商代的算术运算和甲骨文上的数字排列

吴文俊

在商代，人们所知道的数目仅是一个有限的自然数集合，还没有涉及分数或小数.由此推知：当时不可能有除法运算.商代人肯定会加法运算，因为这是人类最容易掌握的一种算术运算.在商代也可能出现过乘法运算，实际上算术的乘法运算只是一种相同的数目的连续相加，这种加法人们无疑会经常遇到，久而久之乘法便产生了，人们就不必再将相同的数目连续相加了.进行乘法运算的关键是运用九九乘法表.有了九九乘法表，个位数与个位数的乘积念一次九九乘法口诀就出来了;将两位数以上的数相乘还要借助少量的加法运算来辅助.但是，目前我们还没有在甲骨文中找到九九乘法表，不过不能断定其一定不存在.至于减法运算，只能在被减数大于减数时才能进行.我们推测，数目很小的减法在商代可能存在，不过不一定能普遍施行.

根据个别的例子，大体可以窥见一点商代的算术运算.在一片甲骨上有4列数字，即50、30、20和15，每个数字出现3次（图1）.释文可排列为如下的形式：

五十犬五十羊五十豚

三十犬三十羊三十豚

二十犬二十羊二十豚

十五犬十五羊十五豚

由于骨片的上端残缺，五十（）只有一个比较清楚，因此人们有不同的猜测，李俨、李迪等认为最上面的一列文字为五十犬、五十羊、五十豚，而陈梦家则不承认这列文字.实际上，经仔细观察可发现，最上面一列文字是存在的.

这个实例中包含着一些数学规律，可能也用到了运算，李俨作了如下解释：

50-30=4×5=22×5，

30-20=2×5=21×5，

20-15=1×5=20×5.

他说这些结果中含有等比数列，而原来的4个数目都是5的倍数.上面的解释不仅涉及了减法和乘法运算，而且还含有等比数列的概念，但这种可能性不大，商代不可能形成等比数列的概念.我们认为这4列数字可能通过加法和乘法运算获得，是否有减法难以确定.

甲骨文中数字的排列都有一定的规律，根据这些规律可以窥见商代人已经掌握或可能掌握的数学知识.连续排列的数目字绝大多数到九为止，少数的到十（），超过十的极为罕见.下面举例加以说明.我们按甲骨文原来的排列位置进行摘录，仅仅把甲骨文字改为现代汉字.

第一类：若干个连续自然数的按顺序排列.

例1. 在同一片龟甲上有由一到六按顺序排列，且都是竖排的数目字.

例2.次序由右到左（即右小左大）横排排列的数目字：五、四、三、二、一.

例3.由上到下逆序排列的数目字：六、五、四，但是骨片上下端均残缺，估计还有字，至少往下还有三、二、一，上面就不好推测了.

至于由右到左（即右大左小）的横排的数目字的例子相当多，这里不另列举.

第二类：某个自然数的重复排列.

例1.反复出现同一个自然数.在一片甲骨上“二”字出现了24次，因骨片残缺，可能整个骨片上的“二”字比24个要多些.这24个“二”字可分为四组，用横、竖线隔开，每组6个，如图2.这种排列有什么意义，目前还不清楚.但未发现有类似情况的其他数字.

例2.在一片甲骨的残片上包含有“一”“二”“三”和“五”4个数字，中间的上端有2个横排的“一”，其左下和右下各有一列竖向排列的 “二”，左列“二”的左侧为两行“三”，右列“二”的右侧为“五”，实际上可能是两行“五”，因甲骨残损而看不见了.

例3.分段重复排列.有的连写几个“二”，接着几个“三”，每两个字中间有较大距离：有的连写几个”一”，似乎是把旁边的文字分为几段.

第三类：左右对称排列.这类的例子很多.

例1.在一片残甲骨上找到由一到十的数字40个，还有些地方模糊不清或有残损.根据整个排列我们补上8个数字，用方框圈起（如图3）.如果从中间上下画一条直线，恰好分成左右对称的两部分.

例2.在另一片甲骨上还有更复杂的左右对称排列的数字，如果说上面的例子可以分为上下两段的话，那么这个例子就可以分为三段，每段都左右对称.当然其中也有些残破或不清之处，补上相应的数字，排列如图4所示.

还有许多对称的例子，这里不再列举.但是值得我们深思的是，商代人对数字的排列有较多的认识，且达到了较高的水平.

第四类：奇偶分开排列.

一片龟甲的正面有28个数字、上下分为4列、每列7个数字.用十字线将其分成4个组，上两组共有6个数字，下两组共有8个数字.这样，每组的竖列、每列是奇或是偶很清楚地呈现出来，无一混乱，且下面两组左右对称（图5）.

例2.在一片龟甲的下半截有18个自然数，分为4列排列.中间2列都是奇数，外边的2列都是偶数，它们左右对称.但右边微残，如二、八所在位置看不清，这很容易补上（图6）.

例3.还有一种特殊的奇偶排列，如图7.其上部奇偶排列出现了交叉的情形，连线即可看出.其下部出现了循环的现象，即十下接二、四，九下有一、三.因有殘损，下面是否还有数字无法判断.根据这种循环现象，可知商代人使用的数字一般到十为止，过十则再从一开始.

第五类：前9个自然数的分三段排列.分段排列的情况在甲骨文中比较常见，例如，一个骨片上有由左（小）到右（大）分两段的横排数字，即一、二、三、四、五、六;七、八、九、十，下面又出现一、二、三、四，如图8.

例1.另一片甲骨的下半部也呈三段排列，上半部是两行自然数（图9）.

例2.独立的三段排列，也能在甲骨文中找到，有一个是由右（小）到左（大）排列的.这类排列有一个共同的特点，就是把它们左旋或右旋45°（如图10），便得到了3阶不完全的纵横图，如果把一与九、三与七分别对调就得到了现代意义下的幻方，因此有人已提出纵横图起源于甲骨文的论点.尽管这个论点还有待于进一步探讨，但是后人从这里得到启发而形成三阶纵横图也是有可能的.

由上述各种情况来看，商代人对自然数已经相当熟悉，而且掌握了一些规律，他们对数学排列的对称性似乎有所偏爱，在很多龟甲上都左右对称地排列着两列自然数.奇偶分列也是商代人很重视的事.

——摘自《中国数学史大系·第一卷》