基于线弹性断裂力学的深埋水工隧洞水力劈裂分析

左拥军

（万年县水利局，江西 万年县 335500）

近年来，我国水利行业发展迅速，在西部地区建成了许多大型水电站，这些水电站具有装机容量大、水头、地下水位高等特点，且大多数是位于高山峡谷地方。因此，水工隧洞常深埋于地下水位以下的位置，导致隧洞围岩在开挖过程中面临高地应力和高渗透压力带来的一系列问题[1]。由于在隧洞施工过程中，使得局部岩体应力状况发生变化，而岩石表面存在的裂纹在有效应力作用下发生扩展，因此，裂纹面受到的有效应力是导致岩体破坏直接因素。在高渗透压力和高地应力条件下，裂纹的水力劈裂作用会进一步加强，这种由于水力劈裂现象造成的事故在国内外也很常见[2，3]。崔少英等[4]通过对水工隧洞中水力劈裂临界孔隙水压力进行研究，得出了3 种类型裂缝和无裂缝情况下的临界孔隙水压力计算方法。彭立锋等[5]通过模型试验对高地温水工高压隧洞进行了研究，得出高地应力条件下水工隧洞水力劈裂位置与地应力侧限系数的关系。针对深埋水工隧洞出现的水力劈裂问题，本文采用线弹性断裂力学理论，重点分析在压剪复合断裂模式下广义临界水压力与中心裂缝角度之间的关系。

1 围岩压力的计算

根据深埋水工隧洞在开挖过程中围岩所处应力情况，计算圆形洞室围岩中任意一点M（r，α）的应力，其应力分布图如图1 所示。图中p 为竖直方向的压应力，p = γH ，γ 为围岩容重，H 为洞室顶部与地面的距离；q 为水平方向的压应力，q=k0γH ，k0为侧压力系数。r0为洞室半径，r 为从洞室中心位置算起的任意径向距离，α 为围岩中任意一点所处洞室方位角，σθ为切向应力，σr为径向应力，τrθ为剪切应力。

图1 围岩应力分布图

其中，σr，σα，τrθ可按文献［6］进行计算：

2 深埋水工隧洞围岩力学模型的建立

由文献［1］可知深埋水工隧洞围岩处于高地应力和高渗透压力的特殊环境中，所以在运用断裂力学分析裂纹扩展时，不能忽视水压力这个重要因素。假设在单轴压缩情况下，单位厚度岩体存在一条长为2a，与加载方向的夹角为β 的中心裂缝，裂缝中作用有渗透压力P，设裂缝尖端裂纹的扩展方向与裂缝中轴线的夹角为θ0，则加载的荷载为σθ=( p+q )+2( p-q )cos 2α，如图2 所示。

图2 中心单裂缝岩体模型

裂缝面上的应力状态为：

根据式（5）可知，裂缝面上既存在正应力σβ又存在剪应力τβ，因此，裂纹扩展失稳问题应属于Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹问题。此时裂缝面上的正应力σβ有两种情况：当σβ为拉应力时，裂纹扩展失稳应属于拉剪复合型问题；当σβ为压应力时，扩展失稳应属于压剪复合型问题。

3 基于线弹性断裂力学的断裂判据

由线弹性断裂力学可知，当裂纹在复合型加载模式下，其扩展往往不是沿着轴线方向扩展的，而是与轴线成一定的夹角，这个夹角称为断裂角。最大周向应力理论作为目前研究复合型断裂问题的重要方法，能很好地解决断裂判据和断裂角两个方面的问题。

Ⅰ-Ⅱ复合型加载的裂纹端部区域应力分量在极坐标情况下的表达式为：

式中：θ 为裂纹尖端与x 轴之间的夹角。

最大周向应力理论有以下假设：1）裂纹沿最大轴向拉应力σθ所处截面进行扩展的，因此，该截面与原裂纹线之间的夹角即为断裂角，用θ0表示（图3）；2）裂纹开始扩展是因为最大周向应力达到某一临界值，可以把这个临界值作为材料的断裂韧性KⅠc，此时裂纹的断裂条件可表示为Ke=KⅠc。

图3 断裂角和最大轴向应力理论

其中，θ0可按下式计算：

由最大周向应力可知，裂纹扩展沿着断裂角θ0形成新的裂纹线方向。而应力σθ( r，θ0)与新的裂纹线垂直，相当于在Ⅰ型加载情况下的应力σ（yr，0）。为此，根据Ⅰ型断裂应力强度因子KⅠ的定义引入一个相当应力强度因子：

将式（8）代入式（9）可得：

将式（8）对θ 进行求导，并令其为0，则可得到：

3.1 拉剪复合断裂判据

当σβ＜0 时，正应力为拉应力，这种情况属于拉剪复合断裂问题。此时裂缝面是张开型的，裂缝面间无滑动摩擦，将式（11）中得到的θ0代入Ke中，得到：

若岩体开裂则表明断裂韧度Ke≥KⅠc，则可得到开裂时的临界水压力：

由式（11）可知，拉剪复合裂纹失稳起裂角与渗透水压力相关，所以式（12）需进行迭代计算。由式（4）可知，σα与水平方向的压应力q、竖直方向的压应力p 和方位角α 有关。本文选取α =0°，30°，60°，90°进行讨论。其中，q=k0p，在深埋水工隧洞条件下k0≥1/3。由此得到：

将式（14）代入式（13）即可得到不同方位角和拉剪状态下岩体开裂时的临界水压力。

在式（14）中引入一个广义临界水压力

由式（14）和（15）可知，广义临界水压力与β ，θ0，k0有关。由于参数较多，计算较为复杂，本文就不再讨论了。

3.2 压剪复合断裂判据

当σβ＞0 时，正应力为拉应力，这种情况属于压剪复合断裂问题。此时裂缝面被压紧并闭合，裂纹失稳的主要原因是由于裂缝面上的有效剪应力迫使裂缝面发生相对滑动，有效剪应力可按下式计算：

式中：φ 为裂缝面上的内摩擦角；c 为裂缝面的粘聚力。

同样，选取α=0°，30°，60°，90°进行讨论，由于σα取值是一致的，因此只需将式（14）代入式（17）即可得到压剪复合状态下岩体裂纹起裂时的临界水压力。

在式（17）中引入一个广义临界水压力，可得：

由式（14）和（18）可知，广义临界水压力与β ，φ，k0有关。其中，k0≥1/3，选取k0=1/3，1/3 ＜k0＜3（k0=2），k0=3，k0＞3（k0=4）进行分析，根据文献［6］中的数据，取tan φ=0.365，得到在压剪状态下广义临界水压力与裂纹方向之间的关系（图4）。

由图4 可知：1）随着中心裂缝角度β 的增加，广义临界水压力呈现先增加后减小的趋势（其中k0=1/3，α=90°与k0=3，α=0° 除 外），并 且 当β=55° 时，广义临界水压力取得最大值。2）当α=0°时，广义临界水压力随侧压力系数k0的增加而减小，并在k0=3 时为0。由此表明，当k0≥3时，水平方向水压力不会对裂纹的扩展起作用。3）当α=30°时，广义临界水压力与侧压力系数不相关，而是一固定值。4）当0°＜α ＜90°时，广义临界水压力则随侧压力系数的增加而增加，且当k0≥2，α=90°时，广义临界水压力最大，由此表明，在竖直方向水压力对裂纹的扩展有较大的贡献作用。

图4 压剪复合断裂时裂纹方向与广义临界水压的关系

4 结语

由于深埋水工隧洞在开挖过程中围岩的应力状况会发生变化，并且围岩还处于高地应力和高渗透压力的环境中，这种环境会对岩体的破裂产生促进作用，其中，水力劈裂现象更为显著。

1）在拉剪复合断裂模式下，广义临界水压力与中心裂缝角度β 、断裂角θ0和侧压力系数k0相关；而在压剪复合状态下，广义临界水压力与中心裂缝角度β 、裂缝面间的内摩擦角φ 和侧压力系数k0相关。

2）在压剪复合断裂下，当中心裂缝角度β =55°时，其广义临界水压力取得最大值，在围岩中任意一点所处洞室方位角α=30°时，其广义临界水压力是一固定值。此外，当侧压力系数k0≥2时，洞室竖直方向的水压力对裂纹扩展的贡献最大；当k0=1/3 时，洞室水平方向的水压力对裂纹扩展的贡献最大。

3）深埋水工隧洞围岩洞室的破坏是在高地应力和高渗透压力共同作用导致的。