融入数学文化的教学实践与思考——以《导数及其应用》第一课时为例

陈财钗

(福建省三明市大田县第一中学 366100)

文化是什么？没准确的定义，但共同的理解是相对于经济、政治而言的人类全部活动及其产品.

谈到数学文化，往往会联想到数学史.数学史对学生数学素养的培养起着重要的作用.以数学史为背景进行课堂教学，可以培养学生探究能力，可以培养学生敢于挑战、勇攀高峰的科学精神.笔者以《导数及其应用》第一课时为例，谈谈如何融入数学文化进行课堂教学.

【教学目标】让学生了解微积分的建立过程，体会微积分这一里程碑式的伟大思想.

【教学重点】了解微积分的建立，体会微积分中蕴含的数学思想，引领本章的学习

【教学难点】了解为什么要建立微积分，以及其建立过程，了解这章的学习目标和任务

【教学过程】：

一、情境设置

1.我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

2.我们学过了椭圆的有关知识，但它的面积怎么求？

设计意图从生活入手，让学生知道数学与我们生活息息相关，由两个例子过渡到微积分知识，激发学生学习的积极性，引起学生探知欲望，为本节课的学习做好铺垫.

二、讲授新课

1.章前言的学习

请同学阅读章前言，了解本章所学的主要研究内容和研究方法.

2.微积分的建立历史背景

(一)极限思想的萌芽

魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”古希腊的安提芬的穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想.古希腊数学家阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积.这些都体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.

设计意图了解早期的极限思想及为微积分思想的建立作出贡献的数学家们，同时进行数学文化和爱国主义教育.

(二)建立微积分的源头

微积分创立首先是为了处理下列四类问题：

(1)物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体运动的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程；

(2)求曲线的切线，这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重要意义.例如：运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向是轨迹的切线方向；

(3)求函数的最大值和最小值问题.如：在弹道学中涉及到炮弹的射程问题；

(4)求积问题.求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心等.

设计意图让学生了解微积分的建立是与物理学的发展分不开的，这章的学习主要将从为解决这几个问题入手，解决和这几类有关的简单数学问题，激发学生的学习兴趣，也为本章学习作铺垫.

(三)微积分的建立：

(1)微积分的创始人

围绕着解决上述四个核心的科学问题，微积分问题至少被十七世纪十几个著名的数学家和其他一些的数学家探索过.

牛顿和莱布尼茨达到了研究的顶峰.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题).

①艾萨克·牛顿(IsaacNewton，1643-1727)，英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士.牛顿平生三大发明：流数术(微积分)、万有引力、光的分析.牛顿完整地提出微分和积分是一对逆运算，牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑.

②莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716)，德意志哲学家、数学家，和牛顿同为微积分的创建人.莱布尼茨研究微积分侧重于几何学来考虑的.精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世.

设计意图让学生了解这两位伟人所做的工作，在前人的基础上如何完善，培养学生敢于挑战、敢于攀峰的科学精神.

(2)微积分的建立

①微积分的发展史顺序是: 积分—微商—极限—函数—实数.

②微积分的逻辑顺序是：实数—函数—极限—微商—积分.

(3)微积分的课程

在大学，微积分是“高等数学”的主要内容之一.在高中微积分是高中选修课程的一部分.

设计意图让学生了解微积分和我们所学的实数、函数之间的关系，从而拉近距离，找到知识本源，也让学生在学习这部分知识时能找到知识基础.

(四)微积分的应用

(1)微积分学

物理中经典力学、热传和电磁学都与微积分有密切联系.已知物体质量，动摩擦力，保守力场的总能量都可用微积分来计算.生物学用微积分来计算种群动态，输入繁殖和死亡率来模拟种群改变.化学使用微积分来计算反应速率，放射性衰退.经济学亦经常会用到微积分学.几乎所有现代科学技术都以微积分学作为基本数学工具.

设计意图让学生知道微积分学是个什么学科，它的应用在哪里，研究问题和研究方法分别是什么？

(2)微积分蕴含的数学思想

①直与曲的思想；②常量与变量的思想；③有限与无限的思想；④局部与整体的思想；⑤连续与离散的思想；⑥近似与精确的思想；⑦特殊与一般的思想.(5)微积分的思想方法：①极限思想；②函数思想；③化归思想；④数形结合思想；⑤微分与积分的思想.

设计意图让学生了解微积分所蕴含的数学思想方法，这些思想方法有些是我们熟知的，有些是我们不了解的，激励学生勇于攀峰，激起学生学习本章浓厚的兴趣.

三、归纳总结

通过这节内容的学习，你对微积分有什么认识？有什么感悟？

以数学史为情景材料，可以引导中学生理解数学，对培养学生学习数学的兴趣起到积极的推动作用；可以让学生感受数学家的崇高品质以及探究解决数学问题的过程；可以弘扬中国优秀传统文化，并使潜移默化增加学生的爱国主义情感.根据学生的认知水平，数学史是历代数学家心血和汗水的结晶，将数学史知识恰当地融入高中课堂，让学生了解数学发展思维是充满辩证关系的.从而培养学生严谨求是、执着追求、开拓创新的精神，使学生逐步了解数学、认识数学、感悟数学和享受数学.