黄土微小孔隙对其孔隙表面分形维数影响

鲁 拓， 唐亚明， 冯 卫， 宿晓虹

(1.长安大学地质工程与测绘学院， 西安 710054； 2.中国地质调查局 西安地质调查中心， 西安 710054)

基于热力学孔隙分形模型计算多孔介质孔隙表面分形维数已成功应用于众多领域。Pfeifer等[1]在用分子吸附技术研究岩石孔隙结构后提出多孔介质具有分形孔隙结构的概念。随后，Katz等[2]、Krohn等[3]利用SEM对砂岩孔隙直接进行了分维表征。Rieu等[4]基于“sierpinski”地毯模型建立了孔隙分形模型。高英等[5]基于SEM图像采用合维数法计算了西宁地区强、弱湿陷性黄土的孔隙分维数，发现随着压力增加，孔隙分维数有减少的趋势。任权等[6]用基于SEM图像计算了高速铁路地基黄土的形态分维数，发现分维数与土强度有较好相关性，同时也证明了黄土孔隙具有分形的特征。许勇等[7]基于SEM图像采用盒子维数方法计算了饱和软黏土的分形维数，得出颗粒分形维数与孔隙率成负相关，孔隙分形维数与孔隙率成正相关。林晓芬等[8-9]基于压汞数据通过海绵模型、热力学孔隙分维模型计算了4种生物质焦样的孔隙表面分形维数，并得出热力学分维模型计算结果更适合表征生物质焦样孔隙结构。陈三强等[10]刘永忠等[11]基于压汞试验及热力学分维模型计算了冻干物料的表面分形维数。王秀娟等[12]基于热力学分维模型计算了煤孔隙表面的分形维数。王聪乐[13]基于压汞数据并采用多种分形维数计算模型比较了岩石储层的孔隙分形维数，其中热力学分维较好的表征岩石孔隙表面复杂程度。

SEM作为直接量测孔隙形态分维的一种重要手段虽具有直观性，但由于制样、喷金/喷碳、及二维代表性不足等仍有缺陷。压汞法为间接量测多孔介质孔隙不易破坏孔隙结构且快速简易对测黄土孔隙十分有利，且基于压汞法计算分维数已广泛用于众多多孔介质分析中，但目前对计算黄土孔隙表面分维数仍十分稀缺，需进一步验证其适用性及意义。现基于压汞法和热力学计算模型计算黄土孔隙表面分维并探讨与微小孔隙关系，这对孔隙结构性定量化、水土保持有重要意义。

1 材料与方法

1.1 试样与压汞试验

本批试样选自吕梁地区吉县、大宁县、岚县、乡宁县、汾西县、孝义市、交城县7地，采取深挖取样方式，表1为试样基本物理指标。

试验设备为美国麦克仪器AutoPore IV 9 500高性能全自动压汞仪，本次测量压力范围0.1～60 000 Psia(～419 mPa)，测量孔径范围0.003～1 000 μm，汞表面张力485 mN/m，汞接触角 130°，有一个高压和两个低压站。本批试样压汞曲线及基本参数见图1、表2，图1中VHg表示进汞体积分数(进汞量与最大进汞量百分数)。

表1 试样基本物理指标

图1 压汞曲线

表2 试样压汞测试基本指标

试样所测孔隙率φ范围为28.70%～45.15%，液体汞的渗透率k的范围为19.90～1 973.08 md，排驱压力Pcd范围为0.003 0～0.155 1 mPa，迂曲度τ范围为6.26～59.30，退汞效率We为7.85%～23.89%，退汞效率越大，说明孔隙的腹腔结构越多，反之越少。中值孔径r50范围为0.18～5.23 μm。本批试样中较小含量居多，不存在巨大孔隙，为疏松多孔介质。图2为试样孔径分布，本批黄土试样孔径分布跨度范围为0.001～250 μm，将孔径小于1 μm以下的孔隙称为微小孔隙。本文计算每试样微小孔隙的体积含量和表面积大小。其中，体积含量Vr<1 μm范围为20.78%～72.48%，表面积Sr<1 μm范围为4.39～16.36 cm2/g。

1.2 热力学模型计算孔隙表面分形维数

这种模型利用进汞过程的进汞量与孔隙表面能增加的联系建立孔隙分形维数[14]。

(1)

式中：Pi、ΔVn为第i次压汞的压力和进汞量；n为施加压力的间隔数；rn为第n次进汞的累计进汞量，Vn为压力间隔1～n时的累计进汞量。

(2)

图2 孔径分布

2 结果与分析

2.1 模型计算过程

通过热力学分维模型计算黄土孔隙表面分形维数范围为2.58～2.84，线性拟合度非常好，为0.99，见图3。结合传统分形维数的概念，分形维数应该介于2～3，且维数越大，表示各向异性更强、结构越复杂。通过试验，证明了热力学分形模型适用于计算黄土孔隙表面分形维数。

图3 热力学分形模型计算过程

2.2 结果与分析

图4为黄土试样孔隙表面分形维数Ds与孔隙率φ、退汞效率We、微小孔隙体积含量Vr<1 μm、微小孔隙表面积Sr<1 μm之间的关系。孔隙率φ与表面分形维数Ds有弱线性正相关性，说明孔隙空间越大，表面分形维数有增加的趋势，即表面糙度、起伏的概率越大。退汞效率We与Ds有弱线性负相关性，而黄土较大的孔隙腹腔越多，压入的汞在退汞阶段越容易退出，退汞效率越大，这说明了黄土孔隙腹腔含量越多、大孔隙含量越多，表面分形维数有变小的趋势，并暗示了微小孔隙与表面分形维数应具有正相关性。

图4 Ds-φ、Ds-We与Ds-Vr<1 μm、Ds-Sr<1 μm关系曲线

图4中微小孔隙体积含量Vr<1 μm、微小孔隙表面积Sr<1 μm与孔隙表面分形维数Ds具有线性正相关性。这从正面说明了微小孔隙含量的多少会影响黄土孔隙表面分形维数。图5为中值孔径r50与表面分形维数Ds的关系，具有线性负相关性。这从正面说明了孔隙大小会影响黄土孔隙表面分形维数。

图5 Ds-r50关系曲线

图6为微小孔隙体积含量Vr<1 μm、微小孔隙表面积Sr<1 μm、中值孔径r50与孔隙表面分形维数Ds之间的关系图，由图6可以发现，微小孔隙含量越多，中值孔径会变小，同时，孔隙表面分形维数会增大。微小孔隙在孔隙空间中的位置多为细小吼道、大孔隙表面的起伏，往往起到的作用会增加孔隙表面糙度、起伏度，从而导致表面结构的复杂程度增加，进而孔隙表面分形维数增加(图6)。

图6 较小孔隙对孔隙表面影响图示

3 结论

通过对10组黄土试样进行压汞试验，并利用热力学分形模型计算黄土孔隙表面分形维数，得到如下结果：

1)通过热力学分形模型计算的黄土孔隙表面分形维数介于2～3，且线性拟合度高达0.99，这说明这种模型对计算黄土孔隙表面分形维数的适用性。

2)孔隙率越大，孔隙空间越大，表面分形维数有增加的趋势。孔隙腹腔、大孔隙越多，表面分形维数有降低的趋势。

3)微小孔隙体积含量、表面积大小会直接影响黄土整体孔隙表面分形维数，微小孔隙越多，孔隙空间的糙度、起伏程度会增加，导致表面分形维数增大，表面结构复杂性增加。

4)微小孔隙含量同时会影响中值孔径大小，而中值孔径刻画孔隙空间的综合孔径大小。中值孔径与孔隙表面分形维数具有负线性相关性，即孔径越小，孔隙表面分形维数越大。