基于数学核心素养的数学建模案例教学

陈德燕

《普通高中数学课程标准（2017年版》（以下简称《课标》）在学科核心素养中指出：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.”“数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.”《课标》给出了数学建模核心素养的三个具体要素：对现实问题进行数学抽象的素养、用数学语言表达问题的素养、用数学方法构建模型解决问题的素养，数学建模的四个具体环节：发现和提出问题环节、建立和求解模型环节、检验和完善模型环节、分析和解决问题环节，简称“三要素”、“四环节”.

在数学建模教学中，落实“四环节”是形成和发展数学建模核心素养“三要素”的路径与方法，是达成与发展数学建模核心素养的关键.下面就数学建模教学中“四环节”的落实谈谈个人的体会.

1发现和提出问题

发现和提出问题的本质是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题.为引导学生感悟将现实问题进行数学抽象，进而实现用数学的语言与方式表达现实问题的方法，积累发现和提出问题的经验，在选择数学建模素材（或问题）时，应注意选择具有一定的现实性、模糊性、开放性的问题.

案例 木板支架的最大承受力

建筑工地上经常用一块木板搁在两个支架上，建筑工人在木板上行走或操作.如何估算该木板支架的最大承受力？

分析由于数学建模问题具有现实性、模糊性的特点，因此，数学建模的首要问题是将现实世界的问题简化为现实的模型.

为此引导学生考虑影响木板支架承受力的因素（变量），并选择关键因素（变量）进行研究.经过讨论，在考虑是同一种材质木板的前提下，将影响木板支架承受力的关键变量确定为：两个支架间的距离、木板的宽度、木板的厚度，分别用d，a，h表示.记M为该类型材质木板支架的最大承受力.则问题转化为研究变量d，a，h，M之间的关系，即寻找d，a，h与M之间的函数关系.这样通过对现实问题的数学抽象、进而用数学的语言与方式表达问题，实现将实际问题向数学问题方向的转化.

2建立和求解模型

数学模型的建立离不开数据与数据的收集.由于工具缺乏以及课堂时间的原因，数据收集成为一个数学建模的一个“堵点”、“难点”，但就数学建模而言，这一环节是不可或缺的.考虑到课堂教学的实际情况，笔者对这一“堵点”采取师生共同讨论需要收集哪些数据以及收集数据的方式，然后展示“收集”到的数据.

案例中，为突破多变量难点，引导学生回归到现实问题展开思考：根据生活经验，在两支架间距离d不变的情形下，显然木板支架的最大承受力M与木板的宽度、木板的厚度有关.如果进一步固定木板的宽度（或厚度），那么木板支架的最大承受力M就只与木板的厚度（或宽度）有关了.受此启发，我们在确定它们之间的关系式时，先固定d，a，h中的两个变量，找出余下变量与M之间的关系式，再综合得到这三个变量与M之间的关系式.

d=2，h=0.2时，经过试验测得M的值如表1所示;d=2，h=0.2时，经过试验测得M的值如表2所示;d=2，h=0.2时，经过试验测得M的值如表3所示.（d，a，h的单位为m，M单位为kg）

若能够独立或通过小组讨论完成本案例解答的各个过程，包括对现实问题的数学抽象、数据采集、数据分析、建立和求解模型、验证与修正模型、并能够对模型在实际应用时提出建议，则可以认为达到数学建模素养水平3的要求.

数学建模教学首先应让学生体验数学建模的全过程，感悟用数学建模解决实际问题的“套路”.上述案例的教学就很好地使学生体验与经历了数学建模的全过程：（1）发现和提出问题，实现实际问题的数学化.通过对现实世界问题的简化得到现实的模型，进而对实际问题进行数学抽象，实现用数学的语言与方式表达实际问题（将木板支架的最大承受力这一现实问题转化为研究木板支架的最大承受力M与两支架间距离d，木板宽度a，木板厚度h之间的关系问题，将问题演变为寻找d，a，h，M四者之间的关系）.（2）数据的收集与分析，建立与求解模型.（3）模型的修正与检验.（4）模型的解释与实際问题的解决.

其次，数学建模是一种思维的方式，仅仅是从理论上学习数学建模的思想和方法，而不借助于具体的案例和素材动手实践是达不到形成和发展数学建模素养要求的.在开展数学建模活动中，可采取“短问题与长问题”相结合的方式.“短问题”指可以在课堂内完成、或课后30分钟左右可以完成的建模问题，一般为数学建模活动的一部分，如本案例中略去数据“收集”环节以适合于课堂教学与课后随堂作业.“长问题”指适合于学生在数周或假期等较长的一段时间内独立或小组合作共同完成的建模问题.如，调查了解在各时间段从你家到学校的通勤时间（或你家到机场、动车站等），以便规划你的行程，就属于“长问题”，本文的案例也可以作为“长问题”.在“长问题”中应要求学生写出研究报告并对研究报告的形式与内容提出规范的要求.