圆中常用辅助线的作法

赵瑞国

解与圆有关的几何问题时，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解.因此，掌握作辅助线的一般规律和常用方法，对提高同学们分析问题和解答问题的能力是大有帮助的.下面就介绍几种圆中常用辅助线的作法.

一、遇弦，作弦心距

已知题目条件中有圆的弦时，常添加已知弦的弦心距为辅助线，这样既能直接运用弦心距垂直平分弦的性质，又可以组成直角三角形或者矩形，然后利用勾股定理等知识解答.

例1  如图1，在Rt△中，∠=90°，=8，=15，以点为圆心，为半径的⊙交于点，求的长.

分析：本题中所求AD是圆中的弦，根据求弦的常用方法，先求弦的一半，因此想到过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的長，从而求得AD.

评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理建立通弦、弧、弦心距之间的联系.

二、遇直径，作圆周角

在圆中直径所对的圆周角是直角;反之，在圆中如果圆周角是直角，则该圆周角所对的弦是直径.在解题时，如果出现直径且求角的度数或过程中需要求某角的度数时，常要结合直径作圆周角，再利用直角三角形的一些性质，寻找解题的思路.

例2  如图2，是⊙的直径，是弦的延长线上一点，且=，的延长线交⊙于点.

（1）求证：=;

（2）连接，若∠=25°，求∠的度数.

分析：（1）由AB是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角.连接.首先证明=，推出∠=∠=∠即可解决问题;（2）连接，根据∠=90°﹣∠，只要求出∠即可;

评析： 由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行求解.

三、遇两圆相切，作公切线

当题目的已知条件中有两个圆相切的条件时，常常过切点作它们的公切线，得到弦切角，然后利用弦切角定理获得相等的角，从而寻找解题途径. 一般地，若两圆外切，则添加“外公切线”;若两圆内切，则添加“内公切线”.

例3  如图3，已知：⊙、⊙外切于点，是⊙上一点，直线切⊙于点交⊙于点，直线交⊙于点.

（1）求证：平分∠;

（2）将“⊙、⊙外切于点”改为“⊙、⊙内切于点”，其它条件不变.（1）中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.

分析：（1）欲证平分∠，即证∠=∠，可以过点作两圆的公切线交于点，根据切线的性质得出∠=∠，∠=∠，再通过角与角相互间的关系得出;（2）同（1），只是∠=∠﹣∠=∠﹣∠=∠.

评析： 在解答有关两圆相切的问题时，公切线是连接两圆的“桥梁”，可使两圆的圆周角产生联系，进而运用弦切角定理.

四、遇两圆相交，作公共弦

当题目中有两圆相交的条件时，作辅助线的常用方法是作两圆的公共弦.由于两圆的连心线垂直平分公共弦，这样就可以把两圆的半径、公共弦长的一半、圆心距等集中起来，连通两圆中的弦、角关系，从而寻找两圆之间的等量关系.

例4  如图5所示，已知⊙与⊙相交于、两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.

分析：（1）连接，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠=∠，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠=∠，等量代换得到∠=∠，根据内错角相等得到两直线平行即可;（2）根据切割线定理得到=·，求出的长，然后再根据相交弦定理得·=·，求出，再根据切割线定理得=·=·（+），代入求出即可.

评析：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，通过公共弦建立两圆之间角的等量关系.解答本题要注意弦切角定理、圆周角定理、切割线定理的合理运用.

总之，圆中添加辅助线的方法多种多样，在解题过程中要仔细推敲题设，找出已知量与未知量间的关系，巧妙添加辅助线建立起两者之间的联系，从而快速、准确地找到解题的突破口.