《直线与圆的位置关系》教学设计

赵泽林

一、教学内容分析

《直线与圆的位置关系》是北师大版高中数学教材必修2第二章解析几何初步第2节的内容，本节课是高三一轮复习第九章平面解析几何第四节内容，本节课主要针对学过的圆的标准方程和一般方程的运用，讨论直线和圆的位置关系。

二、学生情况分析

高三学生都在高一必修二部分学过本节知识，可是放的时间太长，遗忘的太多，而学生在对直线与圆的位置关系问题处理时，思维方法（几何法和代数法）在高一的时候就掌握的不好，对于简单的问题还可以正确完成，但对于综合性的题目解决能力欠缺。此外学生虽然升入高三，但是相当一部分的计算能力需要更多的锻炼，而学生解题的意志力也是需要继续提高，自我认知和自我肯定的意识还需要完善，希望学生通过本节课的学习能取得一些进步。

三、设计思想

本节课是落实数学核心素养“数学建模”的实践案例研究课题的一次实践，从实际问题引入，通过微课带领学生回归课本，复习教材所学重点知识，从而解决问题。然后由四位学生代表完成四道例题的讲解，题目设计基于最近发展区原则，通过学生提前预习导学案，让学生的学习目标更明确，就是要体现“以教师为主导，学生为主体”的教育理念，所以数学课堂教学从过去的“教师唱主角”变为“学生演大戏”，充分发挥学生的主体作用，让学生在获取知识的同时，实现自我，展示自我，增强学生学习的兴趣，提高高三数学复习课的实效性。最后高考链接的环节设计紧跟命题趋势，觉察命题变化，把握命题理念，直面高考题，增效提分。

四、教学目标

1.能够熟练运用几何法，代数法判断直线与圆的位置关系。

2.通过微课学习和同伴讲解，理解并能用几何法，代数法判断直线与圆相交，相切，相离三种位置关系，培养学生的分析问题和解决问题的能力。

3.通过学习直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，培养学生观察，分析问题的能力。

4.通过问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生积极参与学习，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，树立学习数学的自信心。

五、教学重点与难点

教学重点：判断直线与圆的位置关系。

教学难点：能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。

六、教学过程设计

（一）创设情境，引入新课

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

[设计意图：用实际例子引入，让学生感受到生活中处处有数学，通过对问题的分析解决让学生感到数学的应用价值，将“数学建模”思想潜移默化的渗透到教学中去，激发学生学习的兴趣与欲望。]

（二）回归课本，抽象概括

微课视频1

问题1 判断下列直线x+y-1=0与圆（x-1）2+（y-2）2=9的位置关系。

问题2 设直线kx-2y-3k+8=0与圆（x-1）2+（y-2）2=9的位置关系。

问题与思考：问题 1、问题2还有别的解法吗？请同学们交流。

判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

（1）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.（最重要）

?相交;?相切;?相离.

（2）代数法：判别式

[设计意图：通过微课视频的学习，复习回顾必修2教材本节课的内容，回归课本弄清问题与思考的内容，自然抽象概括出判断直线与圆的位置关系常用的两种方法，并总结提炼。]

（三）典例剖析，多维探究

命题点1 位置关系的判断

命题点2 弦长问题

命题点3 切线问题

命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题

思维小结：（由学生完成，教师适当补充）

（1）判断直线与圆的位置关系常用几何法.

（2）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.

（3）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.

[设计意图：让学生自主完成知识点的解题方法的小结，不仅可以增强学生的成就感，同时还可以训练学生对数学问题的分析和表达能力，培养学生数学素养，使得本节课的重难点突破的水到渠成。]

（四）数学建模，答疑解惑

计算圆心到直线的距离与半径比较大小，

所以直線与圆外离，就是说这艘船不会受到台风影响。

[设计意图：让学生体验数学建模具体过程为：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。再运用数学语言，表达数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成简洁的解题过程。渗透“数学建模”思想，潜移默化的将数学素养的培养起来。]

（五）检测强化，达成目标

（六）课堂小结，深化认识（由学生完成，教师适当补充）

1.知识技能：直线与圆相切、相交、相离

2.过程与方法：几何法、代数法

3.数学思想：数形结合、逻辑推理

4.数学核心素养：数形建模、直观想象、数学运算

[设计意图：让学生自主完成课堂知识的小结，这样不仅能巩固知识，检验效果，强化兴趣，还能激起学生求知的欲望，活跃思维，开拓思路，发挥学生的创造力，在热烈、愉快的气氛中把一堂课的教学推向高潮，达到了“课结束，趣犹存”的良好效果。]