改进的A-FAP图像去噪算法

刘巍巍，李海新

(沈阳工业大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110870)

0 引 言

在处理材料图像时[1]，国内外学者提出几种典型的去噪算法，如文献[2]中的巴特沃斯高通滤波去噪，文献[3]中的维纳滤波去噪，文献[4]中的多方向的加权均值滤波去噪以及文献[5]小波变换的图像去噪研究等，以上算法对图像进行了不同程度的去噪，但是这些去噪算法的掩模模板均为整数阶积分，在去噪的同时造成了图像边缘和纹理细节的缺失。

近年来，分数阶微积分在图像去噪上成为一个新的研究热点[6,7]。文献[8,9]采用Grünwald-Letnikov分数阶微积分掩模去噪，虽然可以保留部分纹理细节，但是整幅图像的噪声点未能精确去除；文献[10]提出的分数阶Alexander多项式去噪算法，能较好保留图像的纹理信息，但该算法利用自定的微积分阶次，在处理不同类型的噪声时，只能根据同一阶次的频率特性曲线，难以达到优良的去除噪声效果。

本文提出改进的A-FAP图像去噪算法，通过分析原始图像的灰度值，调定去噪的微积分阶次，利用构造的自适应分数阶Alexander函数(adaptive fractional Alexander polynomials，A-FAP)滤波器对图像进行去噪，使处理后的图像具有清晰的视觉效果，对图像的弱边缘和纹理细节信息的显现具有明显优势。

1 问题描述及算法流程

材料图像在传输过程中受到信号和设备的干扰，极易产生高斯、椒盐和乘性噪声，从而造成图像失真和模糊，图像边缘和纹理细节信息的缺失则会导致色偏现象的出现。本文提出改进的A-FAP去噪算法，通过建立去噪模型，构造A-FAP掩模模板对图像进行去噪，利用小波反变换对图像进行重构，得到去噪后的图像。本文算法的过程如图1所示。

图1 A-FAP算法去噪流程

2 去噪模型的建立

2.1 建立二维离散小波变换模型

小波变换在处理大小为M×N的图像时，通常根据规范正交基函数，将小波级数进行展开，展开为二维尺度空间函数和二维小波空间函数；具体展开形式如下

(1)

(2)

对受到噪声污染的lean图像，采用二维离散小波进行二层展开，如图2所示；其中J2是低频分量，通过分级滤波和沿横纵方向的双重提取获得；H1、H2、V1、V2和D1、D2表示水平、垂直和对角线上的高频分量系数。尺度空间函数二层展开k的近似J2是图像的高尺度、低频分量，小波空间函数中的i的二级分解为H2、V2、D2、H1、V1和D1是低尺度、高频分量。因为噪声属于高频信号，通常存在于高频分量中。

图2 二维离散小波的二级展开

2.2 建立Alexander分数阶微积分(Alexander fractional，AF)模型

2.2.1 Alexander函数

(3)

式中：lm为正整数。

2.2.2 分数阶微积分函数

当v>0时，函数s(t)的分数阶微积分为

(4)

当0

(5)

3 自适应分数阶Alexander滤波器的构造

3.1 Alexander分数阶微积分掩模的构造

为保持图像的边缘信息，进一步丰富图像纹理细节，更好抑制噪声，对式(4)、式(5)进一步推导；α=0时

(6)

(7)

基于Mittag-Leffler函数的定义参见文献[6]，结合Alexander函数(3)，根据式(6)、式(7)得出分数阶微分算子(AFD)和分数阶积分算子(AFI)的两个掩模窗口系数。

分数阶微分算子(Alexander fractional differential，AFD)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

分数阶积分算子(Alexander fractional integral，AFI)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

图3 分数阶掩模模板

3.2 自适应函数阶次的构造

图像的边缘和纹理信息主要与图像结构特征(图像梯度)、图像统计信息特征(信息熵)和图像差异特征(对比度)有关，因此利用以上3个特征构造自适应分数阶函数，确定分数阶微分阶次。

图像梯度(G)体现了图像灰度频率特征，判断图像纹理信息是否丰富；图像在灰度点(x，y)处的梯度是对该图像离散小波模型的微分，具体表示为：G[f(x，y)]=[∂f/∂x,∂f/∂y]；为计算方便，定义梯度模值为

|G|=max{|Gx|,|Gy|}

(20)

信息熵(S)是表征图像灰度信息量的频率变化，S较小时，图像表现为平滑区域，反之，则为边缘和平滑区域。表达式为

(21)

式中：pij表示为灰度点(x，y)在分量展开区域中出现的概率。

对比度(C)表现图像灰度差异性的特征，图像灰度差异性显示图像的清晰度、纹理度，即图像越清晰，纹理细节越明显，C越大，反之，C越小。其公式为

(22)

式中：σ为图像灰度值的标准差，u2为图像灰度的中心距离。

因此，分数阶微积分算子根据以上3个特征参数进行自适应的变化，本文对二维离散小波分解后的图像进行去噪，高噪声密度区域主要集中在高频区域；因微分阶次随G、S、C的增加而增加，所以本文利用指数函数的性质，构造阶数v与f(G,S,C)之间的函数关系。

即

v=ef(|G|,S,C)-b

(23)

为突出掩模中心点的纹理细节，增设一个平衡系数β，式中，f(|G|,S,C)=lG+mS+nC+β，表示对梯度、信息熵和对比度的加权求和。其中l+m+n+β=1，l,m,n分别表示为梯度加权系数、信息熵加权系数和对比度加权系数。

对于分数阶阶次函数v=ef(|G|,S,C)-b，设：φ=f(|G|,S,C)，即v=eφ-b,φ∈[0,1]；对分数阶次函数进行求导，v′=eφ>0，函数在区间[0,1]内>0，函数为增函数，即vmin=1-b,vmax=e-b。

为保证v∈[0,1]，b的取值范围为[1,e-1]，保持去噪效果的稳定性，本实验b取中间值1.35。

4 仿真实验及结果分析

4.1 仿真实验

为验证本文算法的去噪性能，选取标准库中受到高斯、椒盐和乘性噪声污染的256×256的原始lena图像，在操作系统为Windows7，处理器为inter-COREi3-3217 CPU，内核为1.80 GHz，RAM2.00的条件下，通过软件MATLAB 2013a进行去噪处理。仿真实验的具体分析过程如下：

(1)对受到噪声污染的图像进行二层级数展开，得到高、低频分量系数；

(2)对低频分量系数采用AFD模板进行处理，最大限度保留低频图像的边缘和纹理信息；

(3)对高频分量系数(水平、垂直、对角)运用构造的分数阶函数自适应确定去噪阶次，采用AFD和AFI掩模模板相结合的方案进行处理，即可以显现高频图像的边缘和纹理信息，又可以最大程度抑制噪声；

(4)对处理后的分量系数进行重构，得到去噪后的图像。

4.2 结果分析

对处理后的lena图像，采用PSNR和SSIM对算法进行性能评价。其定义参见文献[12]

(24)

(25)

式中：Ii,j是像素点为256×256的原始lena图像，Ki,j为去噪后的图像，u1,u2分别为Ii,j,Ki,j的均值，σ1,σ2分别表示Ii,j,Ki,j的方差，σ1,2表示Ii,j,Ki,j的协方差，为保持系统的稳定性，引入定量常数c1=0.01,c2=0.02；其PSNR越高，SSIM越大，表示图像的去噪效果越好。

采用3组实验验证本算法的去噪效果，分别利用巴特去噪、维纳去噪、均值去噪、小波去噪、分数阶积分去噪和A-FAP图像去噪算法对高斯噪声、椒盐噪声、乘性噪声进行去噪。

第一组(图4)对加入高斯噪声(噪声中有均值u1=u2=0，方差σ1=σ2=0.02，协方差σ1,2=0)的lena图像进行去噪效果的验证，并与其它算法进行对照，去噪结果分析如图4所示。

图4 不同算法对受到高斯噪声的处理结果

图4(a)为初始lena图像，图4(b)是加入高斯噪声的图像。图4(c)～图4(f)是对加入高斯噪声的图像，通过传统方法进行去噪[1-5]，对高斯噪声的处理有一定的抑制作用，但是易造成lena图像的面部、头发和帽檐边缘部分出现模糊现象。图4(g)为分数阶积分去噪，根据文献[11]利用梯度检测噪声点，运用分数阶积分模板进行去噪，图像的边缘细节得到了部分显现，整体的去噪效果有所欠缺，显现出一种模糊现象。利用本文算法去噪的结果如图4(h)所示，该算法抑制了大量的噪声，保留了图像的边缘和纹理细节，使lena图像的面部、头发和帽檐边缘部分清晰显示出来。

此外，从表1中的PSNR值和SSIM值可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它每个算法，相对于其它算法的平均值提高了2.286 dB、0.123，这从客观说明了本文算法对高斯噪声去噪效果的良好性。

表1 各算法对高斯噪声去噪后的PSNR和SSIM

第二组(图5)对加入椒盐噪声(其噪声概率为0.2，u1=u2=0.01，方差σ1=σ2=0.03，协方差σ1,2=0.01)的lena图像进行去噪效果的验证，并与不同算法进行对比，去噪结果分析如图5所示。

图5 不同算法对受到椒盐噪声的处理结果

图5(a)为原始图像，图5(b)是被椒盐噪声污染的lena图像。图5(c)～图5(f)为传统去噪算法，其中巴特去噪[2]和维纳去噪[3]对噪声的抑制能力较弱，均值去噪[4]和小波去噪[5]对椒盐噪声有一定的抑制作用，但是整幅图像的边缘和纹理细节较为模糊。图5(g)为分数阶积分去噪[12](阶次为v=0.52)，图像边缘和细节信息得到了很好的凸显，但是由于缺乏梯度的自适应阶次判别，其噪声点未能很好的去除。本文算法的去噪结果如图5(h)所示，对于图像的纹理细节有较好的保留，对噪声造成的模糊边缘有针对性的去除，从图像的清晰度和视觉感知上较其它算法有了明显的改善。

同理，对比表2中的数值可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它每个去噪算法，相对于其它算法的平均值提高了4.707 dB、0.108，这从客观说明了本文算法对椒盐噪声去噪效果的优越性。

表2 各算法对椒盐噪声去噪后的PSNR和SSIM

第三组(图6)对加入乘性噪声(u1=u2=0，方差σ1=σ2=0.04，协方差σ1,2=0)的lena图像进行去噪效果的验证，并与其它算法进行对照，去噪结果分析如图6所示。

图6 不同算法对受到乘性噪声的处理结果

图6(a)为初始图像，图6(b)为加入乘性噪声的lena图像。图6(c)～图6(f)是采用传统滤波器进行乘性噪声去噪的结果图，其中巴特算法[2]对乘性噪声抑制作用较弱，维纳算法[3]、均值算法[4]和小波算法[5]对乘性噪声有一定的抑制能力，噪声得到了很好的去除，但是对于lena图像面部纹理细节和发丝的边缘细节未能得到较好的保留，造成局部模糊的现象。图6(g)是运用分数阶积分[13]对乘性噪声进行去噪的结果图，由于该算法对乘性噪声点的去噪能力有限，虽然对于发丝的细节有所保留，但是该图整体较为模糊。图6(h)为本文算法去噪，根据图像的灰度情况，自适应的确定积分阶次，抑制了大量的乘性噪声点，并对图像面部、发丝的纹理和边缘细节得到了保留。

通过比对表3中的结果可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它算法，相对于其它算法的平均值提高了2.259 dB、0.070，进一步说明了本文算法对乘性噪声去噪的性能高于其它算法。

表3 各算法对乘性噪声去噪后的PSNR和SSIM

5 结束语

本文提出改进的A-FAP图像去噪算法，通过图像的梯度、信息熵和对比度的参数变化，判断去噪的微分阶次，配合高低频二级展开的分量系数，针对性地抑制大量噪声点，利用构造的AFD、AFI掩模算子，对图像进行自适应去噪。仿真结果表明，本文提出的算法对比与其它各类型的算法，从视觉感知和性能评价上显现出本文算法的去噪效果，其抑制噪声的能力突出，保持图像纹理细节和边缘信息上具有优势，得到的PSNR值和SSIM值高，从而验证了本文算法在对高斯、椒盐和乘性噪声去噪方面的准确性和优越性。