例谈证明不等式的几种常用方法

2021-02-18 01:19蒋秋霞
语数外学习·高中版下旬 2021年10期
关键词:综合法最值图象

蒋秋霞

一直以来,证明题都是高考中的重要题型,其中不等式证明问题最为常见.此类问题常与函数、三角函数、解三角形等相结合,对同学们的逻辑推理和综合分析能力要求较高.下面我们结合实例来谈一谈证明不等式问题的几种常用方法.

一、综合法

运用综合法证明不等式,需要根据已知的或者已经得到证明的不等式,结合相关的性质、定理、公式等合理进行推导、运算,得出需要证明的不等式,其基本思路是“由因导果”.

處理绝对值不等式的常用技巧是,运用重要绝对值不等式||a - ||b≤||a+b和||b -||a≤||a±b等对不等式进行放缩.在放缩不等式的过程中,要合理把握放缩的度,不能“放”得过大,也不能“缩”得太小.

三、利用函数性质

在证明不等式时,我们常需借助函数思想来解题.首先要根据不等式的特点构造出合适的函数,然后讨论函数的单调性、图象、最值等,建立使不等式恒成立的关系式,即可证明结论.

我们首先将y+x2=0变形,构造二次函数,求二次函数的最值,得出目标不等式左边式子的最小值,再通过指数运算便可证明结论.

一般来讲,不等式、方程、函数之间的联系紧密,因此在运用综合法、放缩法、函数的性质证明不等式时,可将不等式、方程、函数关联起来,根据解题需求将不等式问题转化为函数、方程问题,利用函数的图象和性质、方程的根、判别式等来解题.

(作者单位:江苏省南通市海门四甲中学)

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