构建函数模型 解决实际问题

吴智勇

函数是初中数学的核心内容，在实际生活中也有广泛的应用。构建函数模型解决实际问题，既有利于体现数学的应用价值，也有利于考查数学抽象、数学建模和综合应用等各方面的能力。

一、二次函数与乡村振兴战略

例1 （2021·贵州遵义）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售。已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图像如图所示。

（1）根据图像信息，求y与x的函数表达式;

（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润。

【解答】（1）当8≤x≤32时，设y=kx+b（k≠0），

则[22k+b=150，32k+b=120，]解得[k=-3，b=216，]

所以当8≤x≤32时，y=-3x+216，

当32

所以y=[-3x+2168≤x≤32，12032

（2）设利润为W，则当8≤x≤32时，

W=（x-8）y=（x-8）（-3x+216）=-3（x-40）2+3072。

因为开口向下，对称轴为直线x=40，

所以当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，所以当x=32时，W最大=2880。

当32

因为W随x的增大而增大，所以x=40时，W最大=3840。

因为3840>2880，所以最大利润为3840元。

【点评】本题考查二次函数在实际生活中的应用、用待定系数法求一次函数的表达式、分段函数的表达式、二次函数的性质。我们需要熟知的常识是“利润=（售价-成本）×销售量”，由此列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润。我们在解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，要先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值。

二、二次函数与防疫

例2 （2021·湖北仙桃、潜江、天门、江汉油田）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴。设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式a=20%（10-x），下表是去年4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系（6≤x<9）。

（1）求y与x的函数表达式;

（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？

（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？

（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）

【解答】（1）因为每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，

所以设y与x的函数表达式为y=kx+b，

则[6k+b=30，7k+b=20，]解得[k=-10，b=90，]

所以y与x的函数表达式为y=-10x+90（6≤x<9）。

（2）当x=8时，y=-10×8+90=10（万件），

因为a与x之间满足关系式a=20%（10-x），所以当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为10a=10×20%（10-8）=4（万元）。

答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元。

（3）设该月的纯收入w万元，

则w=y[（x-6）+0.2（10-x）]=（-10x+90）（0.8x-4）=-8x2+112x-360=-8（x-7）2+32。

因为-8<0，6≤x<9，所以当x=7时，w最大，最大值为32万元。

答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大。

【点评】本题考查二次函数的应用和待定系数法求函数表达式，解题关键是根据“纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴”列出函数表达式，再根据二次函数的性质求最值。

三、二次函数与体育

例3 （2021·广西北部湾经济区）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情。如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=[-112]x2+[76]x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=[-18]x2+bx+c运动。

（1）当运动员运动到离A点水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）;

（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围。

【解答】（1）由题意可知抛物线C2：y=[-18]x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入，

得[4=c，8=-18×42+4b+c，]

解得[b=32，c=4，]

所以抛物线C2的函数表达式为y=[-18]x2+[32]x+4。

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，

根据题意，得[-18]m2+[32]m+4-（[-112]m2+[76]m+1）=1，

整理，得（m-12）（m+4）=0，

解得m1=12，m2=-4（舍去）。

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米。

（3）C1：y=[-112]x2+[76]x+1=[-112]（x-7）2+[6112]。

当x=7時，运动员到达坡顶，即[-18]×72+7b+4>3+[6112]，解得b>[3524]。

【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键。

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。在用函数解决销售类实际问题的过程中，我们要先审题，明确总利润、销售量、单位利润、进价（成本）、售价这些量之间的关系，有时还要先列出方程或方程组求出基本量，再列出函数表达式，最后用函数知识解决最值问题。

（作者单位：江苏省东台市实验中学）