三类常见排列组合问题的解法

赵永生

排列组合问题有很多种，如相邻问题、不相邻问题、相同元素问题、定序问题等，每一种题目的解法也各不相同.本文主要介绍三种排列组合问题：定位问题、“至少”问题、选排问题的解法，以供大家参考.

一、定位问题

定位问题是要求某一个或者某几个元素必须要在某一个固定位置的问题.解答这类问题一般用优先法，即优先考虑要求固定位置或者在固定位置上的元素.在解答定位问题时，首先要明确被固定了位置的元素和未被固定位置的元素，以及有特殊要求的位置和没有特殊要求的位置，然后安排有特殊要求的元素或者位置，再分析没有要求的元素或者位置的排列情况.

例1.某幼儿园小班有A，B，C，D，E，F，G 7个小朋友，现在要让这7个小朋友站成一排做游戏，如果A，B两个小朋友不能站在中间，也不能站在两边，那么这7个小朋友一共可以有多少种不同的站法.

分析：本题中的A、B两个元素的位置有特殊要求，所以本题是一个定位问题，可采用优先法进行求解.未固定位置元素的有C，D，E，F，G 5个小朋友，需优先排列中间和两边的位置，再排其他的位置.

二、“至少”问题

“至少”问题是指在某些题目中含有“至少”字眼的排列组合问题.解答这类问题常采用间接法，这种方法只适用于求解反面情况容易分析、计算的题目.在解答“至少”问题时，要先结合题目信息求出题目中所有元素在没有任何要求下的总排列组合数，再分析问题的反面情况，即不满足题目要求的排列情况，根据分类计数原理和分步计数元素求得反面情况的排列数，最后将总的排列组合数减去反面情况的排列数即可.

例2 .某跳水队要选拔新人，要求从来自A地区的4人中和来自B地区的5人中任意选取3个人组成一个队伍，并且队伍中至少各有一名来自两个不同地区的人，那么不同的组队方式有多少种？

分析：本题中出现了“至少”的字眼，可采用间接法求解.先求出没有任何要求的总的组队方式数，然后求出“队伍中的人只来自一个地区”组队方式数，再将二者相减.

三、選排问题

选排问题是指要求在某几个元素里面选出满足题目要求的几个元素，并且将这几个元素指定到某些固定的位置上.解答这类问题一般使用先选后排的方法.在解答选排问题时，首先要结合题目要求找出满足题目条件的几个元素，再将找出的这几个元素需要安排的位置，逐一进行排列，最后根据分类计数原理和分步计数原理进行求解.

例3.已知某检验人员检测了一批含有10个产品的零件，检测人员检测出其中含有6个合格品与4个不合格品，但是检验人员不小心忘记了将不合格品筛选出来，因此需要重新逐个检验，直到找出所有的不合格产品为止.假如所有的不合格产品刚好在第5次检验时被全部检验出来，那么符合题目要求的检验方法有多少种？

分析：本题是一个选排问题，需运用先选后排的方法进行解答.首先，我们需明确10个产品里面有4个不合格品，并且所有不合格品都在前5次检验中被找到，这也就是说，前4次检测找出了3个不合格品，第5次检测的是不合格品.

定位问题、“至少”问题、选排问题的特点、解法各不相同.在解题时，同学们要注意结合题意进行辨别，清楚题目属于哪一种题型，然后再“对症下药”，选择最合适的方法进行求解，避免绕弯路，浪费解题时间.

（作者单位：江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学）