对2015年安徽高考物理压轴题的拓展

孙 翔

（安徽省宣城中学，安徽 宣城 242000）

2015年安徽高考物理压轴题是一道关于三星系统的问题.三星系统学生们并不陌生，不过平时遇到的大多是三颗星体质量相等的情况.本题情景设置为一颗星体质量为2m，另外两颗星体的质量为m的情况，这样就增大了解题的难度，题目中还提到三颗星体质量都不相同的更一般情况.下面对这种更一般的情况进行讨论.笔者找到两种方法，供大家参考.

题目.（2015年安徽理综卷第24题）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的3个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）.若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

（1）A星体所受合力大小FA；

（2）B星体所受合力大小FB；

（3）C星体的轨道半径RC；

（4）三星体做圆周运动的周期T.

图1

图2

星体A受到星体B和星体C的万有引力的作用，其大小分别为

用正交分解法可得星体A所受的合力为

星体A做圆周运动的半径为质心C到A点（原点）的距离，即

星体A所受的合力提供了星体A做圆周运动的向心力，即

解得

图3

而对于原题第（2）问B星体所受合力大小FB，第（3）问求C星体的轨道半径RC，可以通过调换一下A、B、C三颗星体在坐标系中的相对位置，使B、C分别处于坐标原点，同理可解，不再赘述.

在求解第（4）问：三星体做圆周运动的周期T，还可以运用下面的方法.

取质心参考系，A、B、C三颗星体对质心的位矢为r1、r2、r3如图3所示，对星体A，

因为m1r1＋m2r2＋m3r3＝（m1＋m2＋m3）rC＝0，可得

1 强元棨，程稼夫.力学［M］.北京：科学出版社，2005.

2 周衍柏.理论力学教程［M］.北京：高等教育出版社，1985：243.