数学思辨力,赋予理解生长的力量

钱丽

【摘要】随着数学核心素养的提出，学生数学学习能力的培养显得尤为重要，而数学思辨力是学生核心素养的重要组成部分.因此，笔者通过对学生数学思辨现状的分析，在教学实践中探寻培养学生数学思辨力的策略，促使数学理解从“浅表”走向“深刻”.

【关键词】数学思辨力;思辨情境;思辨方式

随着数学核心素养的提出，学生数学学习能力的培养显得尤为重要，而数学思辨力是学生核心素养的重要组成部分.因此，在教学中，数学教师要为学生创设思辨的平台，让学生在思辨中经历知识的发生和发展过程，完善对数学知识体系的认知，促使他们对数学的理解从“浅表”走向“深刻”.

一、厘清：数学思辨力的内涵

数学思辨力是一种思维品质，是指从数学的角度观察纷繁复杂的现实世界，发现和提出问题，并能用数学的方法进行思考和辨析，探索解决问题的能力.这是一种指向学生高阶思维的能力，它的强弱是衡量学生数学素养水平高低的一项重要指标.

二、审视：学生数学思辨的现状

在数学课堂中，总有这样一类学生：坐姿端正且从不干扰课堂教学，看似在听，却不知所云.心理学家卡尔·兰塞姆·罗杰斯（Carl Ransom Rogers）将这些学生称为“课堂上的观光者”.这些“课堂上的观光者”缺乏最基本的思辨力，在面对数学学习时，没有什么可思，没有什么可辨，只是一味地接受与模仿.这种内隐的思辨现状导致其无法运用规范的数学语言去阐明观点，交流思想，生成智慧.

学生的数学思辨力为何如此薄弱呢？笔者通过长时间观察与分析，并结合四年级的学业水平测试，归纳出以下几个方面的原因.

1.思辨惰性化

在数学学习的过程中，学生会有这样一种依赖：教师说什么就是什么，教师让做什么就做什么，从不怀疑教师、质疑书本，认为只要按照现行的方法“照葫芦画瓢”就是正确的.尤其在遇到具有挑战性的问题时，他们往往生搬硬套旧知识，或者坐等其他人给出现成答案，缺失真正、真实的自我思辨.

例如，一根绳子长89米，第一次用去31米，第二次用去28米，现在的绳长比原来少了多少米？

本题得分率只有40%，这样的局面是由长期“他思即我思、他辨即我辨”的惰性等待导致的.学生在面对“现在的绳长比原来少了多少米？”的新问题时，缺少主动思辨的意识.甚至有的学生简单地将本题与“还剩多少米？”看作同一类问题，有的学生受“比……少多少”的形式化思维影响，想当然地照搬原方法，用“89-31-28”来解决.

2.思辨浅表化

随着课堂教学改革的不断深入，有些学生在数学学习的过程中能发现一些问题，并能表达简单的想法，有了一定的思考能力，但这种思考往往缺乏对数学本质的深度思辨.按照弗赖登塔尔提出的“学习过程的层次”观点来看，这种思辨水平属于最低层次的学习，是为数学学习准备的.

例如，将白子与黑子如右图那样排列成正方形，如果白子用28个，那么黑子用（）个.

本题得分率只有44.8%.虽然很多学生知道是找规律的问题，但由于知识能力的不足，他们找不到解决的切入点，不知道从哪个角度观察这些棋子，不会将棋子的摆放规律数学化……思来想去，无从辨起.因为这张图不是一张完整的直观图，中间的省略号使得学生无法确定棋子摆放的具体个数，从而导致无法确定棋子摆放的内在规律.

3.思辨碎片化

在数学教学的过程中，许多教师受“化难为易”思想的影响，常常把大量的时间放在对单个知识点的练习和单一技能的训练上.这样的教学“只见树木不见森林”，忽视了知识之间的联系，导致学生孤立、零散、被动地接受无数个知识碎片.由于对知识的理解缺乏系统性和联系性，学生的思辨力也呈现碎片化的状态.

例如，明明家、君君家和学校的位置如下图所示.明明家离学校有 800 米，君君家离学校有 500 米，明明家和君君家的距离可能是（  ）米.

A.280B.300C.1000D.1400

本题得分率只有10%.从直观图可以看出，本题要运用“三角形的三边关系”的知识点来解决，明明家和君君家的距离就是第三边的长度范围，应该大于两边之差且小于两边之和，即在300～1300米之间.但是大部分学生无法有效沟通知识世界与生活世界之间的联系，简单地认为求两点之间直线距离就是把所给的两段路程相加或相减，忽视了这三个地点的位置关系，这种碎片化思辨限制了学生对数学知识的主动构建.

三、探寻：培养学生数学思辨力的策略

面对学生如此脆弱不堪的数学思辨力，笔者不由得反问：“我们怎样才能提升学生的数学思辨力呢？”实践证明，小學阶段是培养学生数学思辨力的关键时期.通过立足学情，改变教学方式，开展相应的“思辨”训练，教师可以有效激活学生思辨的内驱力，提升学生的数学思辨力.

1.创设思辨情境，提升活力

“学起于思，思源于疑”.小学生正处在好奇心旺盛的年龄阶段，对新鲜事物、感兴趣的东西特别好奇，总想去探个究竟，弄个水落石出.因此，在教学时，教师需要从学生的实际出发，创设有效的情境，激活学生思辨的内驱力，为学生开启深度学习之门.

例如，在教学“分数的基本性质”这一内容时，笔者受张奠宙教授“把同一个分数的所有不同表示形式看成彼此相等的一个整体，就形成了一个‘等价类”的启发，把等值分数写到学生熟悉的卡牌中，创设“翻翻乐”的游戏情境，改变了传统的教学模式.在这一游戏情境中，学生每次随机翻开2张牌，都要对“相等吗？”“为什么？”等问题主动思辨.（下面是笔者记录的部分学生的对话）

甲方（翻开）：912和68，判断不相等.

乙方（追问）：为什么不相等？请说明理由.

甲方（阐述）：无论9和12乘几（或除以几）都得不到6和8.

乙方（质疑）：呃……（拿出草稿纸开始写一写、画一画、算一算）

甲方重新审视.

乙方（反驳）：不对，9÷6=1.5，12÷8=1.5.912的分子分母只要同时除以1.5就可以得到68，因此，912和68是相等的.

甲方（恍然大悟）：对呀，我们怎么没想到除以小数呢！

（有的学生还想到了912=34，68=34，借助了34这个中间量来说明912=68）

看似简简单单的12张卡牌，却为学生营造了思辨的场域，帮助学生突破了经验层面，有效促进了学生对“同一个数”“0”“与商不变规律的联系”等问题进行质疑，满足了不同思辨层次学生的需要.从某种意义上说，这样的情境正是学生积极思辨、主动探索的一种生动表现.

2.给予思辨时空，渐悟本质

当今快节奏的生活方式，让人们不断地与时间赛跑，快速、快捷……这就导致教师在课堂上一味地鼓励学生尽快做出反应，问题刚抛出就让学生回答，舍不得给学生思辨的时间.郑毓信教授曾提出，数学教学应当帮助学生学会“长时间思考”.这个“长时间思考”就是给予学生思辨的时空去渐悟知识本质的过程.

例如，“相遇问题”一直都是学生难以理解的问题，读不懂，也理不清.张宏伟教师在执教这个内容时，进行深度挖掘，横向拓展，采用模拟的方式给予学生充分思考的时间和空间.整堂课以一句话“甲、乙两人分别从A、B两地相向而行”开始，张宏伟教师先在教室里标注出A、B两地，再请两名学生现场表演相向而行，同时让全班学生一起思考：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在相向而行的过程中，两人的位置关系会出现几种不同的情况，请用手势表示出来.

第一次，这两名学生走到A、B两地后自动停止了，这时，张宏伟教师夸张地追问以引发这两名学生重新进行模拟.其他学生在笑声中带着问题重新观察、分析、思考与质疑，因此，在第二次学生表演中概括出“相向而行”可能出现的情形.整堂课没有任何一个數据，没有任何一个习题的解决过程，但是学生不仅理解了“没相遇、相遇、相遇过头没出界、相遇过头出了界”4种相遇问题的情况，更重要的是学生在思辨中主动建立了相遇问题的各种模型.这主要归功于张宏伟教师舍得花时间，让学生在行走中聚焦相遇问题的核心要素，比纯粹解题学习更有意思！

3.优化思辨方式，完善构建

数学知识之间有着很强的系统性和逻辑性，每一个知识点都有它的“生长点”和“延展点”，学生只有在不断变化和重组的过程中形成数学知识网络，才能达到对知识的深度理解.因此，教师要整体把握数学知识的结构，厘清新旧知识的纵向延伸和横向联系，巧妙设置认知冲突，优化学生的思辨方式，使学生的认知结构逐步得到完善.

例如，在计算“12÷5”时，学生出现了两种结果：①12÷5=2……2，②12÷5=2.4.通过验算，这两个结果都对，但对于后者的结果，学生还是有疑问的.这时，教师可以放手让学生阐述理由.学生可以借助购物情境、方块图、小数的性质来解释“12÷5=2.4”.同时，教师可以顺势引导学生理解“余下的2添0再除，所得的商4为什么要写在十分位上”这一问题.

学生在理解算理之后可以进行算法的巩固，但张宏伟教师又追问：“为什么以前除到有余数就可以得出答案，现在却要继续除下去呢？”这一问题捅破了那层“窗户纸”，引发了学生进行全方位的思辨，在辨析交流中使学生逐渐体会：整数除法在除不尽时，让商和余数并存，只是求得一个近似结果，如果要得到精确的答案，就必须继续除下去，这就体现了小数除法的价值.在不断优化思辨方式的过程中，学生不仅理解了继续除的意义，而且沟通了小数除法和整数除法之间的联系，知道了整数除法是小数除法的生长点，小数除法是整数除法的拓展.在这一过程中，学生由浅表的思考向纵深发展，主动构建知识网络，思维的严密性和条理性也得到了彰显.

总之，培养学生的数学思辨力是促进其数学理解的重要方式.在教学时，教师要有意识地为学生搭建思辨的平台，引发学生对数学问题进行多维度思辨，促使学生的数学素养和关键能力得到长足发展.

【参考文献】

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.

[2]赵红婷.用什么提高课堂效率：有效数学课必须关注的10大要素[M].重庆：西南师范大学出版社，2011.

[3]张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.