探究偶数与素数之间的联系

王国昌

【摘要】素数定理描述了素数在整数中的分布特点，哥德巴赫猜想告诉人们：大于4的偶数都可以用两个素数之和表示.本文阐明了可以用不等式描述一个大于4的偶数由两个素数之和表示的不同情况的个数.

【关键词】素数定理;哥德巴赫猜想;素数;偶数

一、引 言

素数表面看上去很简单，但当你深入了解它的时候，你会感到它其实神秘而深奥. 有关素数的性质非常少，但应用它的地方却很多.如果你把你的猜想赋予给它的时候，它会让你高兴一会儿或很长一段时间，在你认为它正确的时候，它会给你迎面泼一盆冷水. 对于命题“大于4的偶数一定能用两个素数之和表示”，在思考的过程中，虽然没有找到证明它的方法，却总结出与这个命题相关的命题，并且认为这个命题有一定的实用价值.

二、命题及概述

命题：任何一个大于或等于4的偶数x都可以写成两个素数之和，设这个偶数能写成两个素数之和的个数为c，则c≥Π（x）-π2 其中Π（x）为小于x的素数的个数，Π（x）-π2表示不大于Π（x）-π2的最大整数.

在命题中之所以用Π（x）-π2来表示偶数能写成两个素数之和的個数，是想以此来说明偶数与比它小的素数的个数之间存在某种联系. 随着偶数的不断增大，素数的个数也逐渐增加. 在公式c≥Π（x）-π2中，根据素数定理可知，从整体上看，随着偶数的逐渐增大，素数的个数Π（x）逐渐增大[1]，则Π（x）-π2也逐渐增大.

对于这个命题，当x≥18时，素数的个数Π（x）≥7，此时，Π（x）-π2≥1符合哥德巴赫猜想. 因此，命题符合哥德巴赫猜想，是对哥德巴赫猜想的一个补充说明. 同时，从另外一个角度说明，虽然随着整数的不断增加，素数在整数中的密度会逐渐减小，但是，由于素数的内在特性，使得任何一个偶数x随着偶数的增大，它能写成两个素数之和的可能性也会逐渐增大.用两个素数之和表示偶数时，带有一定的偶然性，当偶数较小时对结果影响较大，为了修正这种偏差，在公式中用了Π（x）-π2，使计算的结果更能反映内在的规律.

下面列举4—2000之间的部分有代表性的偶数写成两个素数之和的情况，其中b=Π（x）-π2，c表示偶数用两个素数之和表示的实际的个数.

4=2+2;c=1，b=2-π2=-1.

6=3+3;c=1，b=3-π2=0.

8=3+5;c=1，b=0.

10=3+7=5+5;c=2，b=0.

12=5+7;c=1，b=0.

14=3+11=7+7;c=2，b=0.

16=3+13=5+11;c=2，b=6-π2=0.

18=5+13=7+11;c=2，b=7-π2=1.

20=3+17=7+13;c=2，b=1.

22=3+19=5+17=11+11;c=3，b=1.

24=5+19=7+17=11+13;c=3，b=1.

26=3+23=7+19=13+13;c=3，b=1.

28=5+23=11+17;c=2，b=1.

30=7+23=11+19=13+17;c=3，b=1.

32=3+29=13+19;c=2，b=1.

34=3+31=5+29=11+23=17+17;c=4，b=1.

36=5+31=7+29=13+23=17+19;c=4，b=1.

38=7+31=19+19;c=2，b=1.

40=3+37=11+29=17+23;c=3，b=12-π2=1.

42=5+37=11+31=13+29=19+23;c=4，b=13-π2=2.

44=3+41=7+37=13+31;c=3，b=2.

46=3+43=5+41=17+29=23+23;c=4，b=2.

48=5+43=7+41=11+37=17+31=19+29;c=5，b=2.

50=3+47=7+43=13+37=19+31;c=4，b=2.

52=5+47=11+41=23+29;c=3，b=2.

54=7+47=11+43=13+41=17+37=23+31;c=5，b=2.

56=3+53=13+43=19+37;c=3，b=2.

58=5+53=11+47=17+41=29+29;c=4，b=2.

60=7+53=13+47=17+43=19+41=23+37=29+31;c=6，b=2.

62=3+59=19+43=31+31;c=3，b=2.

64=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41;c=5，b=2.

66=5+61=7+59=13+53=19+47=23+43=29+37;c=6，b=2.

68=7+61=31+37;c=2，b=2.

70=3+67=11+59=17+53=23+47=29+41;c=5，b=2.

72=5+67=11+61=13+59=19+53=29+43=31+41;c=6，b=20-π2=2.

74=3+71=7+67=13+61=31+43=37+37;c=5，b=21-π2=3.

…

126=13+113=17+109=19+107=23+103=29+97

=37+89=43+83=47+79=53+73=59+67;c=10，b=3.

128=19+109=31+97=61+67;c=3，b=31-π2=3.

…

500=13+487=37+463=43+457=61+439=67+433

=79+421=103+397=127+373=151+349=163+337

=193+307=223+277=229+271;c=13，b=95-π2=8.

…

1004=7+997=13+991=37+967=67+937=97+907=127+877

=151+853=181+823=193+811=271+733=277+727=313+691

=331+673=373+631=397+607=433+571=457+547=463+541;

c=18，b=168-π2=11.

…

通過上面这些计算会发现，计算的结果符合命题. 虽然c的值波动较大，但c的较小的值与相应的b的值比较接近，且总有c≥b. 在局部，随着偶数的增大，c有时增大，有时减小，会经常出现反复，但整体上呈现增大的趋势.虽然这些数据还不够多，但足以说明命题是正确的. 对于较大的偶数由于受篇幅的影响，没有列举，但这并不影响命题的成立. 况且数学本身就有由小及大、由点及面的描述和预测的功能.

从公式中可以看出，对于几个连续偶数：x1，x2，…，xk， 如果小于它们的素数都是m个，理论上这几个偶数用两个素数之和表示的个数都大于或等于m-π2个， 即这几个偶数用两个素数之和表示的个数与它们的数值大小无关，但与小于它们的素数的个数有关.素数在整数内的分布是随机的，但由于素数的定义的约束，使得素数在整数内的分布不是简单的随机，而是一种非常严格的随机. 这种严格的随机使得素数表面看起来杂乱无章，但若仔细探究又非常有序，使得素数在数学领域的应用非常广泛.

我们可以推想到，对于所有的偶数，命题的结论都是正确的. 在这些数据中，偶数能写成两个素数之和的个数的实际数值c常常比计算的数值b高出许多，但实际数值c的波动性较大，而结论c≥b却总能成立，这恰好说明计算b是必要的，只有b才能真正反映出偶数写成两个素数之和的个数存在的规律.

随着偶数的增大，素数在整数中的密度会越来越小，很多人担心当偶数足够大时，会有较少的偶数不能用两个素数之和表示. 根据素数的定义，要想知道一个整数是不是素数，可以用这个整数除以小于或等于这个整数的所有正整数，如果这个整数只能被1和它本身整除，那么这个数就是素数. 因此，每一个偶数都与小于它的所有素数保持着紧密的联系.再者，对于素数数列{2，3，5，7，11，13，…，ak，…}，当素数由k个增加到（k+1）个时，用两个素数之和生成的偶数的个数增加：（k2+1）-[（k-1）2+1]=2k-1（个）. 而且，增加的偶数大于ak+1且小于或等于2ak+1，并依此严格循环. 由于素数在整数中的密度减小得非常缓慢，而偶数由两个素数之和生成的个数却能较快地增多，而且增多的这些偶数都有一定的约束条件，对每一个偶数几乎都是公平的.相当于生成的偶数对区间内的偶数进行覆盖，而且偶数越大，被覆盖的次数可能越多. 因此，我们不必担心个别较大的偶数不能用两个素数之和表示，而且，当偶数越大，它能用两个素数之和表示的机会也越大. 基于以上这两点考虑，素数的分布虽然具有随机性，但这种随机是受一定条件约束的，对每一个整数都是公平的，是一种非常严格的随机. 长期以来，人们通过各种方法验证，都认为哥德巴赫猜想是正确的，只是需要一个时间点或一个契机，进行完整的证明. 所以，我们不仅要关注大于4的偶数是否一定能用两个素数之和表示[2]，还应该有一部分人需要避开这个难点，去关注一个大于4的偶数用两个素数之和表示时可能有多少种情况.

三、结 论

综合上面的讨论，我们可以得到下面的结论，这个命题应该是正确的，即命题：偶数不但能用两个素数之和表示，而且表示的个数与小于这个偶数的素数的个数之间也有一定的联系.

在数学上有许多定理都是先提出后证明的，费马大定理由17世纪法国数学家费马提出，经过了很多年，直到1995年才被证明是正确的.哥德巴赫猜想是在1742年被提出的，直到现在仍然没有得到完整的证明. 发现规律、证明规律和运用规律有时是各自独立的，有时又是相互统一的.

整数是数学的基础，素数是整数中有特殊性质的整数，是整数中很重要的成员. 对素数进行了任何一点点深入的了解，对数学的发展都会起到一定的作用.

【参考文献】

[1] 蔡同灵. 数学的学习与研究[J]. 绵阳师范高等专科学校学报（自然科学版）， 1996（S1）： 13-20.

[2] 程洁. 对哥德巴赫猜想的论证[J]. 数学学习与研究， 2019（15）：150.