巧借椭圆模型 妙解数学问题

朱雄周

[摘 要]椭圆作为一个数学的基本模型，在破解一些相关问题中有妙用.比如，解方程、三角的求值和实际应用等问题.借用椭圆，能实现知识相通，巧妙转化，开拓解题思路，优化解题方法，提升学生解题能力.

[关键词]椭圆;模型;方程;三角;应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章編号]    1674-6058（2021）26-0029-02

数学建模作为高中数学学科核心素养的一大内容，是教师教学与学生学习中一大必备的技能.其是针对参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构，是解决问题的一种重要途径.巧妙借助椭圆模型，合理转化，不仅有“化繁为简” “化难为易”“化数为形”之功效，还能开拓学生思维，能丰富学生想象力.

一、方程的求解问题

[例1]解方程：[x2-4x+5+x2+4x+5=6].

分析：利用方程中两根式之和为定值6，合理联想到椭圆的定义，构建椭圆模型，通过引入参数[y2=1]，结合题目条件建立相应的椭圆方程，再将[y2=1]代入椭圆方程即可确定原根式方程的根.

解：整理可得[（x-2）2+1+（x+2）2+1=6]，

令[y2=1]，则有[（x-2）2+y2+（x+2）2+y2=6]，

以上方程表示的是动点[P（x， y）]到定点[F1（-2， 0）]与[F2（2， 0）]的距离之和为6的轨迹，结合椭圆的定义可知其对应的轨迹为椭圆方程：[x29+y25=1]，

将[y2=1]代入以上方程，可得[x=±655].

经检验可知[x=±655]是原方程[x2-4x+5+x2+4x+5=6]的根.

点评：常规方法是经过两次平方去根号求解，运算量大，过程繁杂，容易出错.而结合题目特征，联想与之对应的椭圆定义，合理建模，借助椭圆模型来处理，方便处理，简化运算，提升效益.

二、三角的求值问题

[例2]在[△ABC]中，已知[AC+BC=10]，[AB=8]，则[tanA2·tanB2]的值为 .

分析：利用条件建立平面直角坐标系，结合三角形的性质与椭圆的定义确定点C所满足的轨迹方程，通过正弦定理与合比性质，综合三角恒等变换来转化，从而得以求解对应的三角函数值问题.

解：以线段[AB]所在直线为[x]轴，以线段[AB]的中垂线为[y]轴，建立平面直角坐标系[xOy]，如图1所示，

由于[AC+BC=10>8=AB]，所以点C的轨迹为椭圆，且[a=5]，[c=4]，[b=3]，

所以点C的轨迹为椭圆方程：[x225+y29=1]，

根据正弦定理可得[BCsinA=ACsinB=ABsin（A+B）]，

结合合比性质可得[BC+ACsinA+sinB=ABsin（A+B）]，即[10sinA+sinB=8sin（A+B）]，亦即[sin（A+B）sinA+sinB=45]，

结合三角恒等变换可得[2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45]，即[cosA+B2cosA-B2=45]，

展开有[cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45]，即[1-tanA2tanB21+tanA2tanB2=45]，

解得[tanA2·tanB2=19].故填答案[19].

点评：结合三角形与椭圆模型之间的数学建模，对椭圆的几何性质加以合理应用，思维巧妙，方法特别，让人眼前一亮.借助椭圆模型，合理数学建模，巧妙利用椭圆方程来处理，脑洞大开.

三、综合的应用问题

[例3]（原创题）在[△ABC]中，B、C的坐标分别为（-2[2]，0），（2[2]，0），且满足[sinB+sinC=324sinA]，O为坐标原点，若点P的坐标为（4[2]，0），则[AO·AP]的取值范围为 .

分析：根据正弦定理的角式向边式的转化，利用椭圆的定义来确定点A的轨迹方程，结合平面向量的极化恒等式加以转化，通过椭圆的直观图像来确定对应向量的数量积的取值范围问题.

解：由正弦定理可得[AC+AB=324BC=324×42=6>42]，

结合椭圆的定义可知点A在椭圆[x29+y2=1（x≠±3）]上，

而线段OP的中点为C（恰为椭圆的右焦点（2[2]，0）），

利用极化恒等式，可得[AO·AP=AC2-OC2=AC2-8]，

当A为椭圆的左顶点时，[AO·AP=AC2-8=（3+22）2-8=9+122]，

当A为椭圆的右顶点时，[AO·AP=AC2-8=（3-22）2-8=9-122]，

所以[AO·AP]的取值范围为（9-12[2]，9+12[2]），故填答案（9-12[2]，9+12[2]）.

点评：此题以平面直角坐标系为问题背景，巧妙把解三角形、圆锥曲线、平面向量等相关知识加以合理融合与交汇，充分体现高考命题的“在知识网络交汇点处设计试题”的指导方针，知识交汇自然，试题难度中等.合理数学建模，椭圆模型转化，有效破解综合的应用问题.

四、实际的应用问题

[例4]已知大西北某荒漠上A，B两点相距[2 km]，现准备在该荒漠上开垦出一片以A，B为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km，问该农艺园的最大面积能达到多少？

分析：利用条件建立平面直角坐标系，结合平行四边形的性质与椭圆的定义确定点C所满足的轨迹方程，结合平行四边形的面积与三角形面积的关系，数形结合来确定农艺园的最大面积问题.

解：以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系[xOy]，如图2所示.

设平行四边形的顶点C的坐标是（x，y），则[D（-x，-y）]且[A（-1， 0）]，[B（1， 0）].

由题意，可得[CA+CB=4>AB=2]，

所以点C的轨迹为椭圆，且[a=2]，[c=1]，[b=3]，

所以平行四边形另两个顶点的轨迹为椭圆，方程为[x24+y23=1].

结合图形，可得农艺园的最大面积为

[S=2S△ABC=2×12ABy=2y≤2b=23].

所以农艺园的最大面积能达到2[3] km2.

点评：在解决一些实际应用问题中，可利用题目条件建立对应的平面直角坐标系，借助数学建模，结合椭圆模型的应用，通过椭圆的相关知识来处理，从而另辟蹊径，巧妙破解相应的实际应用题.

通过数学建模，巧妙把对应的方程、三角关系式、综合应用和实际应用问题等合理转化，合理借助特殊模型——椭圆，有效转化，实现不同知识间的变形转换.利用椭圆模型的定义、几何性质与直观想象等，有效、直观、快捷地处理相关问题.借助椭圆模型来进行数学建模，可实现知识相通，巧妙转化，开拓解题思路，优化解题方法，提升解题能力.

[   参   考   文   献   ]

[1]  韩文美.模型巧引领，高考妙破解[J].教学考试，2019（47）：49-51.

[2]  苏艺伟.圆和椭圆模型在解题中的应用[J].数理化学习（高中版），2018（5）：40-44.

[3]  徐国平.例谈椭圆模型的运用[J].数学教学通讯，2007（6）：41-43.

（责任编辑 黄桂坚）