基于小波神经网络PID控制的主动夹具铣削颤振研究*

李香服，张文灼，温彬彬，刘亚川

(1.河北工业职业技术学院智能制造系，石家庄 050000；2.河北师范大学职业技术学院，石家庄 050031)

0 引言

机床主动夹具作为机械加工过程中用来固定、支撑和夹紧工件的部件，在加工过程产生的振动主要有强制振动和自激振动，其中强制振动是在断续铣削中随着铣削力的强制变化而产生，而自激振动则是在铣削过程中产生的[1-2]。铣削颤振是发生在铣削过程中刀具与工件间的动态切削力周期性激励着刀具和工件间的振动现象。铣削颤振具有非稳态和很强的铣削力波动的特征，它损害了加工工件的表面质量、降低铣削效率、缩短刀具和机床主轴的使用寿命。

当前，对铣削颤振的研究方法有多种。例如：文献[3-4]研究了自适应控制技术对铣削颤振在线抑制，对集成在线参数采集、反馈控制的铣削控制器进行设计，将在线抑制颤振的主轴转速算法嵌入开放式控制器中，并设计控制参数。文献[5-7]研究了基于虚拟仪器分析在不同切削状态下振动信号的非线性特征的变化规律，进而识别并预报切削颤振。

以往研究的铣削颤振控制系统控制效果较差，铣削过程中产生角加速度误差最大值为16 mm/s2，导致机床铣削颤振较大。对此本文通过时域数值方法对铣削颤振的机理及其相关的影响因素进行分析，引用了增量式PID控制方法并进行改进，设计了小波神经网络PID控制系统，采用MATLAB软件对铣床力和铣削深度进行仿真验证，并且与传统控制方法进行比较，为降低机床铣削颤振幅度提供了参考依据。

1 主动夹具模型

1.1 铣削动力学模型

用于铣削的主动夹具，其最简化的设计是采用两自由度兼容机构，是基于串行运动学并结合了整体式挠性铰链。内部平台通常用于固定工件，而外部框架则固定在机床工作台上，将平台的刚度和阻尼集中在一起，这种架构如图1所示。

图1 主动夹具简图

图中，kwx、kwy分别为X方向和Y方向弹簧刚度；cwx、cwy分别为X方向和Y方向阻尼系数；Fpx和Fpy分别为X方向和Y方向的力，是通过压电执行器利用压电材料的逆压电特性来实现控制工作台的移动，如果施加电场，则会产生相应的位置变化。将驱动力与输入电压相关联的线性模型可用相关符号表示其特性，如下所示：

Mu″+Cu′+Kuuu+Kuψψ=f

(1)

(2)

式中，Kuu、C、M分别为机械刚度矩阵、阻尼系数矩阵和夹具质量矩阵；Kψψ为弹性刚度矩阵；Kuψ为压电耦合系数矩阵；u为节点位移向量；f为外部机械力向量；q为电荷向量；ψ为电势向量。

考虑到切削过程的再生效果，其动力学可以通过具有单个离散时间延迟的n维线性时间周期系统来描述。在不失一般性的前提下，对铣削过程可描述为具有4个自由度集成动力学模型的压电执行器驱动主动工件架，如图2所示。实际上，铣刀和工件架是两个正交的自由度组成的。

(a) X-Y平面图 (b) Y-Z平面图图2 主动工件架的动态立铣刀系统

在铣削过程中需要对螺旋角进行离散化，可以减少计算量，假定刀具具有N个齿且螺旋角为零。则图2中所示的铣削控制过程可以用以下微分方程[8]表示：

(3)

式中，下标t和w分别为工具和工件的标识；ζ为阻尼系数；ω为角固有频率；k为模态刚度；ψx、ψy分别为施加到沿X和Y方向的受控压电执行器的瞬时电势；Fx、Fy分别为沿着X和Y方向的进给力。

沿刀具和工件进给力Fx(t)和Fy(t)，并分别引起动态位移Δx和Δy的变化，这些都会导致铣削过程的颤振，其变化表达式为：

Δx(t)=[x(t)-xw(t)]-[xt(t-T)-xw(t-T)]

(4)

Δy(t)=[yt(t)-yw(t)]-[yt(t-T)-yw(t-T)]

(5)

式中，T为时间间隔。

在铣削过程中，切向和法向的铣削力表达式为：

Fck(t)=Ktcaphk(t)+Kteap

(6)

Frk(t)=Krcaphk(t)+Kreap

(7)

式中，Fck(t)和Frk(t)分别为第k个齿的切向和法向铣削力分量；Ktc、Kte、Krc和Kre为铣削系数；ap为铣削的轴向深度；hk(t)为瞬时铣削厚度。

瞬时铣削厚度hk(t)可以假定为运动学铣削厚度与动态铣削厚度之和，在铣削厚度方向上的投影与动态位移Δx(t)和Δy(t)的关系为：

hk(t)=[(fz+Δx(t))sin(φk(t))+ Δy(t)cos(φk(t))]g(φk(t))

(8)

(9)

式中，φst、φex分别为刀具的起始角和退刀角。

刀具在向上铣削时，刀具的起始角和退刀角为：

(10)

刀具在向下铣削时，刀具的起始角和退刀角为：

(11)

式中，2ar为径向切削深度；D为刀具直径。

在X和Y方向上的铣削力为：

(12)

通过重新排列前面的等式，可以减少铣削过程的动力，参考方程(3)，得出等效耦合延迟微分方程式：

(13)

式中，X(t)为位移向量；K为刚度矩阵；Kc(t)为铣削力系数矩阵；Kψ为介电刚度矩阵。

1.2 时域数值方法

考虑到动态铣削过程中通常具有单个离散时间延迟的线性时间周期系统的模型，可以使用解析或数值方法进行求解。时域数值模拟方法非常强大。考虑到铣削过程中真实的运动学因素，如铣削力，内部和外部干扰，刀具的几何形状和跳动等影响因素，计算过程太复杂，成本太高。本文提出了一种基于隐式直接积分的全离散化方法。它具有高效的计算率和二阶精度。对数值求解方程式(13)，首先是进行时间段T离散。因此，将T平均分为m个较小的时间间隔T=mΔt，m是整数。对于每个时间间隔tn=t0+nΔt，方程(13)中的Xn=X(tn)对初始响应条件位置、速度和加速度，可以直接通过Newmark积分方案获得，Newmark方法主要使用插值方法，将位置、速度和加速度从步骤n到步骤n+1使用插值计算[9]可得：

(14)

(15)

如果参数β=1/4和γ=1/2，则铣削过程中不仅可以节能，还可以达到很高的加工精度。同时，平均加速度参数在[tn，tn+1]范围内选择。如果参数γ>1/2，β>1/4(1/2+γ)2，则可能导致能量和动能损失。因此，参数取值为β=1/4和γ=1/2。

可以将式(14)和式(15)的插值直接引入到运动方程中，可达到一组线性或非线性代数方程。本文使用线性铣削力模型，则会获得一组线性方程，并将Newmark方法应用于直接时间积分方程式(13)中需要三步：

(1)在时间步长为n+1时，估算系统的位移和速度(预测器阶段)：

(16)

(17)

(2)对于上述方程组的解和Xn″，将方程式(14)和式(15)所得的结果代入方程式(13)：

(18)

如果时间步长Δt是均匀的，方程(18)的系统矩阵可以分解一次。

(19)

(20)

2 控制设计

2.1 增量式PID控制

传统PID控制大多采用增量式PID控制方式，其控制算法[10-11]如下所示：

Δu(k)=(Kp+Ki+Kd)e(k)- (Kp+2Kd)e(k-1)+Kde(k-2)

(21)

式中，Δu(k)为控制系统输出值；k为第k次采样值；Kp、Ki、Kd为PID控制调节系数；e(k)、e(k-1)、e(k-2)为不同次的采样偏差。

2.2 小波神经网络PID控制

小波神经网络采用小波函数的前馈网络，该模型具有很强的逼近能力。本文设计的小波神经网络PID运算模块分为三层结构，如图3所示。

图3 小波神经网络PID运算模块

小波神经网络PID控制输出关系式为：

(22)

式中，K=[Kp,Ki,Kd]；Xk=[r(k),y(k),e(k)]，r(k)为设置值，y(k)为输出反馈值，e(k)为输出误差；ωli为输出层和隐含层的连接权值；ωij为输入层和隐含层的连接权值；θm为隐含层的阀值；ηi为输出层的阀值。

采用小波函数Morlet作为隐含层神经元的激励函数，如下所示：

(23)

φ(x)=cos(1.75x)e-x2/2

(24)

采用Sigmoid函数[12]作为输出层的激励函数，如下所示：

(25)

控制系统性能评价指标函数为：

(26)

神经网络的权值采用梯度下降法进行调整，如下所示：

(27)

式中，δ为学习速率；α为惯性系数。

采用小波神经网络PID控制步骤如下：

(1)初始化参数设置，主要包括各层的节点数，权值、学习速率和惯性系数等；

(2)在不同时刻，对输入和输出误差进行采样；

(3)计算各层神经元的输出值和输入值，输出层对应PID控制器调节系数Kp、Ki、Kd；

(4)计算PID控制器输出值u(k)，计算公式如下：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(28)

(5)神经网络在线学习，不断调整加权系数，达到PID控制器调节系数最佳值。

(6)令k=k+1，返回步骤(1)，循环执行，直到达到最优值为止。

3 仿真及分析

为了验证小波神经网络PID控制效果，采用MATLAB软件对主动夹具控制系统铣削力和铣削深度输出误差进行仿真。仿真参数设置如下：ktc=1 000 N/mm2，kte=750 N/mm，krc=130 N/mm2，kre=33 N/mm，kwx=9.0×108N/m，kwy=1.5×109N/m，ζwx=2.9×10-2，ζwy=3.5×10-2。采用增量式PID控制，主动夹具铣削力X轴和Y轴跟踪效果分别如图4、图5所示，铣削深度跟踪效果如图6所示。采用小波神经网络PID控制，主动夹具铣削力X轴和Y轴跟踪效果分别如图7、图8所示，铣削深度跟踪效果如图9所示。采用模具钢进行铣削实验，加工实验如图10所示。采用测量仪对两种控制系统铣削的模具钢表面粗糙度进行测量，其微观结果分别如图11、图12所示。

图4 X轴方向仿真结果(改进前) 图5 Y轴方向仿真结果(改进前)

图6 铣削深度仿真结果(改进前) 图7 X轴方向仿真果(改进后)

图8 Y轴方向仿真结果(改进后) 图9 铣削深度仿真结果(改进后)

图10 模具钢加工实验图

图11 改进前粗糙度 图12 改进后粗糙度

分析图4、图5和图6可知：采用增量式PID控制方法，X轴方向和Y轴方向铣削力与理论值存在较大误差，铣削深度与理论值存在较大误差。另外，在拐角处，跟踪误差变化幅度更大。增量式PID控制系统对外界变化适应性较差，特别是在拐角处，很难做出快速的自适应调节。

分析图7～图9可知：采用小波神经网络PID控制方法，X轴方向和Y轴方向铣削力与理论值存在较小误差，铣削深度与理论值存在较小误差。另外，在拐角处，跟踪误差变化幅度也较小。小波神经网络PID控制系统对外界变化适应性较好，特别是在拐角处，能够做出快速的自适应调节。

分析图11、图12可知：采用增量式PID控制方法，模具钢表面产生的粗糙度最大值为100 μm；而采用小波神经网络PID控制方法，模具钢表面产生的粗糙度最大值为10 μm。因此，采用小波神经网络PID控制方法，主动夹具铣削过程中，铣削力和铣削深度都能较好地实现理论要求，模具钢表面产生的粗糙度较小，铣床颤振幅度较小，铣削精度较高，效果较好。

4 结束语

本文提出了一种时域仿真模型，专门用于验证主动夹具铣削力和铣削深度的变化效果。通过小波神经网络PID控制系统，对控制效果进行了验证，结论如下：

(1)采用增量式PID控制方法，主动夹具铣削力和铣削深度与理论值存在较大误差，导致铣床铣削过程中颤振幅度较大，铣削精度较低。

(2)采用小波神经网络PID控制方法，主动夹具铣削力和铣削深度与理论值存在较小误差，铣床铣削过程中颤振幅度变化较小，铣削精度较高，铣削效果明显改善。

(3)设计了主动夹具时域数值仿真模拟方法，可以检验铣削力和铣削深度变化效果，避免设计不合理而造成产品加工精度下降。