一类重试休假排队模型在银行排队系统中的应用

裴秀艳

运城职业技术学院基础课教学部，山西 运城 044000

0 引言

排队现象在日常生活中司空见惯，现实生活中的排队，包含有形的排队，比如人们在超市排队等待收银;在医院就医排队叫号，分诊预约，等待检查;在银行办理业务时，客户排队等待接受服务等等.还有一些排队，比如等待打印的文件，网络或者电话订票等都属于无形的排队.由此，排队模型可以是关于人的排队，也可以是关于物的排队.

关于负顾客的排队模型已有大量的研究［1］，负顾客即负因子是相对于正常接受服务的顾客而言的，它可以看成是业务员操作时的一次失误操作或者是服务系统的一次灾难，比如:计算机受到病毒的攻击或者突然的断电等等.负顾客为一类特殊的顾客，它不接受服务，但是它的到来会移除部分或全部正在接受服务的正顾客［2］.此外，还可将负顾客看成是一个诱发因子，它可将客户从一个队列转移到另一个队列.本文以排队论的相关理论为依据，研究了一类带有负顾客，且银行柜员具有随机休假，客户可重试接受服务的可修排队，将柜员随机休假，客户的重试这些实际情况考虑其中，具有更现实的应用意义.

1 排队论简介

1.1 排队论的发展

排队论是运筹学的重要组成部分，也称为随机服务系统.排队论起源于20世纪初丹麦数学家，电气工程师Erlang对通讯系统的研究.第二次世界大战后，排队论得到迅猛的发展，它逐渐渗透到经济生产、服务管理及国防等诸多方面.费勒(W.Feller)在20世纪30年代中期在排队论中引入拟生灭过程，至此，排队论才被公认为是一门重要的学科.随后，肯德尔(D.G.kendall)采用嵌入马氏链的方法研究排队论，使其得到进一步发展.从此，大量的学者开始研究有关排队论的课题，许多问题都得到了精确地解决，排队论也有了更广泛的应用.

1.2 排队系统各部分组成

排队系统［3］的结构包括:输入过程、排队规则、服务过程三个部分，其一般结构如图1所示.

图1 排队系统的一般结构Fig.1 General structure of queuing system

(1)输入过程:指客户按照怎样的规则到达排队系统，一般来说客户源可以是有限的，也可以是无限的，到达系统可以单个到达，也可以成批到达.顾客到达的时间间隔可服从如下概率分布、泊松分布、负指数分布、几何分布、一般分布、超几何分布等.

(2)排队规则:损失制、等待制、混合制为排队论中的排队规则.损失制指客户到达随机服务系统后，若遇见服务台繁忙，则不进入等候队列而主动离开系统;等待制指客户到达随机服务系统后，若遇见服务台繁忙，则等待接受服务，其服务规则为:先到先服务、后到先服务、随机抽取顾客服务等形式;混合制指损失制和等待制的综合形式.

(3)服务过程:描述服务台的服务模式:a.服务台数:是单个服务台还是多个服务台;b.各服务台之间的关联，是串联服务还是并联服务;c.服务形式:是单个对客户进行服务还是批量服务，以及服务员的休假规则，顾客的重试规则等情况.

1.3 排队系统的符号表示

排队系统的模型一般用符号A/B/C/D来表示，其中A表示客户的到达时间分布;B表示客户接受服务的服务时间分布;C表示随机服务系统中拥有的服务台数;D表示随机服务系统中允许的容纳队长.排队系统中用M表示指数分布，用G表示一般分布，且假设到达的时间间隔为独立的随机分布序列.

2 银行排队模型的建立

银行排队系统中，服务台为银行柜台，排队等待接受服务的客户称为顾客，它们组成排队系统，即随机服务系统，以下对该休假重试［4］M/G/1排队可修排队模型描述如下:

(1)假设该模型中存在正、负两类不同的顾客，它们分别以λ+和λ－为参数的泊松过程到达，系统中服务台个数为1，负顾客不接受服务.当服务台工作时，到达的负顾客导致服务器故障，并带走一名正在接受服务的顾客(正顾客);当服务台空闲或休假时，负顾客不影响服务台.

(2)假设该模型的排队规则为损失制，若服务台空闲，正顾客到达时可当即被服务;若服务台忙碌或休假，正顾客到达后可进入Orbit(重试区)中，Orbit中的顾客按参数为σ的指数分布反复重试，直到服务台空闲，即可接受服务.

(3)系统中服务员在空闲或工作时均可休假，休假到来时，被服务的顾客被迫进入Orbit，中断服务.休假终止时，中断服务的顾客可重新接受服务，若Orbit中有顾客，则先服务Orbit中的顾客;若Orbit中无顾客，等待到达的新顾客.休假间隔遵循参数为η的指数分布.

(4)故障的服务台会及时修理，且能修复如新.假设服务顾客的时间为G(x)，服务员的休假长度为V(x)，故障维修时间H(x)均为一般连续型随机变量，服从如下分布:

3 系统的稳态方程组及其求解

3.1 系统的稳态方程组

设tn为完成服务或者是完成故障修复的时刻，则{tn，n∈N}为一组连续的时间序列.记n=tn－tn－1为第n个正顾客从重试到完成服务的时间段，即:n为第n个顾客服务期间的重试时间、故障修复时间、休假时间总和.为了建立分布函数(x)，构建一个新的排队系统，设t=0系统处于空闲状态，被观察的顾客离开系统时的状态定义为嵌入马氏链的吸收态.用I(t)表示服务台在t时刻的状态，有如下定义:

稳态条件下，令N(t)表示t时刻位于Orbit(重试区)中的(正)顾客数，上述I(t)表示服务台所处的不同状态，特定系统各时期的状态概率如下:

分析可得稳态情况下系统的微分方程组:

其中，σn，m是Kronecker函数，稳态下的边界条件:

3.2 模型求解

定义如下母函数(|z|≤1)，以便求解上述方程组:

分别将(1)式 ～(7)式两端乘以zn关于n≥0求和可得:

4 相关性能指标

5 数值分析

以银行的实际数据为依托，设定该模型中的系统参数，研究不同参数的变化对系统服务性能各项指标的影响.

设G(t)，V(t)，H(t)均服从参数为μs，μv，μr的负指数分布.分别考察λ－，η和σ对各排队指标的影响.固定参数 μs=1/u=5，μv=1/v=3，μr=1/r=7，λ+=2，此时当λ－，η，σ 取不同值时，得到表1 ～表3.

表1 λ－取不同值时，系统的各项性能指标(σ，η)=(5，0.6)Tab.1 When different λ－ are taken，various performance indexes of the system(σ，η)=(5，0.6)

表2 η取不同值时，系统的各项性能指标(λ－，σ)=(0.2，5)Tab.2 When different η are taken，various performance indexes of the system(λ－，σ)=(0.2，5)

表3 σ 取不同值时，系统的各项性能指标(λ－，η)=(0.2，0.6).Tab.3.When different σ are taken，various performance indexes of the system(λ－，η)=(0.2，0.6)

表1的数值结果显示，若参数(σ，η)=(5，0.6)固定时，Ps，PV会随着负顾客到达率λ－的增加而逐渐递减，而PR会随着λ－的增加逐渐递增.表2的数值结果显示，若参数(λ－，σ)=(0.2，5)固定时，PV会随着休假率η的增加而呈逐渐递增的趋势，但PS，PR不受η的变化影响.表3的数值结果显示，若参数(λ－，η)=(0.2，0.6)固定时，排队指标不受重试率σ影响.因此，作为银行来说要维护系统的平稳运行，应尽量减少负顾客的到达率，降低顾客损失率，从而提高服务系统的可靠度.

其次，在参数μs=1/u=5，μv=1/v=3，μr=1/r=7，λ+=2确定的情况下，休假率η取不同值时，考察λ－对平均队长E(Ls)的影响，见图2.

从图2可看出:(1) 参数μs，μv，μr，λ+，σ，η被固定时，平均队长E(Ls) 会随着负顾客到达率λ－的逐渐增大而递减.到达的负顾客降低了系统的平均队长，却也降低了服务的满意度，因此要尽量减少负顾客的到达.(2) 参数μs，μv，μr，λ+，λ－，σ被固定时，服务员的休假率η越大，平均队长越大，所以银行要在满足客户需求的情况下，增加服务员的休假率，从而保证柜员适当的休息时间，同时进一步提高服务质量和服务效率.(3)当λ－无限大时，E(Ls)的取值趋于平稳，且当时，E(Ls) 的取值存在.例:当η=0.6时，

再次，考虑服务员休假率η对系统平均队长E(Ls)的影响.固定系统参数μs=1/u=5，μv=1/v=3，μr=1/r=7，λ+=2，此时变化λ－的取值，考察平均队长E(Ls)受休假率η的影响，见图3.

从图3 可看出:(1) 参数 μs，μv，μr，λ+，σ，λ－被固定时，随着休假率 η 的逐渐增大，平均队长 E(Ls) 逐渐递增.因为休假过程会增加重试区域中的等待人数，从而增加系统的平均队长.(2)休假率η越大，对系统的平均队长的影响也越大.

6 小结

本文讨论了带随机休假策略，且负顾客到达引起服务台故障的重试可修排队.借助吸收状态的马氏链求T的分布，得到“广义服务时间”分布的Laplace-Stieltjes变换.利用补充变量法，根据系统的状态转移，列出稳态方程并对方程组进行求解，在满足系统稳态分布的条件下，得到了系统在不同时期状态下稳态队长概率母函数的具体表达式.最后，通过实际的算例，用实验数据反映出主要参数对系统排队指标的影响.

图2 负顾客到达率对系统平均队长的影响Fig.2 Mean queue length influence by negative customer arrival rate

图3 休假率对系统平均队长的影响Fig.3 Mean queue length influence by vacation rate