数学原理的认识及其课堂教学设计

弥 琦 徐章韬

(华中师范大学数学与统计学学院 430079)

在数学中，数学公理、定理、原理常常因为一字之差容易被混淆，而实质上它们各不相同，各有侧重点.数学公理是作为推理前提不需要加以证明的命题，是给定的；数学定理是建立在公理和假设的前提下经过严格证明得到的命题，是推导而来的；数学原理是具有普遍意义的基本规律或基本方法，是基于大量事实抽象概括出来的正确的数学命题[1].原理和定理的地位是相对的，如，在立体几何的框架内，祖暅原理是通过经验观察、思辨得到的不需证明的基础性命题，其地位类同于公理，但在微积分的框架内，其降格成了一个定理.

在中学数学中，数学原理并不多见，仅涉及计数原理、祖暅原理、排序原理、抽屉原理等.但其重要性并没有因此而有所削弱，数学原理是中学数学知识结构的核心[2]，一方面数学原理是数学概念及其关系认识的深化，另一方面它是联系概念和问题解决的桥梁[3].但是在实际教学中，原理的教学并没有受到教师的重视，教师时常在进行数学原理教学时对原理相关概念、原理归纳过程略微带过而不作重点展示和介绍，反而将侧重点放在原理的应用上，在学生还没有真正理解原理的时候就让学生去应用原理解决问题，导致学生只是一味模仿给出的原理，并没有理解原理的含义，不利于学生对原理的掌握或者说学生可能从未掌握原理的内涵.这些教学中对于原理自身的忽略，一方面是因为有些教师自己并没有意识到原理的独特性，将原理完全当成一个公式进行教学，因此不会去强调原理的生成过程，只重视原理在做题中的套用；另一方面是因为有些教师不知道该怎样去展示、用多少内容展示数学原理的生成过程，担心在有限的课堂时间里厚此薄彼，将过多时间放在原理生成过程而导致应用的不足，所以权衡之下将重点向应用倾斜.

所以如何进行数学原理的教学一直是探讨研究的重点之一.下面从对数学原理的认识和原理课的教学设计两方面对数学原理的教学进行探讨.

1 对数学原理的认识

从知识论、教学研究(教学特征与原则)、教育心理学等不同的角度分析认识数学原理课，有利于更好地进行教学设计.

从知识论的角度看，知识有形式、内容和旨趣三个维度[4].原理课，作为课型的一种，顾名思义是在概念相关知识理解的基础上，以数学原理学习和运用方法训练为主的一种课型.从形式上看，数学原理表现形式包括文字语言、符号语言和图形语言等，例如排序原理，用文字语言表述就是反序和≤乱序和≤顺序和，符号语言则是a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn(其中,a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn，c1,c2,…，cn是b1,b2,…，bn的自由排列).虽然两者的表达形式不一样，但表达的是同一个意思，不同的形式只是为了在不同情况下的理解和记忆，实质并没有任何不同.从内容上看，数学原理所包含的内容一定是正确的数学命题，虽然没有经过严格的逻辑证明，但也确实是基于大量事实抽象概括出来的，具有科学性.旨趣可理解为价值所在，数学原理的旨趣在于其所蕴含的数学思想方法，这些思想方法的理解和渗透不仅使数学原理的价值得到升华，更是在日常应用中起着莫大的作用.比如加法原理背后所蕴含的“分类”思想，就是将一件任务分成几类，逐步分析每一类以避免重复和遗漏，这在日常生活中是很常见的.数学原理的内容决定数学原理的形式，并借助于一定的形式得以表现，数学原理的形式又对数学原理的内容的产生、检验和表达具有重要影响，同时数学原理的旨趣蕴藏于数学原理的内容与形式之中，推动内容的丰富与形式的完善[4].

由于数学原理是正确的数学命题，而数学定理亦是经过严格证明得到的命题，所以在某些方面，原理课具有与定理课相同的教学特征.在引入时要具有生动性，也就是说数学原理和数学定理因其抽象和严谨，在引入时须得教师将呆板的知识生动化，创设形象的情境，帮助学生更好地丰富感性认识；在论证的过程中具有严谨性，学生通过自己总结得出后，教师在此基础上修改、补充、归纳形成最终的表述，不可含糊其辞；在巩固过程中具有层次性，任何数学原理和数学定理一定是在学生既有的知识结构上形成的，所以教师在对数学原理和数学定理进行巩固的同时可推出层次性题组帮助学生同化或顺应知识[5].

在教学的基本原则[6]上，数学原理课与数学定理课也有异曲同工之妙.(1)科学性原则，数学原理通常用文字、符号、图形等多种语言表示，从多个角度描述同一个原理内涵，而不论是用何种形式都必须是清楚的、确定的，不能有歧义，这是最基本的原则.(2)具体到抽象的过程性原则，学生对数学原理的感知到应用是一个从具体到抽象、从感性认识到理性认识的过程.(3)循序渐进原则，由于学生对于数学原理的学习一定是建立在已有的知识结构之上，所以教师不仅要考虑学科发展的规律，也要考虑学生的认知发展，以循序渐进的顺序进行教学.(4)理解与巩固相结合的原则，任何一个数学原理都不是靠死记硬背来掌握的，而是在理解的基础上通过应用进行巩固，理解是基础，巩固是必然.

即使原理课与定理课有如此多的相似之处，但是两者亦具有本质的区别.(1)数学原理和数学定理的概念本质不同，数学定理一定是在公理和假设的前提下经过严格证明得到的真命题，而数学原理在命题体系中与公理的距离更接近，强调的是归纳、概括，不一定是严格的逻辑证明.(2)教学环节不同.定理课的教学必不可缺的一步就是定理的证明，只有严格的逻辑证明后才能运用，而原理课这一环节则不是必须的，原理更多的是通过大量举例来抽象概括得出，只需要接受实践的检验即可，不一定要经过逻辑的证明[7].所以二者并不能直接归类于一种类型.

从教育心理学的角度出发，根据奥苏泊尔对于数学知识与学生原有认知结构之间的关系，数学知识的学习可分为下位学习、并列学习、上位学习.下位学习是指新的学习内容被融入学生已有的认知结构当中去的过程，即原有知识系统高于新知识.并列学习是指新知识与学生的原有认知结构处于并列关系，即新知识与原有知识系统处于同一水平.上位学习也叫总括学习，是指学生原有的认知结构无法容纳新的知识，需要通过新的方式将新知识融入原有知识系统当中去，即原有知识系统低于新知识[8].而数学原理的学习属于上位学习，也就是在学生的原有知识系统中，原有知识系统仅仅只提供了相关的部分概念，无法与所学原理直接产生联系，需要对原有知识系统进行重新认识，需要在不断的运用中进行加深和理解以便掌握.如，加法原理、乘法原理需要对分解与合成，以小见大重新认识，要在一个单元，通过对“做一件事”不断进行细化、具体化，才能逐渐把握原理的一般性.

总而言之，原理课在所有课型中具有其独特性，它不仅是对于数学具体知识的传授和学习，更多是对于数学抽象、概括思想方法的渗透和领悟，这也是为什么原理课常常达不到其教学目的的原因.因此要在此基础上注重数学原理课的教学设计.

2 原理课的教学设计

原理课的教学方式一般有两种：由例子到原理和由原理到例子[9].由于在中学数学教材中牵涉到的数学原理的教材安排方式大都是由例子到原理，所以本文以由例子到原理，用例规法分析其教学设计.

原理课的教学设计可以分为以下四个阶段：问题引入、讨论归纳、原理呈现、巩固应用.

问题引入阶段.给出学生一些例子以提出问题，这些例子一定要保证能够清楚地表达出原理的特点，以方便后续的归纳、概括，要具有代表性且让学生容易明白.这样利用例子来提出问题进行引入，一方面可以激发学生学习的兴趣，激起学生解疑的好奇心；另一方面这样的方式是在潜移默化地将所要学习的原理进行应用，与后面的应用是一个前后相呼应的关系，可以帮助学生更好地理解.例如，对于分类加法计数原理的问题引入，教材中直接以一个用阿拉伯数字和大写字母给座位编号的问题切入，简洁明了，与分类加法计数原理十分切合，但是不够生活化，在课堂伊始就直接给出稍显突兀.所以，很多教学案例[10]选择了更加生活化的问题——路线选择问题(从甲地到乙地可以有几种方式)，这类问题确实很贴切生活，但是信息量过于繁杂，会干扰到学生对于分类加法计数原理本质的理解，更适合放在课后的作业中去练习.因此，鉴于以上不足，在选择问题引入时，我们在教材的原有编号问题前加入了一个更加简洁且生活化的例子(学校高三理科班有467名学生，文科班有234名学生，在文科班或理科班选一名学生代表学生参加比赛，共有多少种选法？).这样的两个问题循序渐进，让学生更容易理解，也利于后续学生对两者共同点的归纳.

讨论归纳阶段.是以学生为主体完成的，也就是学生在原有的知识结构的基础上根据教师给出的问题对原理进行归纳提炼.学生先是利用已有的知识对问题进行解决，然后对问题的解决过程进行分析归纳，得到对原理的初步猜想和总结，这是一个知识迁移的过程，学生将所学过的知识点进行相互联系，相互类比，把旧知识加以归纳、总结迁移成新的知识点[11]，学生可以亲身体验和感受原理的归纳思路，这更有利于对原理的理解和掌握.对于分类加法计数原理的讨论归纳，教材中是让学生探究引入问题的特征，然后给出特征的描述——“或”字的重要性，诚然，这个描述直接触及到了分类加法计数原理的本质，但是这并不是唯一的归纳结论，在学生对于两个问题的特征归纳以及问题解决的过程中，是没有标答的，教师只需要尽可能地收集学生自己的归纳，并让学生之间相互补充改进，给出他们自己的答案即可.有的教学案例中，会设计让教师进行引导出现“完成一件事”“方案”等原理中的字眼[12]，在我们看来，这个没有必要，因为这样的直接提示会限制学生的思维，相当于强行将学生往原理本身上靠，学生并没有思考的余地.因此，只需要给足学生自由讨论的时间即可，讨论总结的过程便是对分类加法计数原理的探索过程，即使最终学生的总结存在不完善、有歧义、不明确等缺点，但对学生来说也是突破性的一步.在学生总结得到规律后，试着让学生根据自己的理解进行举例，学生自己举例的过程也是对原理的理解过程.

原理呈现阶段.是教师直接给出关于原理的精确表述，由于学生对于原理的归纳可能是带有瑕疵的，在某些方面也可能是没有考虑周到的，这时候需要教师直接呈现出原理准确的表述，帮助学生更进一步地认识和掌握原理.这一步关乎学生的认识层次的进一步明确，不可或缺.对于分类加法计数原理的呈现，教材中直接给出两类不同方案时的原理(完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法)，我们认为这是合理的，因为在之前的问题引入中，都是只有两类不同方案时的情况.但是有些教学视频在此处将引入问题进行拓展，比如对于编号问题拓展成三类(用一个大写的英文字母、一个小写字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码)，进而引入到n类不同方案时的情况，接着呈现n类不同方案时的分类加法计数原理(如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法)，这样的处理我们认为操之过急，直接将两类方案的原理呈现略过，没有给学生一个由浅入深、逐步理解的过程，不利于学生的掌握.因此，我们更倾向于教材中的处理，即以两类不同方案的情况给出分类加法计数原理，对于扩展到n类，在巩固应用阶段引出即可.

巩固应用阶段.即在教师呈现出原理之后，需要对原理进行巩固以确保学生对原理的深刻理解，而巩固的主要方式就是应用.教师可以给出一些题组让学生利用原理进行解答，帮助学生巩固.因为每一个原理的学习最终都是要走向应用的，这不仅是原理的学习目的，也是数学与生活联系的体现，所以应用不应只局限于一些习题的解答，还可以涉及实际生活的广泛应用，以使学生能够灵活掌握应用原理.对于分类加法计数原理的巩固应用，题型很多，可以是路线问题、选派学校代表问题、选课问题等，这些问题大同小异，都与生活息息相关且本质上是一样的，所以选哪种都一样，教材中是用高中毕业生填志愿的例题(在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学：生物学、化学、医学、物理学、工程学；B大学：数学、会计学、信息技术学、法学.如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择)进行巩固的，十分贴合学生的实际，无不妥之处.但是，在例题练习之后，教材中直接提出思考：如果完成一件事有三类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法，这种直接提问稍显生硬，比较好的方式是通过实际问题提出这样的问题，让学生一边解决实际问题一边思考分类加法计数原理不止适用于两类不同方案时的情况，比如在书上的例题的基础上进行改编——如果还有C大学可供这名高中毕业生选择，且C大学他感兴趣的强项专业为：地质学、金融学，那么这名高中毕业生共有多少种选择？这种变式的承接比较自然，能让学生顺其自然地在解决实际问题的过程中了解到三类不同方案时也是适用分类加法计数原理的，进而拓展到n类.将拓展到n类的情况在巩固应用阶段揭示，是因为分类加法计数原理不论是在两类不同方案还是n类不同方案，其实是没有区别的，只要掌握了两类时的情况，那么n类的引出就不需要太费时间，顺其自然给出即可，在学生应用时引出是比较好的选择.

数学原理的教学涉及的四个基本环节是环环相扣的，每一步都不可或缺，都有其特定的目的.同时贯穿四个环节的是数学原理背后所隐含的数学思想，这也是数学原理学习的终极目标，只有在学习过程中掌握了其所隐含的数学思想，才能准确地将其应用，才能说是掌握了相应的原理.

对于原理的教学因为是需要学生自己去归纳概括，以学生的探究为主，因此教师可以采用讨论法进行教学.讨论法强调学生的探究发现能力、思维发展能力以及独立思考能力.采用讨论法来进行原理的教学，一方面可以让学生在自己总结概括的过程中亲身体验原理的内涵，有助于学生更好地理解原理的内容，从而更加轻松自如地运用；另一方面，学生是自己进行归纳概括的，所以有助于强化学生对于原理内容的记忆.在学生讨论的过程中，教师也不是完全置身于事外的，教师应该掌握讨论的节奏，准确把握学生讨论的方向，在学生出现问题时要及时给予学生提示，帮助学生成功概括出原理内容.

原理的教学对于新课标一直强调的“课堂以学生为主体，教师的教学是服务于学生的学习的”是很好的体现，在整个过程中尤其要强调学生的主动参与，强调学生的独立思考.

3 小结

虽然原理课比起其他课型占的比例并不算多，但是这并不能说明原理课是不重要的，原理课不但可以提升学生的思维能力，还是一种渗透数学思想方法的重要方式.所以教师在进行教学设计时要注意以学生为主体，精心设计，让学生更好地理解和掌握原理.