小议新教材视角下数学建模的课堂环节

张玮

据悉2020年9月入学的浙江高一新生，将使用新版的人教版教材.之前笔者也参加过一些关于新教材的培训，对新教材也略知一二，总体感觉就是新老教材的差别很大.新教材中对于数学建模的教学加大了力度，增加了课时.数学建模是用数学的知识与方法将一个实际问题抽象成数学问题，通过建立模型来解决、解释和预测实际问题的过程.数学建模体现了数学来源于生活，并服务于生活，是数学应用的重要形式.数学建模还可以培养学生抽象概括、发现问题、提出问题的能力，提升学生的数学抽象、数据分析、数学建模的核心素养.如何上好一节数学建模课，对一线教师来说是一个巨大的挑战.

2019年10月22日、23日在浙江省杭州第二中学举行了高中数学教学评审及观摩活动.本次活动的主题为指向高中数学建模的教学设计与教学转型，同时在网络上进行了全程直播.活动给出了4个课题，分别是汽车停车距离、包装彩绳、茶水最佳饮用时间及体重与脉搏（其中茶水最佳饮用时间问题是新教材数学建模这块内容课本的例子）.每半天进行一个课题的同课异构，每个课题，笔者挑了2节课进行了观摩.

这次的活动给我们展示了使用新教材后，处理数学建模课的一种方式，笔者觉得受益匪浅.新教材中给出了6个环节，但是笔者以为可以细分为如下8个环节：①提出问题，即课堂引入;②分析问题，即影响结果的决定性因素有哪些;③收集数据，可以是实验获得，也可以是资料查得，但是要保证数据相对真实;④分析数据，通过适当的数据处理方式来获取数据的整体情况;⑤建立数学模型（下称模型），即选择适当的模型来拟合数据;⑥求解参数，通过信息技术，来获取待定的参数;⑦模型的检验、比较和优化;③预测未来或解决、解释实际问题.经过2天的观摩学习和交流，笔者就以上8个环节对数学建模课作了一些思考并整理成文.以下为叙述方便，把上述4个课题依次记为A，B，C，D组.

1提出问题

数学建模的课，主要是处理生活中的实际问题，学生理解的比较自然、顺畅.因此笔者以为引入要快，开门见山.C组中有教师利用诗人对杭州西湖的赞美以及远近闻名的龙井茶作为引入，笔者觉得非常好.一两句话，就将课题提了出来.B组中有教师用用了一张PPT来引出课题，并在视频中，具体操作对角捆扎，入题很直接.笔者认为也是一种比较好的提出问题的方式.

2分析问题

问题提出之后，就要提出解决方案.为了找到合适的解决方案，必须要考虑各种影响因素，影响因素不同，解决方案也会有所不同.从上课过程来看，这一块，学生完全可以自主思考完成，教师只是起到一个引导的作用.因此，笔者以为，这一环节，主体应该是学生，让他们充分的发言，尽可能的将影响因素都考虑完全.但是在高中阶段，由于学生在知识、条件、时间上的限制，只能考虑控制变量法，即不考虑次要因素，只考虑主要因素对结果的影响.例如在A组课题中，忽略空气阻力及车况的影响，只考虑了人的反应时间和刹车后是匀减速的情况;C组课题中，是探究在室内茶水的温度变化，也就是在不开风扇的情况下.

3收集数据

这一环节，要根据具体的课题而定，比如A组和D组的课题，就比较适合通过查阅文献和资料的方式获取数据，或者通过权威部门的实验来获取数据.而B组和C组的课题就比较适合当场做实验来获取数据.但是无论从哪种方式收集的数据，都必须要保证数据的真实性.

4分析数据

对数据的分析是数学建模的前提，可以选择从数据运算或图象的角度进行分析.例如新教材在指数函数的第一课时中就是从运算的角度分析数据;B组在分析数据的时候，也是用了数据运算的方法.而C组、D组就从图象的角度，即利用散点图，对数据进行了分析.散点图的优势就是直观，可以从图上直接得到数据的分布情况，比如单调性等.

5建立模型

在数据分析结束后，需要根据数据的情况选择适当的模型来反应实际情况.在这一环节中，对于不同的课题会有不同的处理方式.但无论选择哪种模型，都需要尽可能地符合實际情况，以便最终预测、解决或解释实际问题.由于高中阶段研究的函数主要有指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，因此选择模型的时候，我们一般会考虑在这些函数中选择，当然也包含了它们的线性组合.例如C组的数据在散点图上呈现出了一种递减的趋势，因此可以考虑指数函数或幂函数;B组则通过数据运算，建立了一个不等式的模型，从而使得问题可以继续深入;A组和D组的课题则有一些学科背景，此时我们在选择模型的时候，应该根据该课题所蕴含的学科背景，从理论上推导出合适的模型.比如A组的课题有物理背景，所以可以先从物理的角度推导出二次函数模型，然后再来验证优化模型;D组课题有生物背景，同样也可以通过严密的推导得出幂函数模型，再对模型进行验证优化.

在这个部分，笔者以为应该让学生多提想法，学生的思维具有一定的发散性，因此我们可能会得到不止一种模型.例如有学生提出可以用分段函数模型来进行拟合，这个想法很不错，对此我们应该给予肯定.对于模型的选择，没有对错，只要是合理的，教师都应该给予肯定和鼓励.

6求解参数

模型确定之后，就是求解参数的问题了，即对离散的点进行曲线拟合.从建立的模型和获取数据的个数的角度来看，求解过程都不可能由人工来完成，只能利用软件强大的计算功能来进行，比如Excel.Matlab等，因此我们只需要确定用什么样的方法来计算参数即可.从几位教师的课上来看，学生不约而同的选择了同样的方法，即把所有的数据分成几组，然后把每一组的参数都算出来，最后取各组参数的平均值，以此来作为模型中参数的值.这种方法虽然精度不够，但是有一定的道理，学生能想到应该给予鼓励.

在这环节，笔者有一点想法，就是在确定模型的时候，应该考虑绝大多数离散点的情况，而并非全部离散点的情况.因为在对实际问题采取数据时，会产生一定的误差，甚至有个别数据已经严重偏离了事物本身的规律，因此笔者认为，对于极个别严重偏离的点，应该删除，以减小模型的误差.例如在A组教学中，有一位教师用抓硬币的方式来测量了学生的反应时间.在6次试验中，学生抓住的硬币从下往上数的位置分别是11，5，5，5，5，1.笔者以为第1次和第6次，应该属于实验误差，在计算反应时间时，应该删除.

7模型的检验、比较和优化

在第5个环节中，可能有学生给出了2种不同的模型，因此在确定完参数之后，就要对多个模型进行检验，看哪个模型更接近于实际问题.另外还需要考虑最接近于实际问题的模型，是否还可以进行模型或参数上的优化.

先说检验单个模型的情况.对已经确定的模型，我们可以考虑再获取一些数据来对模型进行检验.例如在D组课题中，教师又提供了马的体重与脉搏的数据来对模型进行了检验.在C组课题中，我们也可以再继续进行测量5分钟，或10分钟之后的温度，来对模型进行检验.另外在检验过程中，如果实际值和模拟值存在偏差，还应该要解释偏差存在的原因.这一点，4组教师的教学中都有解释，但是并不完整.偏差的存在笔者认为应该有3方面：第一，建立的模型并非符合所有的数据，因此产生偏差;第二，在获取数据时，测量存在着误差;第三，次要因素对结果产生影响所带来的偏差.

在检验多个模型的过程中，还要比较模型的优劣.由于曲线拟合的优劣标准不唯一，可以说没有所谓的最优拟合，因此对于拟合模型的优劣性判断，我们只需要考虑误差是否满足要求即可，即模型是否更贴近实际问题.对于多个模型的优劣判断，一般情况下，如果从图形考虑就是离散点是否平均的分布在拟合曲线的两侧;从数据的角度考虑就是偏差是否相对较小，比如百分误差，残方差等.虽然最小二乘法是目前曲线拟合中，用的比较普遍的一种方法，但是笔者并不赞同一开始就用最小二乘法来进行曲线拟合.可以在判断优劣的过程中，通过适当的引导，得到最小二乘法.比如在A组教学中，对同一个模型，得到了两组不同的数据，即方案1和方案2.因方案2得到的拟合值和实际值的偏差较大，因此很自然地选择了差值较小的一条曲线方案1.但是教师似乎并不满意就此结束，于是追问学生，偏差值有正有负，有没有更好的办法让偏差值得到更好的体现.学生回答，可以把偏差值加上绝对值.教师继续启发，学生回答，可以考虑方差.由此就很自然地引出了最小二乘法.而在大多数的课中，学生都利用了平均值来代替拟合值，由于学生专业知识的限制，教师也并没有提出最小二乘法的概念，笔者以为这样处理也可以.

另外在不同的情况下，模型的优劣也会发生变化.比如在C组问题中，若考虑温度高于70度的情况，则选择指数模型更贴近实际情况;而在温度低于70度的情况，则选择幂函数模型更加贴近实际情况;若考虑整段的情况，则需要选择指数模型.因此在比较模型优劣的时候，需要考虑实际问题的具体情况，从而选择更好的拟合模型.

所以当得到的模型还不够精确的时候，我们可以重新回到第6个环节，去寻找一种更好的办法来求解参数;或者回到第5个环节，重新寻找一种更好的模型来贴近实际问题.

8预测未来或解决、解释实际问题

最后需要回归实际问题，也就是说，需要利用模型来解决或解释实际问题，甚至为以后将会发生的情况做出预测，以方便人们做出决策.例如A组教学中，有教师否定了2秒准则，从而提出了t秒准则;也有教师让学生解释了当速度为100km/h时，必须与前车保持100米以上距离的合理性.再如在C组教学中，也可以利用模型来解释为什么茶道的表演要规定在10分钟左右.

对于预测未来，新教材中在指数函数第一课时中的例子可以给出好的解释.当我们用数学建模刻畫出景区客流量的规律之后，就可以对今后几年的客流量进行预测，以方便人们做出相应的决策.

9一点反思

本次活动的4组课题通过数学建模处理了实际生活中的一些问题，实现了数学的有用性.因此笔者认为，数学建模的最大的实际意义在于将建模的结果应用于生活，指导我们在解决实际问题的过程中，能够更加科学.

由于一节课的时间只有40分钟，并且我们是在限制了很多可变因素的基础上进行了数学建模，同时学生在知识的储备上还没有完全到达真正数学建模的要求，因此要在一节课内进行完整的数学建模活动，显的有些仓促.由此笔者认为高中的数学建模课堂，重点在于让学生经历一个完整的数学建模过程，即过程的参与性和完整性，要让他们明白什么是数学建模，建模过程中要做哪些事情，从而为今后真正的数学建模打下坚实的基础.在课堂上，笔者以为教师应该要调动学生的积极性，让更多的学生参与到课堂中来，提出他们的观点和想法.只要是正确的观点和想法，教师就应该顺着学生的想法，继续走下去，哪怕得到的结果不是最好的，要让学生在学习和应用数学的过程中，发展数学学科的六大核心素养.

新课标要求教师尽可能地将数学思维的发生和发展过程充分的暴露在学生面前，吸引学生积极参与知识的再创造和发展的过程，让学生在数学课堂会话中验证，实现意义建构，进而实现“两个过程”的合理性，即数学知识发生发展过程的合理性和学生思维过程的合理性.之前李龙才老师在新课程培训的报告中也提到，在加强两个过程的合理性的同时，还要让学生经历完整的学习过程.所谓完整，是指我们应该要对多个实例进行观察、比较、分析，归纳出共性，抽象出（或提取出）本质特征.然后推理出性质，并建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结果，最后通过建模，解决数学内外的问题.