注重数学思想渗透,提高数学法则教学质量——以“幂的乘方”教学为例

重庆市合川太和中学(401555) 陈开龙

重庆市合川瑞山中学(401520) 余晓君 罗 菊

数学运算, 是高中数学的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六大核心素养[1]之一.教会学生数学运算, 是中学数学教学最重要最基本的要求.章建跃博士强调,运算是数学的“童子功”. 学生只有练好了运算“童子功”,才能提高数学成绩. 而数学运算又依赖于数学运算法则,于是数学法则教学就成为培养中学生数学运算能力的关键.

那么,如何有效地开展数学法则教学呢? 我们认为,数学法则教学要注重数学思想渗透,突出法则教学的“思想味”[2],“将法则的学术形态转化为教育形态”[3],在法则的引出与形成过程、与所学法则的比较、法则的直接运用与活用等教学环节,让学生体会法则的实质,把法则学活用活,从而提高法则教学质量. 本文,我们以初中“幂的乘方”教学为例,谈谈数学法则教学渗透数学思想的途径与方法.

1 在法则引出中渗透数学归纳思想

数学法则的引出和形成过程,可以从旧知识逐步过渡到新知识,从特殊到一般、从具体到抽象去设计法则引出的问题串, 让学生在解答问题串的过程中自然地引出数学法则,从而渗透归纳思想等数学思想,培养学生数学归纳能力等能力.

例如,幂的乘方法则“(am)n=amn”的引出和形成过程,可这样设计:

问题串: 请同学们用前面学过的知识填空:

(1)23=____×____×____;

(2)(32)3=____×____×____=____;

(3)(a2)3=____·____·____=____;

(4)(am)3=____·____·____=____(m 是正整数);

(5)猜想(am)n=____(m,n 是正整数);

(6)验证你的猜想:

(7)用文字叙述你的结论:________________________.

这里,从学生学过的乘方法则出发,设计了七个问题组成的问题串. (1)题以简单的计算复习乘方法则,(2)(3)题进一步拓展乘方运算,(4)题过渡到幂的乘方运算,(5)题猜想出幂的乘方法则,(6)题验证猜想出的幂的乘方法则,(7)题用文字叙述幂的乘方法则. 这样设计,突出了学生学习主体,让学生在做中学、做中悟,经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动,有利于培养“四基”(基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)[4].

在上面问题串中,幂的底数由2 →32→a →a2→am,幂的指数由3 →n,既渗透了用字母代替数、代替其它字母和代数式的代数思想,又渗透了从特殊到一般、从简单到复杂、从旧知识到新知识的数学归纳思想,以及“先猜后证”的数学思维方式. 这样,学生经历了幂的乘方法则的形成过程,理解其内涵,有利于提高法则教学质量.

2 在法则比较中渗透数学类比思想

俗话说,有比较才有鉴别. 数学教学就是要多进行比较教学、类比教学,帮助学生厘清相关数学知识的区别与联系,有利于形成知识网络,把知识学得更牢. 因此,在新法则教学过程中,我们要有意识地将新法则与学过的法则进行比较或类比,把新法则运算融入到所学法则的混合计算中去,让学生在对比和类比中深度学习.

2.1 与所学法则比较

表1 幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则比较

学生刚学习幂的乘方法则,很容易和前面学的同底数幂的乘法等法则混淆,为突出该重点和突破该难点,可采取列表的方式进行对比教学.

这里,表格式比较,内容具体、对比性强,有利于学生区分法则. 比较内容涉及两个法则的运算式子、运算结果、幂的底数和指数的变化,便于学生理解和记忆.

2.2 与所做习题比较

新法则教学,我们要有意识地设计一些与所学法则容易混淆的判断题或混合计算题,让学生在运算中进一步理解法则,能检验学生是否理解了所学法则.

例1计算: (1)(−x)7·2(x4)3;(2)(y3)2+(y2)3−2y·y5.

这里,(1)题综合考查学生对乘方法则、同底数幂乘法法则和幂乘方法则的理解,通过解答,让学生明白什么时候幂的指数相加、相乘. (2)题综合考查学生相同幂的合并、同底数幂乘法法则和幂的乘方法则,通过解答,让学生明白什么时候幂的系数相加减,什么时候幂的底数、指数不变,什么时候幂的指数相加、相乘.

这样,通过设计法则的混合运用,强化了学生对所学多个法则的理解,从而主要渗透数学知识对比与数学类比思想.

3 在法则运算中渗透数学整体思想

整体思想,是代数学习中常用的一种数学思想方法与技巧. 例如: 求某些条件代数式的值常用到整体代入;求某些含有多个条件等式的代数式的值,有时将多个等式进行整体相加(相减、相乘、相除)运算. 在求代数式值的过程中,通过整体代入、整体求解、整体设元、整体运算等教学,从而渗透数学整体思想.

3.1 整体代入

整体代入,就是将某个代数式当作一个字母(整体),将它的值代入到所求代数式中去计算. 简单地理解,整体代入就像把行囊“打包”拎走那样.

例2已知10m=3,10n=2,求下列各式的值:

(1)103m;(2)103m+2n.

这里, 把已知中的10m和10n当作一个数(整体) , 将(1)题中的103m向已知转化,变形为(10m)3,再把10m的值代入即可. 将(2)题中的103m+2n向两个已知转化,变形为(10m)3×(10n)2,再把已知整体代入即可.

本题,我们并不去求出m 和n 的值,而是通过将所求代数式进行整体构造,使之与已知条件关联,然后把已知整体代入式子求解,该过程主要渗透了整体代入思想.

3.2 整体运算

整体运算,就是将某个或某几个代数式当作一个整体进行运算. 在整体运算中渗透数学整体思想.

例3计算: (1)(2)[(x −y)2]3.

(1)题计算有两种思路: 一是由内向外依次去括号计算,两次运用幂的乘方法则计算得出结果;二是由外向内依次去括号计算,先把(a2)3当成一个幂(整体),用幂的乘方法则计算,接着再进行幂的乘方运算. (2)题直接将底数x −y 这个多项式当作一个字母(整体),直接用幂的乘方法则计算.在本题教学中,主要渗透了整体运算思想.

4 在法则活用中渗透数学转化思想

数学转化思想,就是将数学问题变成学过的数学问题解决、复杂数学问题变成几个简单数学问题解决. 转化思想是我们解答数学题的重要思想方法. 解答数学问题的过程,就是一个将所求解问题不断地进行转化的过程,最终把所求问题化为容易问题而加以解决. 就幂的乘方法则而言,在灵活运用法则过程中,通常要转化幂的底数或指数,从而渗透数学转化思想.

4.1 转化幂的底数

例4计算: (p −q)3[(q −p)3]2.

乍看,本题两个幂的底数不同,无法计算. 但引导学生仔细观察发现,两个底数是互为相反数的,我们只要改变两底数中任何一个底数的符号,式子便转化为同底数幂乘法和幂乘方的混合运算,从而渗透数学的转化思想和整体思想.

4.2 转化幂的底数和指数

例5已知2x+3y −7=0,求4x·8y的值.

乍看,本题已知和所求式子毫不相干. 引导学生仔细观察和分析发现,方程2x+3y −7=0 和4x·8y中的字母、系数、底数有着内在联系. 通过逆用幂乘方法则和同底数幂乘法法则,将所求式子4x·8y朝着已知条件转化,去改变换幂的底数和指数: 4x·8y=(22)x·(23)y=22x·23y=22x+3y,再把已知化为2x+3y =7,整体代入即可.

通过本题教学, 我们既培养了学生的逆向思维与能力,又渗透了转化思想和整体构造、整体代入等数学思想方法.

5 在法则逆用中渗透数学分类思想

数学法则多以等式(公式)形式出现,具有可逆性. 比如,将幂的乘方法则倒过来写,得到amn= (am)n= (an)m(m,n 为正整数) . 这里, 积相等的两个指数不确定, 如312 =(31)12=(32)6=(36)2=(33)4=(34)3等. 正是这种不确定性,在解答过程中渗透了数学分类思想.

例6小明和小华比较3500,4400,5300的大小. 小明说:“因为3500的指数最大,所以3500的值最大”;而小华却不服气地说:“因为5300的底数最大,所以5300的值应该最大.”同学们,他们俩谁说得对呢?

本题属大数的大小比较问题,无法硬算,难度较大. 引导学生探究发现,将幂的底数和指数分别进行整体构造转化能够求解. 这里, 有两种构造转化思路: 一是将三个幂化成同底,去比较指数大小;二是将三个幂化成同指数,去比较底数大小. 因三个底数3、4、5,既有奇数又有偶数,我们不能将其转化成同底数的幂,于是只能通过化同指数来解决.

那么, 三个指数500、400、300 向哪个正整数转化呢? 显然, 只能找其公约数, 如100, 50, 10, 5, 2 等. 于是, 将3500, 4400, 5300转化成(35)100,(44)100,(53)100, 即(243)100,(256)100,(125)100. 这样,只需比较三个底数的大小即可. 很显然,小明和小华均没说对,是4400最大.

这样,通过本题教学,我们重点渗透了数学的分类思想和转化思想.

6 结束语

以上,我们从数学思想视角出发,以初中“幂的乘方”教学为例, 探讨了数学法则教学渗透数学思想的途径与方法,这对我们的中学数学法则教学和提高课堂数学教学质量具有一定的参考价值和教学指导作用. 在这里,我们还特地说明三点: 一是数学思想渗透须有载体. 我们不能仅在一节课最后小结时生硬地、轻描淡写地说出本节课涉及到了哪些数学思想,而要在数学法则的引出、比较、运用等教学过程中有机地渗透数学思想,让学生真正地体会数学思想,真切感受到数学思想的重要性. 这是因为,数学思想是对数学知识的本质认识,是高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法[5],它不同于配方法、换元法等具体方法学生容易接受,重点要让学生去体会才行. 二是数学思想的教学不能一蹴而就,需要我们在平时教学中不断渗透,让学生不断接受数学思想的熏陶, 培养学生在数学思想指导下解题的习惯,从而提高数学教学质量. 三是为行文方便,在法则教学的每个环节,我们重点探讨了一种数学思想渗透,但这并不意味着各环节只能渗透一种数学思想,而实际情况恰恰相反,一个教学环节往往渗透着多种数学思想.