一种基于区间值Pythagorean 三角模糊语言集的多准则决策方法

丁雪枫, 钟俊慧

(上海大学管理学院, 上海 200444)

由于现实决策问题的复杂性以及存在的诸多不确定性因素, 难以用精确的数值对其进行描述.因此, 很多学者引入模糊不确定语言描述不确定信息.1965 年, Zadeh[1]提出了模糊集的概念.随后, Atanassov 等[2]考虑了隶属度和非隶属度, 提出了直觉模糊集.2014 年,Yager[3]扩大了隶属度和非隶属度的空间范围, 提出了勾股模糊集.但这些模糊集只能粗略表示隶属度与非隶属度某一特定的模糊概念[4].Liu 等[5]于2017 年提出了基于不确定语言变量和Pythagorean 模糊集的勾股模糊不确定语言变量, 从定性评价与定量分析相结合的角度对不确定性和模糊性进行描述, 解决了有些定量数字不能完全表达决策者评价意见的问题.2018 年, 杜玉琴等[6]提出了勾股三角模糊语言集, 扩展了隶属度与非隶属度满足的约束条件, 使得决策过程更加灵活.但是, 综合评价的研究对象存在一定模糊性, 勾股三角模糊语言集通过点值表达隶属度和非隶属度, 使得表达决策者评价信息时存在一定局限性.与点值相比, 区间不确定信息的数据形式被认为可以更加精确地表达决策者的偏好[7], 描绘数量差异情况更为直接与合理, 更符合综合评价的实际情况.为了进一步提升表达决策者偏好的精确程度, 更大限度地保留原始信息的完整, 本工作结合区间不确定语言值[8]和勾股三角模糊语言集的优势定义了一种新的模糊集——区间值勾股三角模糊语言集(interval-valued pythagorean triangular fuzzy linguistic set, IVPTrFLS), 并研究了区间值勾股三角模糊语言变量(IVPTrFL variable, IVPTrFLV)的基本理论, 包括运算法则、Score 函数、Accuracy 函数、距离公式等; 并针对IVPTrFLV的语言集成问题, 进一步提出区间值勾股三角模糊语言优先加权(IVPTrFL prioritized weighted arithmetic averaging, IVPTrFLPWAA)算子.

基于区间的综合评价(combinative distance-based assessment, CODAS) 方法是由Ghorabaee 等[9]提出的一种用于求解多准则决策的方法.该方法基于负理想解决方案, 通过Euclidean 距离和Taxicab 距离的组合, 衡量备选方案的总体绩效并对各方案进行排序.目前, CODAS 方法被用于求解细分市场评估[10]、航空航天材料选择[11]等问题.传统的CODAS方法适用于解决方案评价值为具体数值的多准则决策问题, 但是在实际的复杂决策环境中,考虑到时间和成本等因素, 决策者往往很难给出各方案在所有准则下的具体评估数值.一方面考虑到CODAS 方法在求解多属性决策问题中只需考虑负理想解决方案的简便性, 另一方面为帮助决策者做出更符合现实的决策, 提升决策结果的准确性, 本工作提出了一种基于IVPTrFLS 的改进CODAS 方法求解多准则决策问题, 并通过实例计算验证了该方法的有效性和稳定性.

1 区间值勾股三角模糊语言集

1.1 基本定义

假设S={si|i=0,1,··· ,g −1}是由一组有限且有序的元素组成, 其中g为奇数,si表示一个语言值, 则si(i=0,1,··· ,g −1)称为一个语言变量[12].

定义1假设X为一给定的非空实数集,分别表示隶属度的下限与上限,表示非隶属度的下限与上限,表示x对于的犹豫度, 其中的下限与上限, 则IVPTrFLS为

对于任一x ∈X, 都有

(x)越小, 表示关于x的信息越多, 评估越精确; 反之亦然.为了简便, 称

为一个IVPTrFLV.

定义2设=为任意2 个IVPTr-FLV,λ≥0, 则IVPTrFLV 的运算法则如下.

设和是任意2 个IVPTrFLV, 其运算性质如下:

(3)

(4)

限于篇幅, 运算性质(1)∼(7)的证明过程略.

定义3假设为一个IVPTrFLV,表示的Score 函数,表示的Accuracy 函数, 则S(︵p),A(︵p)的计算公式如下:

定义4设为任意2 个IVPTr-FLV, 则间的Hamming 距离、Euclidean 距离和Taxicab 距离分别为

令

则有

则有

1.2 IVPTrFLV 集成算子

1.2.1 PA 算子

定义5[13]假设实数集合(p1,p2,··· , pn)之间具有优先级, 其中p1≻p2≻··· ≻pn(“≻”表示“优于”),pi为第i个准则下的评价值, 且满足pi ∈[0,1].若有

Ti=则称PA函数为优先加权(prioritized averaging, PA)算子.

1.2.2 IVPTrFLPWAA 算子

定义6设若

Ti=的Score 值, 则称I函数为IVPTr-FLPWAA 算子.

定理1假设|i=1,2,··· ,n}是一个IVPTrFLS, 则IVPTrFLPWAA 算子仍然是一个IVPTrFLV, 且满足

式中:的Score 函数值.

证明 (1) 当n=2 时, 根据IVPTrFLVs 的运算法则与性质可得

所以, 当n=2 时式(8)成立.

(2) 当n=k时, 假设公式(8)成立, 则有

(3) 当n=k+1 时, 有

所以, 当n=k+1 时, 式(9)成立.

综上可知, 对于任意的n, 式(9)均成立.又因为

且

所以, 有

因此, IVPTrFLWAA 也是一个IVPTrFLV, 故定理1 成立.证毕.

定理2假设|i=1,2,··· ,n}是一个IVPTrFLS, 则IVPTrFLPWAA 算子具有以下性质.

(2) 有界性.假设

则有

证明 (1) 由定义6 和IVPTrFLV 的运算性质(4)可得

(2) 由于

则有:

根据定义3 可得

于是, 由定义3 和I算子的幂等性可得

因此,同理可得,

2 IVPTrFL-CODAS 方法

2.1 问题描述

对于多准则决策问题, 假设备选方案集合为A={A1,A2,··· ,Am}, 准则集合为C={C1,C2,··· ,Cn},wj(j=1,2,··· ,n)为第j个准则的权重, 满足w1+w2+···+wn=1, 决策者集合为D={D1,D2,··· ,Dt}.专家Dk(k=1,2,··· ,t)对方案Ai(i=1,2,··· ,m)在准则Cj(j= 1,2,··· ,n)下采用IVPTrFLV 进行评价, 得到IVPTrFL 评价矩阵其中表示标准化群决策矩阵,︵R为加权标准化群决策矩阵,ns=[nsj]1×n表示第j个准则下的负理想解决方案,Ra=[hik]n×n表示相对评价矩阵,Hi表示第i个方案的评价值.决策目标为在所有备选方案中选出最优方案.

2.2 决策方法

CODAS 方法是一种通过Euclidean 距离和Taxicab 距离衡量评估方案总体绩效的排序方法[9], 其基本思想为: 在2 个无差异空间l2和l1中计算方案与负理想方案之间的Euclidean距离和Taxicab 距离[1], 如果方案在无差异空间l2中无法进行比较, 则在无差异空间l1中计算Taxicab 距离, 并通过2 种距离的组合形式对方案进行排序.若与负理想方案之间的距离越大, 则表示方案越好.与现有方法相比, CODAS 法在评估过程中只基于负理想方案, 无需考虑正理想方案[10].这里, 提出了一种基于IVPTrFLV 的改进CODAS 法——IVPTrFL-CODAS方法, 具体过程如下.

式中:

阶段2 计算准则权重重要性系数:

式中:w∗=max{w1,w2,··· ,wn}为参照权重;为准则j的权重重要性系数.

阶段3 采用CODAS 方法确定最优方案.

步骤2 确定负理想方案ns=[nsj]1×n, 其中

步骤3 计算与nsj之间的Euclidean 距离Ei和Taxicab 距离Ti.

令

则有

令

则有

步骤4 构建相对评价决策矩阵Ra=[hik]n×n, 其中

式中:

τ为阀值参数, 通常取值为0.01∼0.05[9].如果2 个备选方案之间的Euclidean 距离差异小于τ,则需要通过Taxicab 距离比较2 个方案[9].经过验证, 当τ= 0.02 时, 计算结果与原始数据最接近[10].

步骤5 计算每个方案的评价值Hi:

步骤6 根据Hi值的大小, 对方案按降序进行排序, 排在首位的方案为最优方案.

3 算例分析

3.1 算例描述

某公司计划投资软件项目, 现有4 个可供选择的投资方案, 即A={A1,A2,A3,A4}.该公司针对投资方案的选择, 考虑准则C={C1,C2,C3}, 其中C1为技术可行性,C2经济可行性,C3为操作可行性.准则权重向量为w= (0.390,0.260,0.350).这里, 邀请3 位专家D={D1,D2,D3}采用IVPTrFLV 对4 个投资方案在考虑3 个准则的情况下进行评价.专家采用的语言集为S={S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}, 其中Si(i= 0,1,··· ,6)分别表示: 非常不好,一般不好, 不好, 中等, 比较好, 好, 非常好.受篇幅所限, 这里只给出专家D1的IVPTrFL 评价矩阵(见表1).

表1 专家D1 的IVPTrFL 评价矩阵Table 1 The IVPTrFL evaluating matrices of expert D1

3.2 决策过程

阶段1 建立标准化IVPTrFL 群评价决策矩阵.

步骤1 利用式(10)计算各专家IVPTrFL 评价矩阵的Score 值, 专家D1的结果见表2.

表2 专家D1 评价矩阵的Score 值Table 2 The Score values of expert D′1s evaluating matrices

步骤2 利用式(11)建立IVPTrFL 群评价决策矩阵, 结果见表3.

表3 IVPTrFL 群评价决策矩阵Table 3 The group IVPTrFL evaluating decision matrices

步骤3 利用式(12), 计算标准化IVPTrFL 群评价决策矩阵.由于本算例中3 个指标均为效益型指标, 因此标准化后的群评价决策矩阵与IVPTrFL 群评价决策矩阵一致.

阶段2 利用式(13), 计算准则权重重要性系数, 得到=(1.000,0.667,0.897).

阶段3 采用CODAS 方法确定最优方案.

步骤1 利用式(14), 计算加权标准化IVPTrFL 群评价决策矩阵, 结果见表4.

表4 加权标准化IVPTrFL 群评价决策矩阵Table 4 The weighted normal group IVPTrFL evaluating decision matrices

步骤2 利用式(15) 确定准则j下的负理想方案, 可得ns1=([1.392,2.392,3.392],[0.674,0.879], [0.500,0.700]),ns2=([0.014,0.681,1.347], [0.509,0.706], [0.543,0.711]),ns3=([0.931,1.828,2.726], [0.292,0.484], [0.128,0.341]).

步骤3 利用式(16)∼(17)计算方案i在准则j下的加权标准化评估值与负理想值之间的Euclidean 距离和Taxicab 距离, 可得E1= 1.110,E2= 0.864,E3= 1.767,E4= 2.554;T1=0.650,T2=0.653,T3=1.915,T4=2.695.

步骤4 利用式(18)和(19), 构建相对评价决策矩阵, 可得

步骤5 利用式(20)计算每个方案的评价值Hi, 可得H1=−1.857,H2=−2.840,H3=3.330,H4=9.056.

步骤6 根据Hi的值对各方案进行降序排序, 结果为A4≻A3≻A1≻A2.可见,A4为最优投资方案.

3.3 结果分析

本工作通过灵敏度分析及与现有方法的结果对比分析, 对所提出的IVPFTrFL-CODAS法的稳定性与有效性进行验证.

3.3.1 稳定性

为了考察所提出方法的稳定性, 选择不同的τ值对决策结果的影响情况进行研究, 结果见表5.

表5 不同参数τ 的投资方案排序结果Table 5 Ranking results of investment schemes with different τ values

由表5 可见, 不同的τ值下采用IVPFTrFL-CODAS 法求得的投资方案的排序结果均为A4≻A3≻A1≻A2, 排序结果没有受决策者设置的阀值影响, 说明IVPTrFL-CODAS 方法具有良好的稳定性.

3.3.2 有效性

将IVPTrFL-CODAS 方法与PFUL-TODIM[14]法、PFL-TOPSIS[15]法进行对比, 不同方法的排序结果见表6.由表6 可知, IVPTrFL-CODAS 法与PFUL-TODIM 法(1.9 ≤θ≤4)、PFUL-TODIM 法(1.2 ≤θ≤1.8)和PFL-TOPSIS 法得到最优方案一致, 均为方案A4, 验证了本方法的有效性.PFUL-TODIM(1.0 ≤θ≤1.1)法得到的最优方案与其他方案不同, 说明该方法的决策结果会受到参数θ的影响, 不同参数取值范围下进行灵敏度分析所得的最优方案没有保持一致.

表6 与现有方法对比的投资方案排序结果Table 6 Ranking results of investment schemes compared with other existing methods

4 结束语

为提升决策者评价信息准确度, 本工作提出了一种IVPTrFLS, 通过定义IVPTrFLV 研究了相关的基本理论, 并在此基础上提出了基于IVPTrFLVs 的改进CODAS 法用于求解多准则决策问题.通过对实际项目投资决策问题的计算及对比分析, 验证了所提出方法的有效性和稳定性.由于实际决策中较难精确地对决策问题涉及到的准则及其相对重要程度进行确定, 使得获取准则的权重具有一定难度, 因此提出的IVPTrFL-CODAS 法是在考虑准则权重已知的情形下进行的.接下来的研究, 将会考虑准则权重在未知情况下的多准则决策问题的求解.