浅阱中双组份玻色爱因斯坦凝聚体的激发态稳定性研究

周小燕，梁青青，赵春艳，杨惠

(兰州文理学院 传媒工程学院， 甘肃 兰州 730000 )

0 引言

1995年，美国科学家埃里克·康奈尔等在实验中首次发现了玻色-爱因斯坦凝聚体(BEC)[1]，因BEC不仅可为研究量子力学的基本问题提供一个宏观系统，而且可广泛应用在原子激光、精密测量、量子信息和量子计算等领域，因此受到国内外学者的广泛关注[2-9].近年来，学者们对有限深势阱中单组份BEC的稳定性做了大量的研究，结果表明影响BEC稳定性的因素较多，如原子之间的相互作用，势阱囚禁原子数目的多少，凝聚原子与热原子之间的相互作用，等等[10-11].也有学者对有限深势阱中双组份BECs的稳定性进行了研究，结果表明双组份BECs的稳定性更加复杂[12-14].为进一步分析有限深势阱中双组份BECs激发态的稳定性，本文在不考虑相分离和热原子影响的情况下，利用变分法研究了有限深势阱中两组份凝聚体激发态的稳定性.

1 浅阱中凝聚体满足的模型方程

浅阱中凝聚体所满足的模型方程[15]为:

(1)

2 浅阱中两组份凝聚体激发态的稳定性

为了研究浅阱中凝聚体激发态的稳定性，令原子之间的相互作用系数g12[16-17]为

g12(t)=g120[1+εsin(ωt)].

(2)

其中:g120表示组份间原子之间相互作用的常数部分，g120ε表示组份间的原子间相互作用的振荡部分,ω表示振荡频率.令组内原子之间的相互作用g为

g(t)=g0[1+εsin(ωt)].

(3)

其中:g0表示组内原子之间相互作用的常数部分，g0ε表示组内原子之间相互作用的振荡部分.本文选用高斯型试探波函数(如式(4)所示)作为激发态的波函数.

(4)

方程(1)所对应的拉格朗日表达式为

(5)

将方程(4)带入方程(5)可得到有效的拉格朗日表达式：

(6)

(7)

式(7)中,i=1,2,j=1,2且i≠j.为计算方便，令R1=R2=R,N1=N2=N/2,g1(t)=g2(t)=g(t)=g0[1+εsin(ωt)], 则式(7)可化简为

(8)

2.1 不调制相互作用系数时凝聚体的稳定性

当不调制相互作用系数，即ε=0时，方程(8)可简化为

(9)

根据文献[15]的计算方法可计算出囚禁在浅阱系统中的能量为

(10)

由式(10)可知：当8π+g0+g120>0,R→0时,波包趋于扩散,能量E2D→∞.当8π+g0+g120<0时,波包趋于塌缩,能量E2D→ -∞.因此可得出激发态波包塌缩的临界条件为

g0+g120+8π<0.

(11)

由式(11)可知，两组份凝聚体在下列情况下发生塌缩：组内间的原子相互吸引，而组份间的原子相互排斥；或组内间的原子相互排斥，而组份间的原子相互吸引.由此可见，两组份凝聚体能量的塌缩条件决定了两组分凝聚体的动力学特性.

2.2 调制相互作用系数时凝聚体的稳定性

为了说明调制原子之间相互作用的效果，本文将R(t)分成慢变部分A(t)和快变部分B(t)， 即：

R(t)=A(t)+B(t), 且|B(t)|≪|A(t)|.

(12)

将式(12)代到式(8)中可得到如下方程：

(13)

360c2A3〈B2〉-4A+16cA3-36c2A5.

(14)

式(14)中，G=g0+g120， 快变部分的相对时间的平均导数用〈…〉表示.在求解方程(13)时，可将慢变部分A视为常数，由此求得方程(13)的解为

(15)

将方程(15)代入式(14)中，即可得到如下关于慢变A部分的表达式：

(16)

当A→0时,方程(16)变为

(17)

(18)

由式(18)可知，只要通过Feshbach共振技术来调制原子之间的相互作用，并满足式(18)，就可以抑制双组份凝聚体的塌缩.