临坡抗拔条形锚板破坏模式及极限承载力上限分析与试验验证

杨明辉，黄虎，邓波，黄明华

（湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082）

条形锚板基础因可提供抗拔承载力且施工方便、经济等优点而在岩土工程领域运用广泛[1-3].与平地环境下的基础相比，不少抗拔锚板设置于临坡环境，如边坡支挡结构、山区信号塔工程及海洋临坡码头等，此时，其边坡一侧土体的缺失导致其承载能力及土体破坏模式与平地环境截然不同，对称模式下的常规抗拔机理分析不再适用.可见，开展适合临坡段锚板抗拔承载力的研究，具有重要的工程意义和理论价值.

众所周知，锚板上拔过程中的抗拔承载力由土体破裂面内土体的重量和破裂面上的摩擦阻力组成，因此破裂面形态直接决定了锚板极限承载力.对于平地情形的条形锚板，其两侧破裂面是对称的，不少学者基于试验结果及理论分析，提出了不少土体破裂面的分布方程，基本可分为直线型与曲线型两类.直线型破裂面大都认为直线与水平面夹角成45°-φ/2 或45°+φ/2（φ 为土体内摩擦角）[1-3]，曲线型则包括圆弧形破裂面[4]、对数螺旋型破裂面[5-6]、破裂面与竖直方向的夹角为砂土剪胀角的曲面等.而对于靠近边坡的条形锚板，目前破裂面的研究较少且缺乏试验的直接观测.Ganesh 等[3]假定锚板两侧土体破裂面为非对称的直线破裂面，二者与水平面夹角相等，但临坡一侧破裂面延伸至边坡；而Choudhury 等[6]则假定破裂面为对数螺旋线，并获得了地震作用下的抗拔承载力的影响因素，但该类锚板直接埋置于倾斜地面处，而非靠近边坡.

此外，由于土体破裂面位于土体内部，试验观测具有一定难度，不少学者绕开破裂面的求解，采用数值分析方法对临坡处的条形锚板的承载能力及影响因素进行分析.如Bildik 等人[7]采用PLAXIS 有限元软件分析了临近砂土边坡锚板的抗拔承载力，研究了锚板的埋深比λ（锚板埋置深度H/锚板宽度2b，下同）、边坡角度α（下同）、临坡比ε（锚板边缘到坡顶水平距离d/锚板宽度2b，下同）和不同砂土密实度（下同）对于锚板抗拔承载力的影响；Bhattacharya[8]和Khuntia 等[9]运用有限元分析方法，分析了临近黏性土边坡锚板的抗拔承载力.然而，数值分析方法由于未形成具体公式，难以在工程实际中得到推广.

鉴于此，本文采用极限分析上限法[10-11]，并考虑土体非线性强度准则和相关联流动准则，依据变分极值原理推导临坡锚板上方土体破裂面表达式及抗拔承载力的上限解.而后，开展临坡段条形锚板的抗拔承载对比试验，对理论计算方法进行对比分析，以验证该上限解答的有效性.最后，对影响临界临坡比的影响因素进行了探讨，以期为临坡锚板设计提供一定参考.

1 锚板极限抗拔承载力上限分析

基于运动学定理的极限分析上限法，由于其无须知道土体内部应力和应变随外荷载的变化状态，只需要求出土体最终破坏状态及对应的破坏荷载，从而大大简化求解过程，因此在边坡稳定性分析及结构物承载力计算中得到了广泛应用[12-14].在锚板承载力分析中，亦有不少研究，如王洪涛等[12]、黄明华等[13]和Zhao 等人[14]基于非线性强度准则和相关联流动准则，采用极限分析上限法及变分原理获得了水平浅埋条形锚板的抗拔承载力和破坏机制，本文将其进一步应用至临坡段条形锚板的分析中.

1.1 材料非线性模拟

为描述土体材料强度特性，采用形式简单、应用较广泛的非线性Mohr-Coulomb 强度准则来模拟临坡锚板在上拔过程中达到破坏时的剪应力和正应力关系[12-14]，如图1 所示，其表达关系式如下：

式中：c0、σt分别为土体初始黏聚力和单轴抗拉强度，可通过试验确定；m 为无量纲非线性系数，其描述土体强度包络线的弯曲程度，m≥1.而当m=1 时，式（1）即退化为线性Mohr-Coulomb 强度准则，内摩擦角可表示为tan φ=c0/σt.

图1 非线性强度准则Fig.1 Tangential line for a nonlinear failure criterion

根据非线性强度准则和相关联流动准则，可确定屈服函数F 和塑性势函数δ 为：

1.2 临坡条形锚板计算模型

如图2 所示，假设条形锚板为刚性体，将临坡抗拔锚板模型视为平面应变问题，取单位长度锚板进行研究.具体参数如下：边坡倾角为α，土体重度为γ，锚板宽度为2b，埋深为H，极限抗拔承载力为Pu.以锚板所在位置中心为坐标原点，水平线向临坡的另一侧为x 轴正方向，竖直线向上为z 轴正方向，建立速度大小为，方向为沿z 轴正向的机动许可速度场，假定如下：

1）锚板两侧土体破裂面为非对称分布[12]：临坡侧破裂面起始于锚板临坡侧底面，曲线向上延伸至坡面，未临坡侧破裂面与水平地面处情形一致.

2）综合众多试验现象[15-17]，假设锚板上方左右两侧土体破裂面为曲线破裂面；曲线方程假定为fL（x）和fR（x），其在坡面和地面处的水平向破裂宽度分别为xL和xR，g（x）和g（-x）为坡面方程.

3）随着临坡比ε 增大，临坡一侧破裂面与坡面的交点不断上移.而当ε 等于某一临界值时，临坡段抗拔锚板与水平地面处抗拔锚板破坏机制完全一致，即两侧破裂面完全一致.

图2 临坡段抗拔锚板几何示意图Fig.2 Failure mechanism of strip anchor near a slope

1.3 破坏机制的内能耗散率

将锚板左右两侧破裂面视为有一定厚度w 的薄变形层，在薄变形层上的剪应力τ 和正应力σ 在破坏时均满足式（1）非线性强度准则.可得到破裂面处薄层的塑性应变率：

为满足变形相容协调条件，式（3）和式（5）中的塑性应变率分量应相等，结合两式可导得两侧破裂面处的正应力σn：

在此只考虑发生在锚板两侧土体破裂面处的内部能量耗散，薄变形层处单位体积的内部能量耗散率，即

将式（7）分别沿着锚板左侧破裂面fL（x）和右侧破裂面fR（x）进行积分，即可得到锚板两侧破裂面的能量耗散率表达式：

1.4 外力做功功率

1.5 锚板抗拔承载力上限分析

根据虚功原理，研究对象内部能量耗散功率与外力做功功率相等，即：

将式（10）～式（12）代入式（13）中，整理可得临坡条形锚板极限抗拔承载力的表达式为：

式中：ΛL、ΛR为两个泛函数.

根据极限分析上限定理可知，对于假定的任何机动许可速度场，由式（14）确定的极限抗拔承载力应大于等于真实锚板极限抗拔承载力，所以需要在所有上限解中寻找最小值作为理论解.而Pu大小是由两个泛函决定，故问题可转换为求解两个积分泛函在所对应区间内的最小值，由变分极值条件可得：

分别将式（15）和（16）代入式（17），得

式（18）为二阶常系数线性微分方程，将两式两边分别对x 进行积分，整理后可得：

式中：A1、A2、A3、A4均为常数，可由以下边界条件确定.

由于在坡面和地面处没有切向力作用，故在坡面和地面处取微单元体，根据体力平衡，该微单元体的τ=0.此外，式（19）和式（20）还应满足下列几何边界条件：

整合式（19）～（22）可求得4 个积分常数表达式，整理后可以得到破裂面的方程表达式，即

若土体参数及非线性参数已知，xL、xR可由下列方程组求得：

将式（23）（24）代入式（14），可得：

当α=0°时，式（26）简化为：

式（26）即为临近边坡时条形锚板极限抗拔承载力的表达式，对比式（27）可知，该Pu值与文献[12]中极限承载力计算理论公式一致，可见，文献[12]为本文推导公式在边坡角度为零（即平地）时的特例.

2 试验验证

基于极限上限理论推导的曲线破裂面及承载力计算公式需实测数据予以验证.本文开展了不同坡角及不同临坡距离的抗拔条形锚板承载对比试验，并使用平地情形下的条形锚板作为坡角等于零的特例，进行了抗拔对比试验.

2.1 试验装置与设备

临坡条形锚板抗拔承载力模型试验设备主要由试验模型箱、锚板、加载反力架、整合位移与力传感器的伺服液压动作器、液压加载控制系统及DIC（Digital Image Correlation）设备组成，如图3 所示.模型箱由三面钢板与两面透明钢化玻璃通过螺栓固定而成（DIC 高清相机通过透明玻璃可观测到土体侧面变形），模型箱的内部尺寸为2 100 mm×800 mm×500 mm；锚板则由厚度为10 mm 的钢板制成，尺寸为498 mm×100 mm，其长宽比L/B 为4.98，可看作为条形锚板；锚板通过圆环与伺服动作器上的圆弧型挂钩连接，以给锚板施加竖直向上的上拔力荷载.除此之外，采用DIC 设备包括高清相机对锚板及周边的砂土变形进行跟踪拍摄.

DIC 图像关联技术是计算机技术、光电技术、图像处理与识别技术相结合的产物，是一种非接触的、用于全场形状、变形、运动测量的方法[17].其基本原理是将所观测物体表面随机分布的人工散斑作为变形的信息载体，该载体以像素点为坐标，但各像素灰度均不同.在算法进行处理之前，先选取一个正方形区域图像字块，以子块中心为跟踪的像素点，当材料发生变形时，通过跟踪一系列像素点变形后的位置得到相应的位移矢量.再经过分析多个子块的位移，从而得到整个观测区域的位移场.DIC 图像之间的匹配通过建立交叉关联函数进行，交叉关联函数为：

式中：Ru（Δx，Δy）为相关联函数；M、N 为图像块的尺寸；I 和I′分别为t1和t2时刻在坐标（i，j）和（i+Δx，j+Δy）处的图像灰度分布函数值；（Δx，Δy）为位移的增量.

图3 试验设备示意图Fig.3 The test equipment

2.2 试样制备与加载

试验中采用的试样为砂土，砂土的土体参数是通过开展了砂土大型直剪试验测得，其物理性质指标如表1 所示.

试验过程中采用分层压实法构筑试验边坡，每层填筑的砂土厚度为70 mm，其用量根据边坡角度的不同通过计算得到，当砂土堆填到200 mm 高度时，将锚板放置在预先标定位置，然后继续采用相同的方法将砂土堆填至700 mm 高，保证每一组试验锚板埋深比λ=5.

表1 土体基本参数Tab.1 The parameters of soil

锚板的上拔速度控制为2.4 mm/min，参考Ghaly[5]、Ilamparuthi[15]、张昕[17]等人试验，其中埋深比设置为2～16，锚板上拔最大位移为20～40 mm，为保证锚板充分上拔，在本文试验中当锚板上拔位移达到60 mm 时停止试验.锚板上拔过程中，DIC 相机每隔2.5 s 拍摄一张图像，同时，利用DIC 图像处理程序对采集到的图像进行处理，得到位移路径，直至锚板上拔完成后停止拍摄.

3 试验结果验证与分析

3.1 土体破裂面对比

在锚板上拔的过程中，DIC 相机可清晰地记录锚板周围砂颗粒的移动轨迹，在图像处理软件中沿竖直方向设置一系列等间隔的水平线，在每一条水平线上，砂颗粒的垂直位移从条形锚板中心向左右两侧逐渐减小，如图4 所示.与Ilamparuthi 等[15]所提出的方法类似，将每条水平线上竖向位移为零的点视为不动点，再连接一系列不动点以形成曲线，该曲线连接线即可视为锚板周围土体的破裂面SL和SR.

图4 土体破裂面确定方法Fig.4 Method to determine the soil failure surfaces

图5～图7 为基于本文理论上限解确定的土体破裂面与试验结果的对比.图5 为平地锚板两侧土体理论破裂面与试验破裂面的对比图，其中FL与FR为理论破裂面，由图可知两组破裂面均呈对称分布.图6 和图7 分别为不同边坡角度情况下的理论与试验的破裂面比较图，其中SL和SR为试验得到的破裂面.边坡角分别为15°和30°临坡锚板的土体破裂面趋势大致类似，随着临坡比增大，锚板两侧破裂面由非对称趋于对称.其中临坡侧破裂面起始于锚板临坡一侧曲线向上延伸至坡面，锚板临坡另一侧破裂面曲线向上延伸至水平地面.该现象与本文的假定条件2 吻合；而临坡比增大，临坡侧破裂面与坡面交点不断上移，锚板两侧土体破裂面趋于对称，直至临坡比增大到某一临界值，此时锚板两侧土体破坏机制与平地一致，可忽略边坡对锚板的效应，该现象则与本文假定条件3 吻合，如图5 与图7（d）所示.

可见，本文理论计算得出的破裂面形态与实测曲线具有良好的吻合度.相比较而言，临坡锚板左侧破裂面理论结果与试验结果吻合程度更好；但随着临坡比的增大，右侧破裂面理论与试验结果逐渐逼近.

图5 平地锚板的土体破裂面Fig.5 Comparison of soil failure surfaces in horizontal ground

图6 坡角为15°时临坡锚板的土体破裂面Fig.6 Comparison of soil failure surfaces when α=15°

图7 坡角为30°时临坡锚板的土体破裂面Fig.7 Comparison of soil failure surfaces when α=30°

3.2 锚板极限抗拔承载力

选取荷载位移曲线图中的峰值点作为条形锚板的极限抗拔荷载，如图8～图10 所示.为便于比较，参照文献[7]，设定抗拔承载力系数Nr为：

式中：γ 为土体的重度；A 为锚板的面积；H 为锚板的埋置深度.

图8 当α=30°，不同ε 时锚板的荷载位移曲线图Fig.8 Load displacement curves with different ε when α=30°

图9 当α=15°，不同ε 时锚板的荷载位移曲线图Fig.9 Load displacement curves with different ε when α=15°

图10 埋置于平地时锚板的荷载位移曲线图Fig.10 Load displacement curves of anchor buried in horizontal ground

由图8～图10 可知，锚板上拔极限荷载所对应的锚板向上位移约为10 mm，但需要指出的是，在达到上拔极限荷载后，锚板继续上移所带动的土体仅为滑动面以内的土体，因此，锚板的滑动面形态保持不变.这与Ghaly[5]和Ilamparuthi[15]等人的试验结果一致.

表2 为Nr的理论值与试验值的对比.可知，两者结果对比最大误差在13%以内，最小误差仅为1.6%.仔细比较可知，理论值略大于试验结果，但随着临坡比的增大，二者误差逐渐减小.其原因在于锚板右侧破裂面在临坡比较小时并未完全等同于平地条件下的对称破裂面，随着临坡比增大，临坡条形锚板右侧破裂面逐渐逼近平地条形锚板破裂面，故理论解随着临坡比增大而更接近试验结果.

通过以上对比结果表明，临坡条形锚板的抗拔承载力与本文理论解计算结果误差均在13%以内，而土体破裂面模式也基本吻合，验证了理论解的合理性.

表2 Nr 的理论公式解与试验结果对比Tab.2 Comparison between calculation of Nr and test value

为了进一步验证该理论模型的合理性，本文结合文献[1]的锚板抗拔试验结果及其理论解析进行对比分析，文献[1]在试验中分别选取了3 组土体，即细砂、中砂和密砂.图11 为本文理论解与文献[1]试验结果及极限平衡法的对比情况.由图11 可知，本文理论解与文献[1]试验结果吻合较好，趋势基本一致，锚板的抗拔承载力系数随着埋深比增加呈线性增加，且相比极限平衡分析法，本文理论解更接近于试验值.

图11 本文理论解与文献[1]试验结果的对比Fig.11 Comparison of theoretical solution and experimental results in reference[1]

4 关于临坡抗拔条形锚板临界临坡比的讨论

对于临坡处的条形锚板，可以预见的是，当临坡比达到某一临界值εcr时，边坡对于锚板承载力和土体破坏机制已几乎没有影响，此时，可完全按照平地处的条形锚板进行设计计算，无须考虑边坡的影响，因此确定临界临坡比的值具有重要的意义.

由图12 可知，锚板左侧破裂面随着边坡角度的减小，其破裂面逐渐扩大，直至边坡角度为零（平面状态），此时左侧破裂面扩大至最大，即边缘点至锚板中线距离xL达到最大值，与右侧破裂面呈完全对称形态，此时其极限承载力计算即可完全按照平地公式进行计算，因此，可以将此时的临坡比作为临界临坡比.

图12 不同边坡角度的土体破裂面Fig.12 Shape of soil failure surfaces with different slope

可见，在边坡角度大于零度，即存在边坡效应时，总有xL

由式（25）可以求得xL和xR，其中取xL=xR时的临坡比为临界临坡比偏大偏安全，如边坡角度较小且临坡比也较小时，锚板临坡侧破裂面还未完全对称于另一侧的破裂面，但此时锚板的抗拔承载力已经接近同等情况下平地锚板抗拔承载力.通过代入土体非线性参数计算，可以得到临界临坡比的表达式，如当m=1.0，有

当m=2.0 时，有

由式（30）（31）可知，临坡条形锚板的临界临坡比随埋置深度和初始黏聚力的增大而增大，但随着单轴抗拉强度增大而减小.

5 结论

本文引进极限分析理论，对位于靠近边坡的条形锚板的破坏模式及极限承载力进行了深入分析，并开展了相应的室内模型试验，对所提出的理论方法进行了对比验证.最后对临界临坡比的影响因素等问题进行了探讨.主要结论如下：

1）基于变形破坏机理和极限分析上限定理，考虑土体非线性特性及相关联流动准则，构造临坡锚板达到极限破坏状态的运动许可速度场，导得了临坡锚板极限破坏状态下土体破裂面曲线方程及极限抗拔承载力计算公式.

2）通过一系列改变边坡角度和临坡比的临坡条形锚板抗拔室内模型试验，得到了锚板极限抗拔承载力与位移的关系曲线图以及临坡锚板两侧土体的位移变化及破裂面.试验结果与理论计算结果对比验证了理论方法的有效性，可为临坡锚板抗拔基础设计提供一定参考.

3）导得了临界临坡比的通用公式，结果表明临坡锚板的临界临坡比与锚板埋置深度及土体参数有关，其随埋置深度和初始黏聚力的增大而增大，随着单轴抗拉强度的增大而减小.