关于Sine椭球的研究

张思涛

（商丘工学院基础教学部，河南 商丘 476000）

1 引言

椭球是凸几何分析中一个重要的研究对象，近些年来，椭球得到了广泛的关注并产生了大量的深刻结果[1-3]。本文也将继续在L3空间中进行研究。在经典力学中，惯量椭球Γ2K是指在任一方向上有相同的转动惯量，这个椭球就是我们熟知的Legendre椭球[1]。Lutwak[2]引入了它的对偶模型LYZ椭球。利用数学领域中的基本定理勾股定理，Li[3]定义了两种正弦椭球，对于星体K和向量x，椭球Λ2K的支撑函数定 义为：

对于凸体K和向量x，椭球Λ-2K的径向函数定义为：

受上述文献的启发，我们进一步研究正弦椭球，得到了如下结果：

定理：若L是星体，那么

2 定理的证明

我们将列举有关凸体的一些知识背景，可以参看Schneider的关于凸体的百科全书[4]。对于凸体K，有

若K，L是星体，那么他们的对偶混合体积[5]定义为：

当K=L时，有

对偶Lp Minkowski不等式陈述为：若K，L是星体和3≥p＞0，有

其中等号成立当且仅当K，L是膨胀的。

引理：若K和L是星体，则有

证明：由等式（5），（4），（1）和Fubini’s定理，有

进一步化简得到等式（8），证毕。

由不等式（7）得：