优化·联结·深度

摘 要：文章以三角形的内角和一课为例展开分析，旨在通过组织学生观察类比推理的数学活动，引导学生能够积极主动地探索多边形的内角和与外角和的公式，利用多种转化的方法，让学生深刻掌握与体验化归思想和数形结合思想，以发展学生推理能力和语言表达能力。

关键词：三角形内角和;探究;规律

中图分类号：G427              文献标识码：A       文章编号：2095-624X（2021）46-0061-03

作者简介：周卫来（1991.4—），女，南京市东山小学，学士学位。

引 言

“多边形的内角和”是探索规律的教學内容，主要引导学生通过观察、操作、归纳、类比等具体的活动，发现多边形内角和的计算方法。教材分四个层次引导学生探索规律：第一层次，提出问题;第二层次，明确方法;第三层次，发现规律;第四层次，回顾反思。

教材里提供给学生的分割方法只有一种，从顶点出发连接不相邻的顶点，把求多边形内角和的问题转化成求若干个三角形内角总和的问题。由于本节课被安排在“综合与实践”的领域，部分教师只是按照书本的流程教一遍，浮于表面，并没有关心学生的学习是否真正发生。通过平时观察学生的作业，笔者发现部分学生通过从一个边出发，从而达到分割为三角形的目的，部分学生有着自己的想法。因此，在教学过程中教师不能直接将方法教给学生，而是要引导学生先进行自主探索，然后讨论交流，以锻炼学生合作交流的能力，提高学生的语言表达能力。

【教学目标】

知识与技能：知道四边形、多边形、正多边形的定义，能够在图形中识别并了解其相关概念;掌握多边形内角和公式，并能够运用公式正确求出多边形的内角和。

过程与方法：通过对“多边形的内角和公式”的探究，提高学生分析问题、解决问题的能力，同时使其充分领会数学转化思想，能够运用转化思想，增强发散思维能力。

情感态度与价值观：通过公式的猜想、归纳、推断过程，体验数学活动充满探索性和创造性，培养学生的数学学习兴趣和勇于创新的精神。

教学重点：探究多边形内角和的公式。

教学难点：多边形内角和公式的推导过程。

【片段一】尊重学生，优化方法

师：同学们，你们知道吗，法国著名数学家帕斯卡是这样证明“三角形内角和是180°” 的：长方形的四个角都是直角，四个角的和一定是360°。把长方形沿对角线一分为二，就变成了两个直角三角形，每个直角三角形的内角和就是360除以2等于180°。任意一个直角三角形都可以看成是长方形剪开的，所以任意直角三角形的内角和一定是180°。任何一个锐角三角形都可以沿高分为两个直角三角形，两个直角三角形的内角和是360°，而其中有两个直角拼在一起成了一条直线，所以，锐角三角形的内角和就是360°-90°-90°=180°。同样的道理可以说明钝角三角形内角和也是180°。今天我们要将难度升级，用分一分的方法来探究五边形的内角和，谁来指一指五边形的内角在哪里？请看你的活动单，独立完成，再在小组内进行交流讨论。

活动一：探究五边形的内角和。

展示1号作品（如图1）：

生1：从顶点分，把五边形分成3个三角形，3个三角形的内角和就是五边形的内角和。这样分比较清楚，不重复、不遗漏。

板贴：180°×3=540°

师：他把五边形分成3个三角形，所以五边形的内角和是180°×3，还有不同的分法吗？请看2号作品（如图2）。

生2：从五边形内找一点分，五边形被分成5个三角形，要计算五边形的内角和，还要把中间这个周角减掉。

师：为什么要把周角减掉？

生：因为这个周角不是五边形的内角。

板贴：180°×5-360°=540°

师：请看3号作品（如图3）。

生3：我是从边上选一点，把五边形分成4个三角形。这三个角组成的平角不是五边形的内角，所以减去。

板贴：180°×4-180°=540°

师：刚刚同学们用不同的分法都探究出了五边形的内角和，他们有什么共同点？

生4：他们都分成了三角形。

板贴：把五边形和三角形之间用弧线连起来。

师：还有吗？

生5：得数相同。

师：那他们有什么不同点呢？

生6：一个是从顶点出发分三角形，一个从五边形的内部找一点出发分三角形，一个从边上的一点出发去分三角形。

生7：分的三角形的个数不相同，计算的方法也不相同。

师：那这三种方法你更喜欢哪一种呢？

生8：从顶点出发分三角形，因为不会出现多余的内角，所以不用减。

师：看来啊，同样是分成三角形，咱们还得讲究更简洁的方法。那我们就用从顶点分这种分法快速地研究一下六边形、七边形、八边形、九边形的内角和吧！

好的教学活动应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥;另一方面，有效发挥教师主导作用的标志是学生能够真正成为学习的主体[1]。因此，这个环节并没有只呈现教材中的从顶点出发这一种情况，而是追求真实的课堂教学。教师要尊重学生的选择，呈现学生多样的研究方法，给予学生足够的时间对自己的研究方法进行阐述，并对这些方法予以积极的肯定。在接下来的对比探究中，学生经历了知识的发生发展的过程，真正体现了自身的学习主体地位。

这部分在教学中有着承上启下的作用，其不仅能够让学生复习前面所学的三角形知识点，还为后面学习各种特殊四边形起到了预备的效果[2]。在教学过程中，培养学生自主探究的能力是本次教学的一个重点。

【片段二】动态“极限”，联结方法

师：那像这样的探究咱们能一个一个去尝试完吗？

生1：不能

师：那现在怎么办？

生2：我们可以找找规律。

师：观察图形的分割方法，思考多边形内角和与什么有关？又有什么规律？你觉得隐藏了什么规律，在小组内讨论一下。多边形的内角和与什么有关。

生3：多边形的内角和与三角形的个数有关，三角形个数与多边形的边数有关。

师：那你知道任意一个多边形内角和怎么求吗？

生4：三角形的个数乘180°。

师：三角形的个数到底怎么求呢？

生5：边数-2。

板贴：（边数-2）×180°（如图4）。

师：同学们，回顾一下我们探究多边形内角和的过程。咱们是从最简单的多边形出发，一步一步地去探究，从几个多边形的内角和中找到规律，从而总结出了任意一个多边形的内角和都可以用这样的算式来进行计算。

在进行本次教学之前，学生已经积累了关于这方面的相关经验。为了能够帮助学生尽快找到知识点之间的结合点，教师需要通过灵活设置问题，在引发学生联想的同时，帮助学生更好地梳理知识点，在培养学生发散思维能力的同时，展开进一步的提问。在这个过程中，教师并没有总是采用引导的方式，而是通过提出问题的方式，让学生进行积极主动的思考。这不仅创设了问题情境，还能够促进学生积极探索知识生成过程，体现了数学的化归思想。在教学过程中，教师有意识地引导学生展开探索，能够帮助学生更加深刻地体会到这种思想方法对解决数学问题的作用。

【片段三】发展思维，深度学习

回顾反思：

师：通过本节课的学习，知识方面你有哪些收获？感受到哪些数学思想方法？

生1：复杂的问题从简单的问题开始找规律。

生2：从简单的四、五边形开始，通过把多边形分一分，转化成三角形内角和。

生3：感受到像今天这样要解决新的问题，可以从简单的问题开始思考。

深度学习是将原有的数学知识、数学认知及数学技能进行加工重组，从而弥补传统数学教学的不足。简单来讲，深度学习是一种学习数学的方法，深度学习的实施有助于提高学生的数学学习能力[3]。转化方法贯穿本节课教学的始终，所谓“转化”，就是将一个问题的解决转向另一个问题的解决，以达到化未知为已知、化抽象为直观、化复杂为简单的目的[4]。转化方法在数学学习中应用非常广泛，学生如果能够真正掌握这种策略，触类旁通，灵活应用，会给以后的学习带来很大的便利。因此，本节课的教学并没有仅仅停留于知识层面的教学，而是转变原有的教学模式，立足学生的学情，结合数学教材内容，给學生留出更多的思考时间和空间，让学生在理解转化策略的基础上灵活应用数学思想，深度学习数学知识，提升数学思维能力，达到课堂教学效益最大化的目的[5]。

本次的教学设计实际上就是通过一系列的操作活动，来展现出学生探究多边形内角和的思维过程。在教学过程中，当遇到求解五边形内角和时，学生给出多种不同的想法，通过师生之间的互动与讨论，进一步了解分成三角形是最简便的方法。在前期的学习中，学生已经掌握了三角形的内角和及三角形的边、顶点、内角等概念，同时也初步建立起四边形可分为两个三角形来求内角和的概念，这为本节课的教学打下了良好的基础。因此，当学生在进行多边形内角和探究的过程中，很容易想到采用分割的方式将多边形转化为三角形，但仍然有部分学生对这种化归思想存在一定的理解困难。

教学反思：在本次教学中，教师采用提问、探究、发现等多种模式，通过展示学生在解题上的多种思路，从而加强学生对研究多边形内角和的关注。通过复习四边形、多边形的概念，并且通过多种活动形式展示多边形内角和与边数的关系，学生进一步得出多边形内角和公式。整个教学过程，由浅入深、从易到难，能更好地帮助学生掌握知识。

结 语

教师通过展示学生辩证解题方面的思路，耐心引导学生利用已有的知识经验、背景、材料等实现再创造、再发现，能够有效培养学生独立思考、大胆创新的个性品质，同时也丰富了学生的学习途径和学习方法。但是，本次教学中也存在一定的不足之处，由于学生与学生之间在掌握知识方面存在差异性，部分学生并不能真正地跟随教师参与到具体的讨论与问题思考的过程中，使部分学生的讨论流于形式。如何保证在教学过程中使每位学生都能够掌握基础概念，确保每位学生都有所收获，以及让学生讨论到怎样的程度，都是教师需要关注和深入思考的问题。笔者在今后的教学中需要不断积累经验，优化教学过程，积极将先进的教学理论、教学方法、教学手段应用到具体的教学过程中，从而让学生能够真正掌握知识，并做到内化于心。

[参考文献]

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

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麦凤珊.学生讲题促进数学深度学习[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（10）：18-20.

韦嫄.践行“学讲”理念 打造生本课堂：以“多边形的内角和与外角和”教学为例[J].数理化解题研究，2020（35）：40-41.

焦琳琳，魏佳.教师有创意地使用教科书：以北师大版“多边形内角和”为例[J].农家参谋，2020（22）：289-290.