探究数形结合思想在高中数学教学中的应用

李 敏

(安徽省广德中学 242200)

数学是一切自然科学的核心.而自然界的运动、发展有其内在规律，数学也蕴藏着深刻的内在规律.人们对数学规律、数学本质的理性认识，可称之为数学思想.数学思想是人们对纷繁、复杂数学现象的抽象认识，数学思想中浓缩着大量有价值的数学内容.

高中数学教师引导学生掌握数学思想，可以帮助学生降低数学学习的难度，提高学生的学习效率；继而减轻教师的教学压力.数形结合，即属于一种具有重要应用价值的数学思想.

一、数形结合思想概述

空间形式与数量关系，是数学研究的两大主题.为了详细研究空间形式、数量关系，数学出现了两大分支：代数学与几何学.在高中数学教学中，数学教师往往采用封闭式教学模式：在上代数课时，在黑板上写下密密麻麻的符号与算式；在上几何课时，在黑板上画出各种图形.教师的封闭式教学，又使学生进一步感到数与形之间壁垒森严，存在着不可逾越的鸿沟.

但实际情况却并非如此.空间形式与数量关系二者之间的确存在着相互区别，但二者之间又存在着相互联系.早在17世纪，笛卡尔便建立了平面直角坐标系，成功地将代数与几何联系了起来，变几何证明为代数计算.1964年，一代数学大师华罗庚教授明确提出了“数形结合”的思想.华罗庚教授认为：几何与代数是永远联系的统一体，缺乏图形的数字缺乏直观性，缺乏数字的图形无法对其展开细致的抽象思维.因此，必须将数与形结合起来.

对于如何精确的定义“数形结合”，不同的专家有着不同的解读.为行文方便，在本文中，我们将“数形结合”描述为：数量关系具有精确性、抽象性的特点，几何图形具有形象性、直观性的特点；因此，在数学学习过程中，学生可以综合运用抽象思维与形象思维，采用直观的图形来反映抽象的数学关系，使数与形实现相互转化，从而提升解决数学问题的效率.

二、在高中数学教学中应用数形结合思想

1.高中数学教学面临的困境

当前，高中数学教学面临着困境.据2019年一次对高中生、高中数学教师的随机抽样调查发现：77%的被调查学生表示高中数学难学、难懂；68%的被调查学生表示自己不喜欢上代数课；73%的被调查学生表示自己不喜欢上几何课；65%的被调查教师表示高中数学课难上(几乎所有被调查的数学教师都认为自己班上的学生在计算数学问题的过程中往往陷入繁琐的运算步骤).

因此，我们应当针对高中数学教学中存在的困境，在教学中主动应用包括“数形结合”在内的各种数学思想，从而培养并增强学生的数学能力.

2.探究如何在高中数学教学中应用数形结合思想

下面，我们将结合《集合》教学，探究如何在数学教学中应用数形结合思想.众所周知，集合的概念较为抽象，集合题往往设置一些复杂、麻烦的已知条件，缺乏审题能力的学生往往会陷入五里云雾.采用数形结合，便可化繁琐为简洁.

在上《集合》课时，教师可以向学生们提出这样一道题：“浙江省嘉兴市××高中一年级(3)班，有40个同学.他们分别报名参加漫画、音乐、舞蹈三个俱乐部；有的同学报名参加了一个俱乐部，有的同学报名参加了两个俱乐部，还有的同学报名参加了三个俱乐部.但每个俱乐部到底有多少个同学参加呢？我们对这些具体的数字可一点儿也不知道.我们知道的是：

①在40个同学中，每个同学都参加了至少一个俱乐部；

②有些同学没有参加漫画俱乐部；在这些没有参加漫画俱乐部的同学中间，有一部分同学参加了音乐俱乐部、舞蹈俱乐部.在这些或者参加音乐俱乐部、或者参加舞蹈俱乐部的同学中间，参加音乐俱乐部的同学人数是参加舞蹈俱乐部同学人数的2倍.

③有些同学只参加了漫画俱乐部，没有参加其它俱乐部.这些只参加漫画俱乐部的同学人数比其余同学中参加漫画俱乐部的人数多一个人.

④这40名同学中，有些同学只参加了一个俱乐部.在这批同学中间，有50%没有参加漫画俱乐部.

请大家告诉我，有多少个同学只参加了音乐俱乐部？又有多少个同学参加了漫画俱乐部？”

这道集合题具有相当的难度.仅仅让学生审题，便会急得学生满头大汗.班上的先进生肯定会要求教师再将本题的各种已知条件讲一遍，一一写在黑板上；然后用设X、Y的方法设计方程式，来逐项求解.但这道题已知条件中并没有给出精细的数值，采用设X、Y的方法进行代数计算，反而会走进一条死胡同.

这时，教师便可以在黑板上画出A、B、C三个圆，然后向学生讲解：“同学们请看，我们可以设A为参加漫画俱乐部的人数，设B为参加音乐俱乐部的人数，设C为参加舞蹈俱乐部的人数.请大家注意：这三个圆存在着互相交叉的部分.”

然后教师在这三个圆的交叉部分分别填上a、b、c、d、e、f、g，并向学生们解释：“这道题目看似复杂，光听已知条件就很拗口.可是，用图形来表示的话，我们便可以看见：这个高一(3)班同时参加3个俱乐部的人数，可以设为g.同时参加漫画俱乐部、舞蹈俱乐部的人数，可以设为e.同时参加音乐俱乐部、舞蹈俱乐部的人数，可以设为f.同时参加漫画俱乐部、音乐俱乐部的人数，可以设为d.这样，在A中，可得到余下的，仅仅参加漫画俱乐部的人数.我们将这一人数设为a；在B中，可得到余下的，仅仅参加音乐俱乐部的人数，我们将这一人数设为b；在C中，可得到余下的，仅仅参加舞蹈俱乐部的人数，我们设为c.现在，让我们重新看一次已知条件，我们可以直观地发现：

没有参加漫画俱乐部的人数=c+f+b

仅仅参加一个俱乐部的人数=a+b+c

请大家看，这道复杂的集合题是不是变得越来越清晰了呢？我还可以写出其它式子，但现在我不打算写它们.我想请一位聪明的同学来到黑板上，根据我们已知的条件，将a、b、c、d、e、f、g之间的数字关系表示出来.之后，教师只需选择一位先进生走上台来，让他根据已知条件，在黑板上写出：

a+b+c+d+e+f+g=40

b+f=2·(c+f)

a-1=d+e+g

a=b+c

然后，这位先进生便会豁然开朗，意识到不必设X、Y也可以计算出这道题的答案.这时，台下的学生们也会恍然大悟.教师只需要让学生们自己动笔，他们便会计算出

a=11

b=10

c=1

d+e+g=10

a+d+e+f=21

这样，学生们会对“数形结合”留下深刻的印象，会惊叹教师只用3个圆，10个字母，就把如此复杂的题目描述得一清二楚，解决起来也很便捷.这时，教师便可以趁热打铁，鼓励学生们在做集合题时主动变数量关系为图形，再利用图形来解决数学问题.

数形结合揭示了数量关系与几何图形之间的内在联系，是重要的数学思想.在高中数学教学中应用数形结合，可以有效激活学生的形象思维，帮助学生理解各种抽象的数学问题，从而提高学生的数学能力，并增强学生的数学核心素养.