浅谈在数学教学中建模思想的培养及应用

李勇

20世纪以来，数学最大的变化和发展是应用，数学几乎渗透到了所有学科领域。为了适应数学发展的潮流和未来社会人才培养的需要，美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视数学建模教学。现在全日制九年义务教育的《数学课程标准》（以下简称为《标准》）也指出“对于新课程来说，最重要的是使学生真正理解数学。在这个意义下，数学建模和数学应用被证明是非常成功的。在这样的背景下，相对于大量的计算和推理，相对于数学知识和技能的积累，数学的应用或者说数学建模在学校教育中的作用显得越来越重要了”。

数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程中，因此，在初中阶段渗透数学建模思想方法，增强应用意识，是贯彻新课标的要求，是对学生进行素质教育，提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题能力的需要。下面结合初中数学教学的实践，谈谈培养学生数学建模思想的几点体会。

一、结合教材，选取贴近学生认知水平和生活实际的问题，培养学生运用数学建模思想方法的意识

在传统的教学中我们强调的是对数学概念的理解，对数学定理、公式的证明和推导，对各类题型进行一招一式的训练，而忽视如何从实际问题出发，通过抽象概括建立数学模型，再通过对模型的分析研究，然后返回实际问题中去的认识问题和解决问题的训练。其结果是被动的接受和机械的模仿，体会不到数学的价值，享受不到数学学习的乐趣，“应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。”因此，在教学中， 应结合具体的教学内容采用“问题情景-建立模型-解释、应用与拓展”的过程来进行。把学生置于研究现实的未知的问题情境之中，师生共同讨论，分析寻找数量关系或函数关系，将实际问题数学化，使学生在探求解决问题方法的过程中体会到方程、不等式、函数、平面图形等都是刻画现实世界的数学模型，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力和自信心。

（一）树立方程模型思想。在有关方程知识的教学中， 《标准》要求我们，“能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。因此要鼓励学生积极参与解决问题的活动，自己去探索、研究、寻求具体问题中的数量关系，进而列出方程，解决问题。

例1.某商场服装柜销售 “宝宝”牌童装，每件进价为60元，售价为100元时，平均每天可售出20件。为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天销售这种童装能得到销售利润1200元，那么每件童装应降价多少元？

这是一个贴近学生认知水平和生活实际的问题。降价能促销，销量大能增加利润，学生是认知的。但是要达到目标利润，应降价多少元？在解决这个问题中，先让学生认识问题中的数量关系，寻找数量相等关系，而不是头头是道地给学生分析等量关系，给学生把问题分类。学生通过问题情景可以找到两个等量关系：①每件商品销售利润 = 每件商品的售价-其进价;②每件商品的销售利润×每天商品销售量 = 每天商品销售总利润。但是，哪个是关键的等量关系？也就是要使问题得到解决的数量相等关系。经过学生的讨论，找到关键的等量关系是：每件商品的销售利润×每天商品销售量 = 每天商品销售总利润，把这个实际问题数学化，进而列出方程，使问题得解。在这里，关键的相等关系：

每件商品的销售利润×每天商品销售量= 每天商品销售总利润。

实际问题数学化：（设每件童装应降价x元）

（100-60-x）（20 + 8×   ）= 1200。（方程模型）

解得x=10或20，即每件童装应降价10元或20元。

接着向学生提出是降价10元还是降价20元？很快会有各种各样的意见出来。但是不管怎样，降价10元还是降价20元都能使平均每天销售这种童装能得到销售利润1200元。

这样，在教学中不是把各种应用题的解法当做现成的结论来教，而是通过探索、研究、寻求具体问题中的相等关系，把问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来，然后经过数学的处理得到定量的结果，以供人们分析、预报、决策或者控制，使學生逐步学会把实际问题归结为方程模型，感受到方程与实际问题的联系，提高解决问题的能力。

（二）树立不等式模型思想。现实世界除了数量的相等关系，还存在大量的不等关系。在解决实际问题中，必须分清问题的等量关系或不等关系，否则解决不了问题。在涉及数量的不等关系的问题中，建立不等式模型能使问题容易得到解决。

例2.某火车站的站台上有甲种货物1280吨，乙种货物990吨，要安排用一列货车将这批货物运往广州。这列货车可挂A、B两种不同规格的车厢50节。已知甲种货物30吨和乙种货物15吨可装满一节A型车厢;甲种货物20吨和乙种货物25吨可装满一节B型车厢。按此要求安排A、B两种车厢的节数，有几种运输方案？请你设计出来.

在这个问题的教学中，我不急于讲出是等量关系或不等关系，先让学生自己来解。有的学生根据学过的知识，认为这是一个方程问题。于是列出方程：

30x+20（50-x）=1280，或15x+25（50-x）=990，（A种车厢为x节，B种车厢为（50-x）节。）解得=26或28，那么只有两种运输方案。

这个答案是对或错？我提出=27是这个问题的解吗？经过学生的检验，发现上面的解法是漏了一个方案。为什么出现这种情况？我引导学生认真阅读例题，把“问题情境”翻译为数学语言，找出问题的目标与条件的关系：安排A、B两种车厢的节数来装甲、乙两种货物，而甲、乙两种货物数量分别为1280吨和990吨，不能多于这两个数，就可以知道这是不等关系而不是相等关系。因为这里有两个不等关系：①A、B两种车厢装满甲种货物不大于1280吨;②A、B两种车厢装满乙种货物不大于990吨，通过列不等式组求解。设用A型车厢节，B型车厢（50-x）节，得

30x+20（50-x）≤1280

15x+25（50-x）≤990

解得26≤x≤28。因为x为正整数，所以只能取26、27、28，相应（50- ）的值分别为24、23、22，共得3种调运方案：安排A型车厢26节，B型车厢24节;安排A型车厢27节，B型车厢23节;安排A型车厢28节，B型车厢22节。

通过分析问题中已知量和未知量的大小关系，“翻译”成表示已知数和未知数之间的大小关系的不等式，即得到刻画实际问题的大小关系的数学模型，使学生树立不等式模型思想意识，提高他们运用数学模型解决实际问题的兴趣。

（三）树立函数模型思想。函数是初中数学一个重要的学习内容，是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。在教学中培养学生能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，解决简单的实际问题。

例3. 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图1）划出一块长方形的地面修建一幢商品楼，已知EA=60m，BC=90m，CD=80m，DE=120m。问如何设计才能使商品楼地面面积最大，并求最大面积。

这个实际问题是求商品楼地面面积的最大值。

商品楼地面显长方形，其地面面积最大值受其边长大小的影响，而边长的大小受这块形状不规则的荒地的影响。边长是个变量，因此面积也是一个变量，是边长的函数。要把这个问题中变量之间的关系找出来，才能解决问题。观察图形可看到要使所建商品楼的长方形GHID的面积最大，顶点H应在线段AB上。我让学生计算：

①长方形GHID的顶点H在点A上的面积：

EA·AI=60×120=7200（m2）;

②长方形GHID的顶点H在点B上的面积：

CD·BC=80×90=7200（m2）。

③长方形GHID的顶点H在线段AB（不含A、B两点）上的面积。这时长方形GHID的边长HI和GH都是变量，面积是边长的函数。把边长HI和GH用一个变量表示。指导学生画出图2，设长方形GHID的邊长HI=x，GH=y，利用相似三角形的性质可以得到：

=           ，得y=80-   （x-90）。

则原问题转化为二次函数模型：

∴S=xy=-     x2+140x（90≤x≤120）。

将这二次函数关系式配方，得

S=-    （x-105）2+7350

所以当x=105时，S的最大值为7350，这时可求得y=70。把求得的面积和①、②计算出的面积比较，得当HI=105m，GH=70m时，商品楼地面面积最大值为7350m2。

通过分析问题中变量之间的关系，得到刻画实际问题中变化规律的数学模型，使学生提高探索、发现和创新能力。由于数学与其他学科联系日益密切，涉及到其他学科的知识和生活知识的变量问题，又如何建立适当的数学模型来解决？

例4.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，已知人和木板对湿地地面的压力合计600N。根据经验，人和木板对湿地地面的压强不超过6000Pa可以顺利通过，问铺垫的木板面积至少要多大？

在这个实际问题上，没有明显的数量关系和变化规律，学生感到束手无策。引导学生从“压力”“压强”等文字联想到物理公式：压强=                   。当压力一定时，压强与受力面积成反比例。这时学生认识到人和木板对湿地地面的压强与铺垫的木板面积是反比例函数关系，可建立反比例函数模型：p=      （S>0）。由p≤6000Pa，解得S≥0.1m2，即铺垫的木板面积至少是0.1m2 。

根据物理知识建立的反比例函数（下转第39版）（上接第38版）模型，探索了数学建模跨学科的综合应用，拓宽了学生的视野，丰富了学生对数学的认识，使学生更好地领会数学建模思想。

（四）树立平面图形模型思想。平面图形是刻画现实生活的直观的、形象化的数学模型。从现实生活空间中抽象出平面图形模型，探索图形的性质，能解决一些实际问题，更好地认识现实世界，利用图形的直观性，使问题简捷易解。

例5.如图所示，一只蚂蚁在一个母线长为12cm，底面半径为4cm的圆锥形纸筒的底边A点出发，沿侧面爬行一周又回到A点。问这只蚂蚁沿哪条路径爬行最近？你能帮它找出来吗？

并计算蚂蚁爬行的最短路程。

这是一个日常生活的问题，学生认识到蚂蚁爬行的最短路径是直的，是一条线段，但是圆锥的侧面是曲面，只有在平面上才能得到一条直的路径。引导学生从这个实际问题中抽象出一个平面图形，如图所示。这是圆锥体的侧面展开图，是一个扇形。这样，蚂蚁爬行的最短路径清晰明了，线段AC的长便是蚂蚁爬行的最短路程。在ΔSAC中，SA=SC，过点S作SD⊥AC于D，则SD平分∠ASC，且平分线段AC。由           =2π·4，得n=120，

即∠ASC=120°，∠ASD=60°，

AC=2AD=2SA·sin60°=12  3 cm。所以蚂蚁爬行的最短路程为12  3 cm。

二、学习从情境中辨认模型，提出模型，让学生体会到数学建模的思想

数学模型来自于实际问题的情景，有的实际问题的数量关系和变化规律有一定的隐蔽性。对于某些实际问题中变量之间的关系，引导学生结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，确定该问题是属于哪种函数模型，使问题得到解决。

例6.某商场在国庆节其间搞促销活动，一次性购买T恤的数量与售价关系如下表：

T恤的数量（件） 1 2 3 4 5 6 7

售价（元） 30 58 88 116 145 174 200

问：根据上表的购买T恤的数量与售价关系，若一次性购买10件需要多少元钱？

这是一个商品售价随着销售量变化而变化的问题，用函数关系来解决。但在这个实际问题中，没有明显的属于哪种函数关系，怎样辩认？统计表所给的数据看不出一次性购买T恤的数量与售价关系的规律，但是可以通过函数的图象来观察。

于是让学生由“件数”和“售价”的“数对”，建立直角坐标系，描出各点位置，观察连线接近的函数图象，“由数到形”，再“由形到数“，用几个点的坐标找出与之相近的模拟函数。

设购买T恤的数量为x件，相应的售价为y元，根据上表作出图象。

学生观察上面图象，看到表示几个数据的七个点近似地在一条直线上，接近一次函数的图象，可用一次函数关系式来解决。于是设函数关系式为：y=kx+b，把（1，30），（5，145）两点坐标代入关系式，解得k=28.75，b=1.25。由此建立一次函数模型：y=28.75x+1.25。将x=10代入上式，得y=288.75，即一次性购买10件约需要288.75元。

学生学习和实践了根据数据拟合出一个适当的函数模型，体会到数学建模的思想。

三、充分利用教材的活动课题，组织学生开展课外数学活动，从生活中建构数学模型，培养学生的数学建模思想

在《标准》的实验教材中有许多活动课题，这给予我们培养学生的数学建模思想，尝试用所学的知识解决问题提供了一个平台。利用这个平台，使学生在生活中构建数学模型，领会数学建模的思想和方法，提高解决问题的能力。

例7.活动课题：利用直角三角形的边角关系测量底部不能到达的物体高度。

活动课在室外进行，要求学生每人准备一个简易测倾器，五人为一组用自做的测倾器测量底部不能直接到达的学校实验楼的高度（楼高五层）。学生在课堂上已学习过测量建筑物高度的方法，在实地测量显得格外兴奋。按照测量的步骤，首先在实验楼前选两个测点A、C，用自做的测倾器由两个测点测得楼顶的仰角，再量出测倾器的高和两个测点的距离。

要把这个问题的已知量和未知量之间的关系清晰地表示出来，学生都认识到要画出图形，化数为形。如上图所示（平面图形模型）：PF为楼高，AB、CD為测量仪高，AC为两测点间的距离，由A点测得楼顶的仰角为α，C点测得的仰角为β。那么如何计算楼的高度？经过大家的分析，认为在测量过程中，得到的数据是固定的，已知量和未知量之间具有相等关系，利用直角三角形的边角关系，可列出方程求解，进而得到实验楼的高度。在测量中还有意外的收获：有的学生发现如果两个测点的距离太近，由测倾器测的两个仰角的度数几乎一样，测量的误差就很大，而在距离10m以上的测量结果才较准确。我立即组织学生来检验，发现两个仰角的度数几乎一样时，就有tanα≈tanβ，         -         ≈

0，那就得不到楼的高度。为了使测量准确性大些，要求学生取两个测点的距离不少于20m。收集各小组的测量数据的平均值，得到∠α=28°35'，∠β=67°17'，AC=22m，测量仪高1.5m。设楼高xm，根据直角三角形的边角关系，得：

22+               =                。（方程模型）

由此解得楼高x≈17.03m.

活动结束后，学生撰写活动报告，并且把测量得到的实验楼高度与该楼实际高度相比较，误差少于0.5m。通过课外的活动课，学生经历了数学建模的全过程，逐步树立数学建模的思想方法，增强了应用意识。

由此可见，在初中数学教学中渗透数学建模思想，增强应用意识，能使学生感受到数学与实际的联系，使学生在学习数学过程中认识到不仅要重视数学内容的本身，还要重视这些内容所反映的重要的数学思想和教育价值。他们不再把数学学习看成一种纯粹的习题训练了，而是在问题解决的全过程中得到学数学、做数学、用数学的实际体验。通过数学建模思想的培养，学生亲身体会到数学探索的愉悦，提高学习数学的兴趣，提高了数学成绩，并且为在高中阶段进一步学习数学建模，学好数学知识打下良好基础。

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S]，北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]中学数学教学参考，2019，6.

（责任编辑：郑晓玲）