系”的非本质属性.由此，学生第二次、第三次形成函数概念归纳，即函数概念用图像、表格表示的变量之间的对应关系的“样例”.

教材通过分步概括，帮助学生理解并总结出函数的3种不同表现形式均指向“单值对应关系”的共同特征，从而形成函数定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量.

2教师在培养初中生数学学科核心素养中的作用

（1）教师要尊重学生的认知规律，引导学生形成良好的学科素养

人民教育出版社编审章建跃认为：“核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡，这就要求在核心数学概念的教学中，重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用（新知识的诠释、旧知识的翻新）等，并更要突出概念形成的过程性.特别值得注意的是，核心数学概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、动态的建构过程，函数概念就是最典型的例证.”

在杜宾斯基理论的第三阶段“对象阶段（Object）”中，已将函数过程作为一个独立的对象，例如函数的简单运算和复合运算等。在函数表示式f（x）±g（x）中，f（x）和g（x）两个函数均视为整体对象.到了第四阶段“图式阶段（Scheme）”时，函数概念已占据数学知识体系中独特且重要的地位，它以一种综合的心理图式存在于认知中——包含具体函数实例、抽象的建模过程和完备的定义，以及同其它概念之间的联系与差别.在数学学习的过程中，函数部分的学习时间跨度大，对函数概念的理解无法做到一次性到位，因此教师在教学中应该尊重学生的认知规律和课程标准的具体实现.

关于函数的教学，教师曾经更关注“知识内容”与“过程方法”这两个目标，在以“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”为终极目标的指导下，教师也应该关注学生对函数概念的认识与态度，从学习情感的角度去引导学生，帮助学生们形成良好的学科素养.

函数的概念在数学概念的分类中属变化式数学概念，其特点为：经过逐级抽象后，在其应用时很难看出原形.这类数学概念的认知表征拥有着千变万化的形式，学生所需认知的正是通过不断总结各种形式的演变从而达到理解目的.在经历“取之于概念，用之于变化”的过程后，教师要善于引导学生从这些数学概念一成不变的文字中悟出其变化的特点，最终使学生彻底理解数学概念.

（2）教师要通过教学实践研究，引导学生在参加数学活动中领悟数学思想

函数概念体现了概括性、抽象性、精确性等几大特性，引入概念的过程尤为重要.在函数教学的课时中，大量生活实例的运用让学生感受到生成新概念的必要性，数学概念既能满足实际生活的需求，又是数学学科本身自主发展的必然结果.如无法为学生建立起概念产生的背景，他们的学习就会迷失方向感，从而导致学习效果差强人意.因此，在概念建立伊始的教学课程中要注重培养学生体会概念产生的必要性，教学时要充分调动学生在现实世界中的相关经验知识，鼓励学生自主自发地参与到深入探究常识材料的活动中，在概念的实例和现实问题中体会数学，引导学生学习数学化，让学生“学数学、做数学、用数学”.

依照建构主义理论，学习实际上是新旧知识互相作用的结果，学习是每个学生在已有知识和经验的基础之上的主动的建构过程.在函数教学的诸多课时中，学生通过反复领悟两个变量间“对应”关系的过程，在收获函数知识的同时，也收获了探究过程所带来的“隐性知识”，即数学活动经验.课时设计的多个情境均运用了以往学习过的知识，但在教学中让学生不断地体会“两个变量的对应关系”是新问题、新知识.这种让学生在亲历函数概念的形成过程中引导他们主动建构函数概念的教学方式将让学生终身受益.

教学科研工作者李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也.”用以解题为主的教学方式替代以概念為主的教学方式严重背离了数学教育的初衷，许多教师的教学任务中并没有涵盖“解决本章节的主要问题、基本过程和主要思想方法”，令学生失去充分了解并概括数学概念本质及特点的机会.更令人忧虑的是长此以往，部分教师不懂得如何教学生以概念，学生对数学内容、方法及意义的不了解在某种程度上解释了目前学生花费大量时间精力在数学学习上的现象.

数学教学活动不应只将注意力聚焦在学习结果上，应更注重教学活动本身.不仅要看重学生所获取的知识及技能，也要激发和培养学生的学习兴趣，引导学生在参加数学活动中获取基本经验、领悟基本思想，帮助学生养成良好的学习习惯.核心素养应着重关注师生核心素养的生命价值立场，从课程理解力、开发力、实施力及研究力四方面增强教师的课程能力.教师要努力成为教学实践研究者，不断提升自身课程能力.

课程能力的提升则以对课程深入理解为前提.教师们应首先明晰核心素养的价值立场，才可以立足于教学质量的生命意义和价值立场来斟酌课程建设，将课程视作知识与学生成长历程的一次相遇过程，丰富了师生经验，促进形成教师自身独有的教学风格.在教学模式日益繁杂的今天，教师需要更强的教育信念与教学定力，全面理解并把握学科核心素养和价值立场，而不是机械地接纳，在教会学生主动钻研的学习方式的同时提高自身教学评价能力.

教师的发展是专业的发展，是一种建立于优化自身能力结构、增强自身适应性能力基础上的内涵发展.研究“人”是“教人”的前提条件，通过研究“人”从而掌握“人”的成长规律，这样才可能更好地育人.因此，教师的首要任务是研究自己和学生，而后是钻研学科本身.在钻研学科核心素养与育人价值的同时要关注资源配置和教学情境设计.这样，教师才能在培养学生数学学科核心素养的同时提升自身思维素养及专业能力.