基于数学思想渗透的中考几何总复习案例研究

郑秋月

【摘要】学生数学思想的形成需要在过程中实现，学生只有经历问题的解决过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移.

【关键词】等腰三角形;分类思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.数学思想的形成需要经历从模糊到清晰、从理解到应用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐渐形成，学生只有经历这样的过程，才能逐步“悟”出数学知识、技能中蕴含的数学思想.

复习课是教学中不可缺少的一环，而中考复习课立足于整个初中阶段，在知识的内在联系和对数学思想方法的感悟方面对学生提出了更高更深的要求.基于数学思想渗透的中考总复习如何实施更是值得思考.下面以等腰三角形的复习为例，谈谈笔者的思考.

一、引“等腰”悟“分类”复习设计

问题1：以线段BC为底边，用尺规画一个等腰三角形.请说出这个图形的作图过程及运用到的知识.

预设：学生通过作图回顾等腰三角形的定义.

追问1：以线段BC为底边，用尺规画等腰直角三角形.请结合所画图形说明作图的过程，并回顾在刚才的画图过程中运用了等腰三角形的哪些知识.

预设：学生作等腰直角三角形主要有两条思路：一是作两个45°的底角构造等腰直角三角形;二是以BC为直径作半圆，再作BC的垂直平分线，将半圆与垂直平分线的交点和B，C两点相连构造等腰直角三角形.第一条思路需要运用“等角对等边”，第二条思路则综合运用“直径所对的圆周角是直角”和“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”.

追问2：怎么把刚刚画的等腰直角三角形分成两个全等的三角形？

预设：学生思考上面所作的BC的垂直平分线是底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线.

问题2：请添加一个条件解答问题：在△ABC中，AB=AC=5，，求△ABC的面积.

师：可以添加哪些角的角度？先独立思考，再小组讨论.

生1：可以添加顶角的度数，60°，90°或120°.

师：还可以添加什么？

生2：也可以添加底角的度数，60°，45°或30°.

师：既可以添加顶角的度数也可以添加底角的度数，结果是一致的.除了添加角度，还可以添加什么条件也能求面积？

生3：可以添加边的长度，如BC=5，52，53等.

师：你是怎么想到这些长度的？

生3：受到刚才特殊角的启发.

师：很好，边的问题也可以转化成角的问题，它们可以互相转化.还可以添加什么条件？

生4：还可以添加高，底边上的高，腰上的高都可以.

师：如果是等腰直角三角形，腰上的高就是另一条腰，其他情况呢？要注意什么？

生5：如果是锐角三角形，高在三角形内部;如果是钝角三角形，腰上的高在三角形外部.

师生归纳：等腰三角形的计算问题要注意边的分类、角的分类、三角形的分类及边角的转化.

问题3：如图1所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，求AP的长度.

师：当△BPQ是等腰三角形时，你认为应该怎么分析这个问题？

生6：要满足△BPQ是等腰三角形，有三种情况：

BP=BQ，PQ=BQ，BP=PQ.

生7：由于BQ=5，当BP=BQ=5时，可得AP=3;

当PQ=BQ=5时，如图2所示，则QG=4，可得PG=3，则AP=2.

师：BP=PQ呢？

生8：当BP=PQ时，如图3所示，则有AP=BH=12BQ=52.

师：刚才的情形都是锐角三角形，还有其他情况的等腰三角形吗？

生9：还有钝角三角形，即∠BQP是钝角的情形.

如图4所示，当PQ=BQ=5时，有LP=3，AP=8.

师生共同归纳：等腰三角形分类时不仅要考虑边的分类，还要注意角的分类.

变式：已知，如图5所示，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（43，0），若点C在x轴上运动，当以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形时，

请求出此时C点的坐标.

師：你是怎么考虑的？你能利用圆规在图上画出△ABC吗？

学生动手作图，大部分学生很快找出图6中的C1，

C2，C3.

师：除了C1，C2，C3，还有其他点满足条件吗？

生10：还有以AB为底边的等腰三角形，如图7所示，作线段AB的垂直平分线，与x轴交于C4.

拓展：如图8所示，在Rt△AOB中，AO=6，OB=8，P是线段AB上的点.当△AOP是等腰三角形时，求BP的长.

学生提出分成三种情况：AO=AP，AO=OP，AP=OP.

当AO=AP时，学生马上求出BP=4.

生11：当AO=OP时，如图9所示，可以过O作OH⊥AB于H，利用

面积法可以求出OH=245，再利用勾股定理求出AH=185，

则有AP=2AH=365，所以BP=145.

生12：也可以先证△AHO∽△AOB，得到AOAB=AHAO，求出AH=185，从而得到BP=145.

生13：还可以利用cos A=35，求出AH，从而得到BP.

师：非常好，这三个同学用不同的方法求出AH的长.同学们，你们认为解答这个问题的关键在哪里？

学生纷纷表示关键是作出高OH.

图10师：等腰三角形的常用辅助线是底边上的高线.那么当AP=OP时，怎么求？

生14：过P作PM⊥AO，如图10所示，根据等腰三角形“三线合一”，

可以得到AM=12AO，所以AP=BP=12AB=5.

二、教学立意的进一步解读

1.动手操作，尺规作图回顾知识

在数学学习中，要使学生真正理解数学知识，感悟数学思想方法，培养学生的思维能力和创新能力，就需要让学生积累丰富而有效的数学活动经验.数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积累.尺规作图需要将几何定理与动手实践相结合.演绎推理、合情推理源于动手操作，而动手操作的前提是几何猜想.尺规作图是手脑并用的活动，将操作与思考有机结合，能够促进知识的内化.尺规作图活动既有利于学生积累数学活动经验，又能促进学生形成独立思考、自主探索、反思质疑的良好思维品质.在几何总复习阶段，采取尺规作图这种方式回顾旧知，能够让学生积累更多的活动经验.在教师设计的问题1的引导下，学生经历了动手“做数学”的过程，立足于整个初中阶段知识复习等腰三角形的定义、性质和判定方法，从而对旧知的理解更为透彻，形成知识网络.

2.知识建构，初步感悟分类思想

复习时，仅罗列知识点而没有对这些知识“再建构”，学生难以对数学本质进行深刻认识和深度把握，更难以保持持久性和可迁移性.数学思想是“再建构”的灵魂，在“等腰三角形的复习”这节课中，教师通过适当增加条件将等腰三角形变为等边三角形、等腰直角三角形等，让学生体会从一般到特殊的思想方法.同时，教师为进一步巩固学生对相关问题的通法通解的掌握，实现技能固化，引导学生思考添加顶角角度和底角角度的不同之处，讨论添加的高在腰上或底边上、在图形内部或外部这些情况，渗透分类讨论的思想.

3.知识生长，进一步感悟分类思想

数学思想的领悟内化需要经历一个螺旋上升、长期发展的过程，需要教师在不同的学习内容中不断渗透，学生只有经历这样不断感悟的过程，才能逐步“领悟”出其中蕴含的数学思想.在中考总复习中，教师要注重知识的“生长点”和“延伸点”，利用一题多变、一题多解、多题归一等方法让学生从不同角度分析，从不同层次理解，不断深入思考，逐步领悟数学思想.例题3的设计是应用等腰三角形边的分类计算，同时还需注意顶角的分类.在解决问题的过程中，教师要培养学生的空间观念，发展学生的推理能力，渗透分类讨论思想.变式的设计是例题的延续，同样边的分类为腰或底，还需注意顶角的分类.同时还涉及尺规作图，让学生在动手操作中理解等腰三角形的性质.以AB为底边的等腰三角形是本题的难点，再次让学生感悟等腰三角形的本质就是轴对称图形，进一步发展学生的推理能力，渗透分类讨论思想.学生即将中考，需要挑战中考题.在解决问题的起点，学生已经能很好地考虑等腰三角形分类的情况了，教师要放手给学生一定的空间和时间解決问题.解答后让学生思考并点明等腰三角形的辅助线的常用做法.本题解决方法多样，学生从不同角度分析，不断深入思考，逐步“领悟”分类讨论这一数学思想.

三、结 语

中考几何复习课堂教学主要以上述两个环节为主.数学思想重在“悟”，在数学活动中“悟”，在知识的“再建构”中“悟”，在知识应用中“悟”.经历这样的过程有助于培养学生的思维能力，有助于发展学生的数学素养，更有助于学生深刻领悟数学思想.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.