基于犹豫模糊决策算法的云制造系统选择研究

甘昕艳，高 翔

广西中医药大学 公共卫生与管理学院，南宁530200

随着客户需求的快速变化和市场竞争的激烈，缩短交货期、降低生产成本、提高产品质量已成为制造企业的当务之急，这表明先进制造技术的应用一直是人们关注的焦点。近年来，随着新一代信息技术在制造业的快速发展和广泛应用，人们提出了云制造模式，其本质是在云计算技术、物联网等技术支持下，以现有先进制造模式为基础发展起来的一种面向服务的制造模式[1-2]。云制造管理中的一个关键问题是对云制造系统的选择评估，而模糊决策方法[3-5]是最为有效的评价手段之一。

在群体评价过程中，专家利用判断矩阵的现象非常普遍。至今为止，互补判断矩阵[6-7]是一类最为常用的判断矩阵形式。众多学者针对不同类型的决策评价问题先后引入了互补判断矩阵的多种拓展形式[8-9]。作为互补判断矩阵的一个重要扩展，犹豫模糊互补判断矩阵（Hesitant Fuzzy Complementary Judgement Matrix，HFCJM）[10]中的元素可以为每个评价对象收集多个可能的评价值，以避免评价数据的丢失。

在复杂的群体评价问题中，评价专家提供的判断矩阵可能不合理[11]，从而使得判断矩阵的一致性调整成为决策问题的重要课题[12]。文献[13]基于对数最小方差模型设计了运用判断矩阵生成排序权重向量的有效方法。对于群决策问题，Wu和Xu[14]研究了新的个体一致性调整算法和群体一致性实现方法，以获得可靠的结果。面向复杂的区间值评价信息决策问题，Zhang[15]基于多类型数学规划算法提出了一种群决策模型，并确定了评价对象的排序结果。文献[16]分析了直觉模糊判断矩阵一致性的研究现状，深入探讨了求取方案权重的特点。针对应急管理评价中存在的问题，文献[17]利用直觉模糊判断矩阵开发了一种群体评价方法来评估应急操作中心的综合性能。Zhang等[18]研究了基于HFCJM的决策支持系统模型，包括一致性调整算法、共识性达成模型和备选方案排序过程。以专家给定的HFCJM为基础，文献[19]分别设计了新的优化模型和一致性改进算法来计算评价对象的优先权向量。

目前HFCJM已成为描绘复杂选择评价问题不确定性的有效工具。虽然已有相关学者进行了HFCJM方面的研究工作，但是仍存在许多问题需进一步探究。例如：Xia和Xu[20]提出基于犹豫模糊加权平均算子的决策模型，但是提出的犹豫模糊加权平均算子不满足幂等性的重要特征，这将使得影响最终的决策效果。文献[21]基于加性一致性研究了HFCJM的一致性改进算法和决策模型。然而，运用文献[19]中的模型容易造成得到的数据信息分布在规定的区域之外，从而降低决策结果的可靠性。因此，本文提出改进的直觉模糊加权平均算子，然后设计完全乘性一致HFCJM 的构造方法和一致性改进算法，并建立面向云制造系统评估问题的犹豫模糊决策方法，最后通过实例进行验证分析。

1 基础理论和概念

1.1 互补判断矩阵和HFCJM

假设一组待评价的云制造系统集合表示为X={x1,x2,…,xn}，令N={1,2,…,n}。专家们通过对云制造系统进行两两对比后给出满足一定条件的评估信息，可以构造成不同类型的互补判断矩阵。

定义1[6]假设X={x1,x2,…,xn} 为一组云制造系统，定义在集合X 上的实数矩阵A=(aij)n×n称为互补判断矩阵，若aij∈[0,1]且有：

aij表示云制造系统xi相对于xj的偏好度信息。

定义2[13]假设A=(aij)n×n表示云制造系统集合X上的互补判断矩阵，若对于所有i,k,j ∈N ，有：

则称A=(aij)n×n满足乘性一致性。

定义3[10]假设X={x1,x2,…,xn} 为一组云制造系统，定义在集合X 上的矩阵B=(bij)n×n称为HFCJM，其中指的是bij中元素的个数）称为犹豫模糊元（Hesitant Fuzzy Element，HFE），其表示云制造系统xi相对于xj的可能偏好度信息。同时，HFE bij应该满足对∀m=1,2,…,#bij，有：

虽然不同HFE中的元素个数通常不一致，但是可以借助文献[10]中的法则进行规范化。因此，规定下文HFE中的元素个数均为s。

定义4[10]假设b={b(m)|m=1,2,…,s}表示为一个HFE，则定义其得分函数为：

对于两个HFE b1,b2，若ϑ(b1)＞ϑ(b2)，则b1＞b2；若ϑ(b1)=ϑ(b2)，则b1=b2。

1.2 改进的犹豫模糊信息集成算子

定义5[20]为了将HFE{b1,b2,…,bq}融合为一个HFE，Xia和Xu[20]提出了犹豫模糊加权平均（HFWA）算子：

其中，w=(w1,w2,…,wq)T是相关联的权重向量，满足

分析发现，Xia和Xu[20]提出的HFWA算子通常不满足信息集成算子需具备的幂等性这一重要性质，这主要是因为文献[20]提出的基本运算法则定义5存在明显不足。事实上，文献[20]中的定义5 给出了HFE 的和与数乘运算如下：

然而，运用上面的运算法则通常不满足下面的基本规律：b1⊕b1⊕…⊕b1=nb1，即使对于最简单的两个相同HFE，都不满足b1⊕b1=2b1，其主要原因是因为b1⊕b1=通常情况下，b1⊕b1中的元素个数多于2b1。例如，令b1={0.2,0.5}，根据文献[20]中的定义4 可得：b1⊕b1={0.36,0.6,0.6,0.75},2b1={0.36,0.75} ，则有ϑ(b1⊕b1)=0.577 5 ≠0.555=ϑ(2b1)，所以b1⊕b1≠2b1。

众所周知，犹豫模糊决策算法通常需要借助信息集成算子进行综合信息的融合，而文献[20]提出的基本运算法则存在的不足将导致HFWA 算子不满足幂等性这一重要性质，进而会影响最终决策结果的合理性与可靠性。因此，有必要研究合理可靠的犹豫模糊信息集成方法。

定义6 假设{b1,b2,…,bq} 是一组给定的HFE，对应的权重向量为w=(w1,w2,…,wq)T，满足wj≥0 ，，则称：

为改进的犹豫模糊加权平均（I-HFWA）算子。

根据公式（6）可知：若b1=b2=…=bq=b，则：

另一方面，令b1=b2=b={0.35,0.50,0.77} ，运用提出的I-HFWA算子计算如下：

即I-HFWA(b,b)=I-HFWA(b1,b2)=b。因此，通过上述理论证明和实验计算验证了提出的I-HFWA 算子满足幂等性这一重要性质。

2 HFCJM的乘性一致性分析

本章首先回顾HFCJM 的乘性一致性概念，然后提出完全乘性一致HFCJM的构造方法。

定义7[18]假设X={x1,x2,…,xn} 为一组云制造系统，B=(bij)n×n是定义在集合X 上的HFCJM，m=1,2,…,s}，若对所有的i,k,j ∈N,m=1,2,…,s，满足以下条件：

则称B=(bij)n×n具有乘性一致性。

面对日益复杂的云制造系统评价问题，专家们给出的HFCJM B=(bij)n×n一般都难以满足公式（7）中的条件。接下来，本章将运用原始给定的HFCJM B=(bij)n×n来构造具有完全乘性一致性的HFCJM，并借助于两者之间的差距来描述原始HFCJM的一致性水平。

定理1 假设B=(bij)n×n是一个HFCJM，通过公式（8）构造出的矩阵的上三角元素中的数值是单调递增的，即：

证明根据公式（8）可知，当i ＜j 时，有：

则令：

由于B=(bij)n×n是HFCJM，则当i ＜j 时，有

综上，定理1得证。

定理2 假设B=(bij)n×n是HFCJM，通过公式（8）构造出的矩阵是具有乘性一致性的HFCJM。

证明（1）根据公式（8），显然有：

结合公式（11）～（13）和定理1，根据定义3 易知，矩阵是HFCJM。

（2）对于所有的i,k,j ∈N,m=1,2,…,s，满足：

根据上述分析可知，专家们给出的HFCJM B=(bij)n×n一般都不具备完全乘性一致性，而通过公式（8）构造出的HFCJM具有完全乘性一致性，即一致性水平最高。于是，HFCJM B 与其对应的Bˉ越接近，这说明HFCJM B 的一致性水平就越高。因此，可以借助HFCJM B 与Bˉ之间的距离来衡量HFCJM B 的一致性水平。又因为：

于是，引入下面的描述HFCJM一致性水平定义。

定义8 假设B=(bij)n×n为给定的HFCJM，其对应的完全乘性一致HFCJM为，则称：

为HFCJM B 的一致性指数。

3 基于犹豫模糊决策算法的云制造系统选择及其应用研究

本章将构造基于犹豫模糊决策算法的云制造系统选择方法，并进行案例分析。

3.1 基于犹豫模糊决策算法的云制造系统优选

运用决策模型处理云制造系统选择评价问题时，在保证HFCJM 一致性水平逐渐提高的同时，应尽可能降低原始HFCJM 的信息损失。因此，本文建立如下的基于犹豫模糊决策算法的云制造系统选择模型：

算法1

步骤1 专家基于云制造系统集合X={x1,x2,…,xn}给出包含评价信息的HFCJM B=(bij)n×n，一致性阈值δ0以及迭代参数θ(0 ＜θ ＜1)。

步骤2 算法初始化。令B(t)=B，且t=0。

步骤3 运用公式（8）构造B(t)对应的完全乘性一致HFCJM

步骤4 计算CI(B(t))如下：

步骤5 若CI(B(t))≤δ0，则转到步骤7；否则执行下一步。

步骤6 在HFCJM B(t)中寻找一致性水平最低的元素，其满足：

令t=t+1，并且返回步骤3。

步骤7 令，t*=t ，则HFCJM B˜的一致性达到了设定的阈值。

步骤8 运用提出的I-HFWA算子将HFCJM B˜的每一行融合成为综合HFE，计算如下：

步骤9 依据综合HFE b˜i(i ∈N)的大小对云制造系统xi(i ∈N)集合进行排序，并输出最佳的云制造系统。

注1 在使用公式（17）生成新的元素时，虽然运用的加权算术平均集成方法相对简单，但是可操作性较高，并且可以生成一致性水平最低的元素与完全乘性一致元素之间的所有可能元素，并且决策者可以通过调整迭代参数θ(0 ＜θ ＜1)的大小来控制HFCJM B(t)的一致性提高速度。当θ 越小时，则B(t)的一致性提高速度就越慢；当θ 越大时，则B(t)的一致性提高速度就越快。因此，利用公式（17）生成新的元素不仅可操作性强，还能依据决策者的偏好来控制一致性提高的速度。

注2 下面将分析算法1在执行过程中HFCJM的信息损失量。在第t 次迭代过程中，如果HFCJM B(t)的一致性指数未达到阈值δ0，则需要将B(t)调整为B(t+1)，由于此时只有B(t)中一致性水平最低的元素和发生了变化，那么第t 次迭代的信息损失量计算为：

注3 上述算法1对HFCJM B 进行一致性水平改进过程中，首先对原始的HFCJM B 进行衡量并判别其是否达到一致性阈值。如果其未达到一致性阈值，则对HFCJM进行迭代更新。每迭代一次时，算法1只对HFCJM中一致性水平最低的元素进行调整更新（公式（17）），新的元素是由一致性水平最低的元素与完全乘性一致HFCJM 中对应的元素通过简单加权算术平均集成得到，即每进行一次迭代更新后，HFCJM的一致性水平提高程度如下：

在算法1 执行过程中，存在着HFCJM 的迭代更新的过程，于是下面探究算法1的敛散性。

定理3 假设{ B(t)} 是算法1中产生的HFCJM序列，CI(B(t))是B(t)的一致性指数，则有：

证明对于每次迭代t ，有，并且当(i,j,m)≠(i*,j*,m*),i,j ∈N,m=1,2,…,s时，。因此，根据公式（16）可得：

综上，定理3得证。

注4 分析算法1的决策过程可知，迭代更新每进行一次时都只改变一致性水平最低的元素，于是在提高HFCJM一致性水平的同时，使得原始HFCJM的决策信息尽可能得到保留，从而实现原始决策信息损失量最小化。因此，最终得到的HFCJM B˜达到了设定的一致性阈值，又使得信息损失量最小。在决策过程中，运用达到一致性阈值的HFCJM B˜进行计算能够保证决策结果的可靠性，运用信息损失量最小HFCJM B˜进行计算能够保证决策结果的有效性。

注5 下面分析算法1执行过程中的算法实现成本。在第t 次迭代过程中，需要以HFCJM B(t)中的所有评价信息为基础，运用公式（8）计算出完全一致HFCJM Bˉ(t)，运用一次公式（8），将会进行(n-1)⋅n+n ⋅n=2n2-n 次加法运算和n+n=2n 次乘法运算，于是构造Bˉ(t)需要进行(2n2-n+2n)×n(n-1)/2×s=s(2n4-n3-n2)/2 次运算，而在一致性指数的计算时，需要进行sn(n-1)/2 次运算，因此，每次迭代共需要进行s(2n4-n3-n)/2 次基本运算，即算法1 执行一次迭代的计算复杂度为O(sn4)，所以算法1 在使用所有评价信息进行决策时的总计算复杂度为O(t*sn4)。

3.2 案例分析

某汽车制造企业为了进行产业升级和转型，提高市场占有率和经济效益，准备采购一套云制造系统实现企业内部制造资源、技术、成本和服务的优化。采购部门聘请了制造业和云计算行业的权威专家对初选的四套云制造系统xi(i=1,2,3,4)进行评估，专家们在评估过程中的评价指标包括云制造系统的购买成本、售后服务、服务能力等等。在进行两两对比评估后，专家们运用下面的HFCJM B=(bij)4×4来表示评价信息。

为了筛选综合性能最佳的云制造系统，将借助于算法1进行决策评估，详细步骤如下：

步骤1 令B(t)=(bij(t))4×4=B=(bij)4×4且t=0，迭代参数θ=0.2，一致性阈值δ0=0.1。

步骤2 通过公式（8）得到B(0)对应的完全乘性一致HFCJM如下：

通过公式（16）进行计算可知B(0)的一致性指数为CI(B(0))=0.315 8 ＞δ0，因此需要对B(0)进行一致性调整。对比B(0)和Bˉ(0)容易发现的一致性水平最低，于是得到新的HFCJM如下：

步骤3 此时返回步骤2，并进行类似的迭代更新计算。在经过若干次迭代更新之后，能够得到达到一致性阈值的HFCJM如下：

然后，运用定义3计算bi(i=1,2,3,4)的得分函数为：

最后，由上述bi(i=1,2,3,4)得分函数的大小可以直

步骤4 运用公式（18）将HFCJM B˜的每一行进行融合集成，结果如下：

步骤5 根据定义3 计算得到每个综合HFE 的得分函数为：

步骤6 依据上述得分函数的大小对四套云制造系统xi(i=1,2,3,4)排序如下：x3≻x2≻x4≻x1，于是，综合性能最佳的云制造系统为x3。

Xia 和Xu[20]在提出HFWA 算子之后（即公式（5）），建立了犹豫模糊决策方法。使用该决策方法处理云制造系统选择问题的主要过程如下：

首先，在没有对专家们给定的HFCJM B=(bij)4×4进行一致性检验和提升的情况下，直接运用HFWA 算子（不妨令对B 的每一行元素进行集成融合，得到四套云制造系统的综合评估信息bi(i=1,2,3,4)如下：

接得出四套云制造系统的优劣顺序为：x3≻x2≻x1≻x4，那么运用Xia和Xu[20]中的决策模型优选出的最佳云制造系统为x3。

文献[21]研究了具有收敛性的HFCJM 加性一致性改进算法，并进行群决策方法的构建。运用文献[21]处理云制造系统的优选问题的步骤如下：

步骤1 同运用算法1进行决策评估的步骤1。

步骤2 利用文献[21]中的公式（17）构造完全加性一致HFCJM如下：

步骤3 根据文献[21]中的公式（18）计算的一致性指数为：，则需要运用文献[21]中的算法1进行迭代更新。

步骤4 借助于文献[21]中的算法1经过15次修改之后，可以得到达到一致性阈值的HFCJM如下：

步骤5 运用公式（18）将HFCJM B¨ 的每一行融合为单个综合信息如下：

步骤6 计算的得分函数为：

步骤7 依据上述得分函数的大小对四套云制造系统xi(i=1,2,3,4)排序如下：x2≻x3≻x4≻x1，于是，运用文献[21]中的决策模型优选出的综合性能最佳云制造系统为x2。

运用上面三种决策模型的评价结果如表1所示。

表1 云制造系统排序和最佳选择

综合以上实验分析过程和表1的结果可知，运用本文构造的犹豫模糊决策算法具有以下优势：

（1）与文献[20]中的决策方法相比，本文构造的犹豫模糊决策算法更为合理可靠。通过对比分析可知，虽然借助于文献[20]的决策方法与本文的犹豫模糊决策算法得到的最佳云制造系统相同，但是对这四套云制造系统xi(i=1,2,3,4)的排序存在差异。深入分析可以发现，文献[20]中的决策方法在执行过程中只是简单地进行信息集成，在此之前没有进行任何的HFCJM 一致性检验和提升，而运用未达到一致性阈值的HFCJM 容易导致最终评价结果出现不合理甚至错误的情形。另一方面，通过1.2节可知，文献[20]提出的HFWA算子不满足幂等性这一重要性质，这也将使得决策结果的可靠性有待商榷。而本文构造的犹豫模糊决策算法在用更为有效的I-HFWA算子进行评价信息集成之前，对HFCJM的一致性水平做了检验和提高。因此，本文构造的犹豫模糊决策算法更为合理可靠。

（2）与文献[21]中的决策方法相比，本文构造的犹豫模糊决策算法更为科学有效。事实上，运用文献[21]的加性一致性算法进行HFCJM 一致性改进的过程中，容易造成得到的完全一致HFCJM 和更新的HFCJM 中的元素不在规定的取值[0，1]区域内，即决策过程容易导致计算落在规定区域外。例如，在运用文献[21]进行HFCJM 迭代更新时，得到中的。另外，运用文献[21]的算法只运用原始HFCJM 的次对角线元素进行迭代更新，缺乏对其他决策信息的考虑；最后，文献[21]中的决策算法在进行迭代更新时同时对所有的原始决策信息进行调整，这将造成原始决策信息出现较大损失。而运用本文的乘性一致性改进算法不仅保证了更新迭代的元素落在规定区域内，并使用所有的评价信息生成新的HFCJM，还在算法执行过程中只修改一致性水平最低的元素，尽可能减小信息损失量。因此，本文构造的犹豫模糊决策算法更加科学有效。

4 结束语

在评估专家们面对复杂的云制造系统选择评价问题时，本文构建了基于犹豫模糊决策算法的云制造系统优选模型。针对专家们提供的HFCJM，该模型首先研究了HFCJM 的乘性一致性和完全乘性一致HFCJM 的构造方法，并进行HFCJM乘性一致性的检验和提升，进而得到达到一致性阈值的HFCJM；然后，借助于提出的I-HFWA算子对HFCJM中的信息进行综合集成，选择出最佳的云制造系统；最后，通过实验和对比分析验证了本文犹豫模糊决策算法的可靠性。在后续研究中，将在大规模群体专家环境下考虑专家之间的信任关系和共识性，建立大规模群体协同共识模型，以实现模型决策结果可靠性的进一步提升；同时，由于在运用算法1 进行调整的过程中没有考虑评价信息调整成本存在的差异，因此，在后续研究中将构建调整成本最小化的一致性改进算法。