拉阿贝判别法的推广及应用

张文 沈启 邱淑芳

【摘要】本文对正项级数的拉阿贝判别法进行了推广，并通过例题说明该方法具有更广的适用性.

【关键词】级数;敛散性;拉阿贝判别法

【基金项目】国家自然科学基金（11861007， 11761007）， 江西省教育厅科技项目（GJJ160564）， 江西省教学研究项目（JXJG-18-6-4）.

一、引言

级数的学习在理科《数学分析》或工科《高等数学》课程中都占据重要地位，判断正项级数

∑∞n=1an的敛散性方法则为重中之重.常用的敛散性判别法为比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法和拉阿贝（Raabe）判别法等，由于比式判别法、根式判别法和拉阿贝判别法均有在临界情况下失效的情形，于是我们想到在拉阿贝判别法的基础上做出一些改进.

二、正项级数的比式判别法、根式判别法和拉阿贝判别法

定理1 （比式判别法和根式判别法）

对于正项级数∑∞n=1an（an>0），若limn→∞an+1an=r或者limn→∞nan=r，则：

（1）当r<1时，级数∑∞n=1an收敛;

（2）当r>1时，级数∑∞n=1an发散.

问题：当r=1时，比式判别法和根式判别法均不能得出确切的敛散性结论，此时应该如何判断正项级数的敛散性？我们再选用拉阿贝判别法进行判别.

定理2 （拉阿贝判别法）

对于正项级数∑∞n=1an（an>0），若limn→∞ n1-an+1an=p，则：

（1）当p>1时， 级数∑∞n=1an收敛;

（2）当p<1时， 级数∑∞n=1an发散.

我们列举经典例题进行讨论.

例1 讨论正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s，s∈N的敛散性.

解 由于该级数的敛散性受到参数s∈N的影响，所以我们令an=（2n-1）！！（2n）！！s，试着找出an+1an与s的关系.

易知

an+1an=2n+12n+2s=1-12n+2s，（1）

于是

limn→∞an+1an=limn→∞1-12n+2s=1，（2）

即正項级数的比式判别法失效. 根据拉阿贝判别法有

limn→∞ n1-an+1an=limn→∞ n1-1-12n+2s，（3）

上式为∞·0型的极限形式，转化为00型后利用洛必达法则有

limn→∞ n1-an+1an=limn→∞1-1-12n+2s1n

=limn→∞-s1-12n+2s-112（n+1）2-1n2=s2，（4）

于是，根据拉阿贝判别法知：

当s=1时，limn→∞ n1-an+1an=s2<1，正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s发散;

当s≥3时，limn→∞ n1-an+1an=s2>1，正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s收敛.

但是，当s=2时，limn→∞ n1-an+1an=s2=1，拉阿贝判别法也失效了.于是我们寻求推广的拉阿贝判别法来判断正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！2的敛散性.

三、拉阿贝判别法的推广

我们将拉阿贝判别法的适用范围由正项级数推广到一般项情形.

定理3 若limn→∞ n1-an+1an=p（an≠0），则级数∑∞n=1an：

（1）当p>1时绝对收敛;

（2）当0≤p<1时条件收敛或发散;

（3）当p<0时发散.

证明 （1） 当p>1时，N∈N+n>N满足

n1-an+1an>p+12>1，（5）

即（n-1）|an|-n|an+1|>p+12-1|an|>0，（6）

于是正项数列{n|an+1|}∞n=N严格单调递减，由单调有界定理知数列{n|an+1|}∞n=1收敛，进一步便知正项级数

∑∞n=2（n-1）|an|-n|an+1|=|a2|-limn→∞n|an+1|（7）

也收敛，根据不等式（6）及比较判别法知：当p>1时，级数∑∞n=1an绝对收敛.

（2） 当0≤p<1时，N∈N+，n>N满足

n1-an+1an

即（n-1）|an|-n|an+1|

于是

|an+1|≥（N-1）|aN|n.（10）

由比较判别法知：当0≤p<1时，级数∑∞n=1an条件收敛或发散.

（3） 当p<0时，N∈N+，n>N满足

n1-an+1an

即0<|aN|<|an|<|an+1|，（12）

于是limn→∞ an≠0，由收敛级数必要条件知：当p<0时，级数∑∞n=1an发散.

注：针对p=1的情形，定理1、定理2、定理3均不能给出确切的结论，即上述判别法均失效.下面的定理4为Kummer判别法的变形形式，可作为上述判别法的补充，为拉阿贝判别法的另一种推广.

定理4 设Tn=un-un+1an+1an（an>0，un>0），则有：