关于《电话计费问题》的教学思考

刘阳

电话计费问题是生活中的常见问题，具有一定的现实性和开放性，代表着生活中大多数需要进行方案选择的数学问题。所以对这类问题的探究，是“数学来源于生活，回归于生活，服务于生活”的体现。

一、内容和内容解析

本节课是 “实际问题与一元一次方程”的最后一课时，《课标》中要求：“能够根据具体情况中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。”所以这一探究目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决过程让学生进一步体验“建模解题”的过程，渗透建模思想。

建模大致分为三个环节：将实际问题转化为数学模型（建立模型）——解决数学模型——利用模型结论解释实际问题，在这三个环节中“建立模型’’尤为重要，需要学生具有一定的分析、转化能力。这节课建立模型的关键有两个，一是应用分类思想对不同情形分别进行分析;二是发现并利用相等关系确立方程模型.其中分类思想是解决问题时的重要策略，需要学生在适当条件下具有较强的分类意识和确定分类节点的能力。同时，本问题中的相等关系，较之前的问题具有更强的隐蔽性，需要学生去体会数量间的大小变化来确定和解决.增加了列方程的难度。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：在实际背景中找到等量关系建立电话计费问题的方程模型。

二、目标和目标解析

（1）体验建立方程模型解决问题的一般过程。

达成目标（1）的标志：经历以下过程：通过分类讨论将电话计费问题转化为方程问题——解决方程问题——利用方程问题的结论解释各个分类区间的话费变化情况，从而最终得到整体的话费选择方案。

（2）体会分类思想和方程思想，增强应用意识。

达成目标（2）的标志：学生对下列方面有体会：①什么情况下需要分类讨论;②如何根据已知条件初步选择分类节点;③一个量由“大于另一个量”逐步演变为“小于另一个量”的过程中，会经历“两个量相等”这一过程;④相等关系的数学模型——方程建立对问题整体分析的重要性;借助图表分析的优越性，等等。

三、教学问题诊断分析（学情分析）

学生在前一阶段的学习中已经具备了实际问题建立一元一次方程和解一元一次方程的一般步骤的基础，能进行数学建模和简单解释。而对于“电话计费问题”这种综合性问题，还缺乏经验，容易无所适从或片面理解.学生一般可以发现“计费方式”的选择依赖于“主叫时间”的变化，要根据时间分类讨论，对于初一的学生来说， 他们虽具有一定的分析和筛选信息的能力，但缺乏系统、有效的分类方法，会容易分类粗糙不准确;同时对于电话计费这种生活化的问题，学生更习惯用生活化的原理和语言去解释，如“计费的多少、增长的快慢”等，而缺乏将其数学化，然后利用数学原理来解释的意识。

基于以上分析，对本节课学生不是完全没有基础，只是思维方式的逻辑性和解决方法的科学性上有待清晰的梳理和规范，所以本节课针对此实施以下三个步骤：①先由学生根据问题情境独立思考并表述对问题的认识;②交流讨论，借鉴其他同学的观点再思考讨论，进一步表述;③教师加以点拨，引导学生数学化地解决问题，而后学生第三次系统认识并解决问题.

根据上述分析，确定本节课的教学难点为：由实际问题抽象出数学模型的探究过程。

四、教学支持条件分析（含教学方法）

为了更直观形象地突出两种计费方式的变化规律，可借助信息技术工具，将两种计费的变化转化为图形直观演示，帮助学生确定探究方向，验证探究结论。

此外，本节课将采用课堂多元对话模式，结合合理恰当的课堂追问来辅助。

五、教学过程设计

1.创设情景，新课诱导

下表是移动公司两种计费方式

问题1能正确解读这两种资费方式吗？

【师生活动】学生思考、组织语言回答，过程中教师对回答方向适当提示，如“月使用费的比较”“超时费的比较”等，帮助完善解读，列举出两个具体主叫时间，让学生口答。

设计意图：了解学生对表格的理解程度，引导学生对信息做初步梳理和简单加工;通过对几个容易计算的主叫时间的话费计算，渗透“话费多少取决于主叫时间”。

问题2你觉得选择哪种计费方式更省钱？

【师生活动】若学生回答方式一或二省钱，可发动其他学生通过举例加以质疑;若学生回答中出现分类讨论趋势，教师则加以肯定并进一步引导，对分类后各区间的变化趋势作进一步的探究.

设计意图：学生对电话计费问题有生活基础和一定的认识基础，在给出探究问题后，通过设置几个追问，让学生充分表达自己直观的认识，准备进一步探究。

2.深入探究，建立模型

问题3通过刚才的讨论，你对电话计费问题有什么新的认识？

【师生活动】若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两种计费的比较结果？”，引导学生分类;

若学生已经对问题进行了分类，则追问“为什么这样分类？”以及“在每一个时间区间内是怎么分析的？”，引导学生理性分析.

设计意图：互相参考观点后重新认识问题，方向和结论已经逐步接近合理的方向，此基础上教师帮助学生确定 “分类的关键点”，使学生由“感性认识”逐步过渡至“理性分析”.

问题4设一个月内用移动电话主叫为t（正整数） 分.当 t 在不同时间范围内取值，能列表分别说明两种方式如何计费吗？

设计意图：让学生体验用表格整理信息，并通过列表使学生进一步明确两种计费方式的变化规律，同时考察学生列代数式表示未知量.

问题5观察列表能发现如何根据主叫时问选择省钱的计费方式吗？

【师生活动】一般学生能准确判断“t小于150”“t=150”“t=350"三种情况，而對于 “t大于150且小于350"和“t大于350”两种情况，教师辅助学生分析.

多元对话追问：

（1）当“t大于150且小于350"时，是否存在某一主叫时间使两种套餐的计费相等？为什么？（可利用追赶问题解释）

（2）利用方程求出使两种方式的计费相等的主叫时间，得“t= 270 min”这个关键点.

（3）对于“大于150 min且小于270 min”或大于270 min且小于350 min”时，分别分析并解释哪种计费方式比较省钱？

对于“t大于350"时两种计费方式的比较，教师可以更多地让学生去探究方法并表述，在此基础上加以适当的总结.

设计意图：这一问是本节课的关键，学生通过分类讨论得到“方程模型”，并利用方程求出关键数据，这可以使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力.

问题6在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题。

设计意图：完成建模全过程，再次让学生体会“数学来源于生活，回归于生活，服务与生活”。

3.课堂小结，模型内化

电话计费问题核心是方程问题。

无法整体研究时，要灵活运用分类讨论思想。

分类讨论时可以先看已知条件初步选择关键点。

这类问题中相等关系比起之前更具隐蔽性，但一个量从“小于另一个量”到“大于

另一个量”的过程中，会经历“二者相同”的时刻，这个时刻一般是建立方程的关键。

4.变式训练，延展体会

5.布置作业，深化巩固

六、反思

通过本课的教学，我意识到采用丰富的激励语言和评价方式调动学生积极思考、大胆发言的积极性，“以动带静”，才能提升全班的听课状态。