着眼数学建模 提炼解题思路

蒋昊

1问题提出

在普通高中数学课程标准中指出：学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.作为核心素养之一的“数学建模”，是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模素养在现实情境的基础上，构建数学模型，发展“四能”，达到“三会”.由此可见，课程标准十分注重学生应用数学模型解决实际问题能力的培养，以此激发学生自主思考，促进学生合作交流，提高学生学习兴趣.应用题教学是培养学生数学应用意识，提升学生數学应用思维，内化数学应用能力的重要抓手.不仅在课程标准中强调了数学的应用意识，在高考和各级的模拟考试中数学应用问题也是非常重要的题型之一.因此，研究数学应用题的教学是极其重要的.本文从一道高考数学模拟题入手，尝试阐述具有几何图形背景的应用题教学的实践和思考.

数学应用问题解决实质上是主体在数学元认知监控下，摆脱情节结构、建立并处理数量关系结构的一种数学认知活动.通常解题流程分为：“审题——建模——解模——还原”四个步骤（见图3）.其中“建模”和“解模”是解决应用题最为关键的两个环节，也是学生最无从入手的部分.例1是以江苏南通传统手工艺品风筝为问题情境，以图形为背景，以求值为目的的应用问题.本道题的第（1）问难度小，学生操作解决较为容易，文中不再剖析.而第（2）问是属于典型的“动态图形求最值问题”，相较第（1）问的静态求值问题难度较大.本课的教学重点即为帮助学生解决“建模”和“解模”的困难.

2.2追根溯源，寻找“动”因建模

在学生充分阅读题目，理解题意后，笔者针对第（2）问设计了下列一组问题：

问题1为什么点A'到AB会有距离的最大值？这是一个动态问题还是一个静态问题？

问题2追根溯源，导致A'到AB距离变化的“源头”是什么？

问题3对于变化的“源头”，能有办法刻画吗？

设计意图设计这组问题是让学生明了本题是个动态求值问题，A'到AB的距离是在变化的，因而才会涉及求距离最值问题.进而引导学生探究发现距离变化的“源头”.课堂教学中学生提出两类想法：有学生提出“是因为A'点位置的变化才导致A'到AB的距离变化，所以源头是点A'”.教师进一步引导学生思考如何引入参数刻画动点A'，建系设点A'的坐标为（x，y）的想法也就自然而然地迸发出来了，我们需要解决的就是y的最大值.至此就把一道实际的应用问题转化为解析几何模型.

课堂教学中有学生提出“是因为∠AEF的变化才导致A'到AB的距离变化，所以源头是∠AEF”.此时教师则可以引导学生考虑设∠AEF=θ，将参数θ引入进来，思考能否用θ来表示点A'到AB的距离，也就是将这道实际的应用问题转化为三角模型处理.

2.3紧扣图形，紧抓“定”性解模

问题4题中要求对纸张进行翻折，就数学本质而言这是哪类问题？

问题5前面已经分析过，“翻折”是个动态过程，在此过程中有固定不变的关系吗？

设计意图将实际问题转化为数学模型之后，教学中需要考虑如何帮助学生实现“解模”.在解模过程中，要引导学生紧扣图形，尽管是动态图形，还是要能够“动中取静”.引导学生在动态过程中，寻找到固定的性质，并以此为抓手突破解模.本题的“抓手”在于这是一个翻折问题，就其本质而言是一个“轴对称”问题，也可以理解为是一个“全等变换”问题.由此衍生出来的性质特征是能帮助学生解模的.设计这组问题能让学生明确本题动态变换的实质，基于不同角度观察都能发现固定不变的关系.从学生建立的解几模型出发，在翻折过程中点A与点A'关于直线EF对称是恒定不变的;从学生建立的三角模型出发，在翻折过程中△AEF≌△A'EF，即∠AEF=∠A'EF=θ是恒定不变的.这些关系都是解模的关键所在.当然，学生从中也能发现其他不变的关系，教师引导学生结合引入的参数从中甄别出有助于解题的不变关系，

基于上述两个维度的分析，从而形成了图4较为清晰的解题方案.

2.4实施方案，完善解题过程

在确定解题方案后，课堂上以独立实施方案的方式解答问题，并在各自完成解答的基础上进行小组合作交流，完善解题过程，从而形成以下两种模型的解题路径，为后续解法的迁移，积累活动经验.

3结语

数学模型是数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式.教学中，教师应注重思考情境和问题的设计，这是数学建模活动的支撑点.教师应让学生经历数学建模的全过程，从自己提出问题和假设，到自己建模，到自己运用数学方法和工具求解，再到自己解释结果.在此过程中，教师应引导学生如何开展建模活动，如何交流合作.教师不仅要关注建模结果，更要关注学习过程，要注重思考教学过程中的激励和学习评价.

本文重点对“几何图形背景”一类中“动态图形求最值”相关应用题的建模、解模的教学过程做了些探索，对于其他类型的数学应用问题我们也可以对其进行探究，尝试形成能帮助学生突破建模、解模困境的教学范式，引导学生感悟数学与现实世界的关联，积累数学活动的经验，增强创新意识和科学精神.